16: (3,0 điểm). 1. Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax và By. Qua điểm M thuộc nửa đường tròn này, kẻ tiếp tuyến thứ ba cất các tiếp tuyến Ax và By lần lượt ở E và F....

Câu 16 a) Chứng minh tam giác AMB vuông và AM vuông góc EO - Vì M thuộc nửa đường tròn (O) có đường kính AB nên theo tính chất góc nội tiếp chắn nửa đường tròn, ta có: \[ \angle AMB = 90^\circ \] Do đó, tam giác AMB là tam giác vuông tại M. - Tiếp theo, ta chứng minh AM vuông góc với EO. Ta biết rằng tiếp tuyến tại M vuông góc với bán kính OM. Do đó: \[ ME \perp OM \quad \text{và} \quad MF \perp OM \] - Xét tam giác AME và tam giác AMF: \[ \angle AME = \angle AMF = 90^\circ - \angle OMA \] \[ \angle OME = \angle OMF = 90^\circ - \angle OMA \] - Vì vậy, tam giác AME và tam giác AMF đồng dạng theo trường hợp góc - góc (góc AME = góc AMF và góc OME = góc OMF). Do đó: \[ \frac{AM}{AE} = \frac{AM}{AF} \Rightarrow AE = AF \] - Kết hợp với điều kiện \( ME \perp OM \) và \( MF \perp OM \), ta suy ra \( EO \perp AM \). b) Gọi H là giao điểm của EO và AM, K là giao điểm của EB và (O). Chứng minh: \[ EK \cdot EB = EH \cdot EO \] - Xét tam giác EKB và tam giác EHO: \[ \angle EKB = \angle EHO = 90^\circ \quad (\text{vì } KB \perp EB \text{ và } HO \perp EO) \] \[ \angle BEK = \angle HEK \quad (\text{chung}) \] - Do đó, tam giác EKB và tam giác EHO đồng dạng theo trường hợp góc - góc (góc EKB = góc EHO và góc BEK = góc HEK). Từ đó: \[ \frac{EK}{EB} = \frac{EH}{EO} \] - Nhân cả hai vế với \( EB \cdot EO \), ta được: \[ EK \cdot EO = EB \cdot EH \] - Điều này chứng tỏ: \[ EK \cdot EB = EH \cdot EO \] Đáp số: \( EK \cdot EB = EH \cdot EO \)