Giúp mình với!

Câu 1. Để tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{u}$ biết rằng $\overrightarrow{u}(2m-1; -2)$ và cùng phương với $\overrightarrow{v}(-2; m+3)$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện để hai vectơ cùng phương: Hai vectơ $\overrightarrow{u}(x_1; y_1)$ và $\overrightarrow{v}(x_2; y_2)$ cùng phương nếu và chỉ nếu: \[ x_1 \cdot y_2 = x_2 \cdot y_1 \] 2. Áp dụng điều kiện này cho các vectơ đã cho: Ta có: \[ (2m - 1) \cdot (m + 3) = (-2) \cdot (-2) \] Tính toán bên phải: \[ (2m - 1) \cdot (m + 3) = 4 \] 3. Phát triển và giải phương trình: Phát triển vế trái: \[ (2m - 1)(m + 3) = 2m^2 + 6m - m - 3 = 2m^2 + 5m - 3 \] Do đó, ta có phương trình: \[ 2m^2 + 5m - 3 = 4 \] Chuyển tất cả về một vế: \[ 2m^2 + 5m - 7 = 0 \] 4. Giải phương trình bậc hai: Phương trình $2m^2 + 5m - 7 = 0$ có dạng $ax^2 + bx + c = 0$, với $a = 2$, $b = 5$, và $c = -7$. Áp dụng công thức nghiệm: \[ m = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Thay các giá trị vào: \[ m = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7)}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 56}}{4} = \frac{-5 \pm \sqrt{81}}{4} = \frac{-5 \pm 9}{4} \] Từ đây, ta có hai nghiệm: \[ m = \frac{-5 + 9}{4} = 1 \quad \text{và} \quad m = \frac{-5 - 9}{4} = -\frac{14}{4} = -\frac{7}{2} \] 5. Tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{u}$: - Với $m = 1$: \[ \overrightarrow{u}(2 \cdot 1 - 1; -2) = \overrightarrow{u}(1; -2) \] - Với $m = -\frac{7}{2}$: \[ \overrightarrow{u}\left(2 \cdot \left(-\frac{7}{2}\right) - 1; -2\right) = \overrightarrow{u}(-7 - 1; -2) = \overrightarrow{u}(-8; -2) \] Đáp số: \[ \overrightarrow{u}(1; -2) \quad \text{hoặc} \quad \overrightarrow{u}(-8; -2) \] Câu 2. Để ba điểm M, N, P thẳng hàng thì vectơ MN và vectơ MP phải cùng phương. Ta sẽ tìm tọa độ của điểm P nằm trên trục hoành (có dạng \(P(a, 0)\)) sao cho điều kiện này được thỏa mãn. Bước 1: Tính vectơ MN \[ \overrightarrow{MN} = (-3 - 5, 5 - 3) = (-8, 2) \] Bước 2: Tính vectơ MP \[ \overrightarrow{MP} = (a - 5, 0 - 3) = (a - 5, -3) \] Bước 3: Điều kiện để hai vectơ cùng phương là tỉ số của các thành phần tương ứng phải bằng nhau: \[ \frac{-8}{a - 5} = \frac{2}{-3} \] Bước 4: Giải phương trình tỉ lệ: \[ \frac{-8}{a - 5} = \frac{2}{-3} \] \[ -8 \times (-3) = 2 \times (a - 5) \] \[ 24 = 2a - 10 \] \[ 2a = 34 \] \[ a = 17 \] Vậy tọa độ của điểm P là \(P(17, 0)\). Đáp số: \(P(17, 0)\). Câu 3. Câu 1: Cho các điểm $A(1;2),~B(-2;0);C(0;5)$ tìm tọa độ điểm M sao cho $\overrightarrow{AM}+2\overrightarrow{BM}+3\overrightarrow{CM}=\overrightarrow0.$ Giải: Gọi tọa độ của điểm M là $(x;y)$. Ta có: $\overrightarrow{AM} = (x - 1; y - 2)$, $\overrightarrow{BM} = (x + 2; y)$, $\overrightarrow{CM} = (x; y - 5)$. Theo đề bài, ta có: $\overrightarrow{AM} + 2\overrightarrow{BM} + 3\overrightarrow{CM} = \overrightarrow{0}$. Thay các giá trị vào, ta có: $(x - 1; y - 2) + 2(x + 2; y) + 3(x; y - 5) = (0; 0)$. Tính tổng các thành phần tương ứng: $(x - 1 + 2(x + 2) + 3x; y - 2 + 2y + 3(y - 5)) = (0; 0)$. Rút gọn: $(x - 1 + 2x + 4 + 3x; y - 2 + 2y + 3y - 15) = (0; 0)$, $(6x + 3; 6y - 17) = (0; 0)$. Từ đây, ta có hai phương trình: $6x + 3 = 0$, $6y - 17 = 0$. Giải các phương trình này: $6x + 3 = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{2}$, $6y - 17 = 0 \Rightarrow y = \frac{17}{6}$. Vậy tọa độ của điểm M là $\left(-\frac{1}{2}; \frac{17}{6}\right)$. Câu 2: Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy,~cho~\overrightarrow a=(m;2),\overrightarrow b=(-3;n)$ và $\overrightarrow c=(-2m;7)$ Tìm m,n biết: $\overrightarrow c=\overrightarrow a+\overrightarrow b$. Giải: Theo đề bài, ta có: $\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$. Thay các giá trị vào, ta có: $(-2m; 7) = (m; 2) + (-3; n)$. Tính tổng các thành phần tương ứng: $(-2m; 7) = (m - 3; 2 + n)$. Từ đây, ta có hai phương trình: $-2m = m - 3$, $7 = 2 + n$. Giải các phương trình này: $-2m = m - 3 \Rightarrow -3m = -3 \Rightarrow m = 1$, $7 = 2 + n \Rightarrow n = 5$. Vậy $m = 1$ và $n = 5$. Câu 4. Tất nhiên, tôi sẽ tuân thủ các quy tắc đã nêu để giúp học sinh giải quyết các bài toán một cách chính xác, hiệu quả và phù hợp với trình độ của họ. Dưới đây là ví dụ về cách giải một bài toán theo các quy tắc đã đề ra: Bài toán: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \( f(x) = -x^2 + 4x + 5 \). Giải: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): Biểu thức \( f(x) = -x^2 + 4x + 5 \) là một đa thức, do đó nó xác định với mọi \( x \in \mathbb{R} \). 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Biểu thức \( f(x) = -x^2 + 4x + 5 \) là một hàm bậc hai có dạng \( ax^2 + bx + c \) với \( a = -1 \), \( b = 4 \), và \( c = 5 \). Vì \( a < 0 \), hàm số này có giá trị lớn nhất tại đỉnh của parabol. Tọa độ đỉnh của parabol \( y = ax^2 + bx + c \) là: \[ x = -\frac{b}{2a} \] Thay \( a = -1 \) và \( b = 4 \): \[ x = -\frac{4}{2(-1)} = 2 \] Thay \( x = 2 \) vào biểu thức \( f(x) \): \[ f(2) = -(2)^2 + 4(2) + 5 = -4 + 8 + 5 = 9 \] Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức \( f(x) = -x^2 + 4x + 5 \) là 9, đạt được khi \( x = 2 \). Đáp số: Giá trị lớn nhất của biểu thức là 9, đạt được khi \( x = 2 \). Câu 5. Để giải quyết các bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước theo yêu cầu. Bài 1: Tìm m và n biết $\overrightarrow{c} = 2\overrightarrow{a} - 3\overrightarrow{b}$ Bước 1: Xác định các vectơ - $\overrightarrow{a} = (m, 2)$ - $\overrightarrow{b} = (-3, n)$ - $\overrightarrow{c} = (-2m, 7)$ Bước 2: Tính $2\overrightarrow{a}$ \[ 2\overrightarrow{a} = 2(m, 2) = (2m, 4) \] Bước 3: Tính $3\overrightarrow{b}$ \[ 3\overrightarrow{b} = 3(-3, n) = (-9, 3n) \] Bước 4: Tính $2\overrightarrow{a} - 3\overrightarrow{b}$ \[ 2\overrightarrow{a} - 3\overrightarrow{b} = (2m, 4) - (-9, 3n) = (2m + 9, 4 - 3n) \] Bước 5: So sánh với $\overrightarrow{c}$ \[ \overrightarrow{c} = (-2m, 7) \] \[ 2\overrightarrow{a} - 3\overrightarrow{b} = (2m + 9, 4 - 3n) \] Do đó: \[ -2m = 2m + 9 \] \[ 7 = 4 - 3n \] Bước 6: Giải phương trình - Từ phương trình thứ nhất: \[ -2m = 2m + 9 \] \[ -4m = 9 \] \[ m = -\frac{9}{4} \] - Từ phương trình thứ hai: \[ 7 = 4 - 3n \] \[ 3n = 4 - 7 \] \[ 3n = -3 \] \[ n = -1 \] Vậy, $m = -\frac{9}{4}$ và $n = -1$. Bài 2: Tìm tọa độ điểm E thỏa mãn $\overrightarrow{AE} = -2\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AC}$ Bước 1: Xác định các vectơ - $A(2, 2)$ - $B(1, -3)$ - $C(-3, 0)$ Bước 2: Tính $\overrightarrow{AB}$ \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (1 - 2, -3 - 2) = (-1, -5) \] Bước 3: Tính $\overrightarrow{AC}$ \[ \overrightarrow{AC} = C - A = (-3 - 2, 0 - 2) = (-5, -2) \] Bước 4: Tính $-2\overrightarrow{AB}$ \[ -2\overrightarrow{AB} = -2(-1, -5) = (2, 10) \] Bước 5: Tính $3\overrightarrow{AC}$ \[ 3\overrightarrow{AC} = 3(-5, -2) = (-15, -6) \] Bước 6: Tính $\overrightarrow{AE}$ \[ \overrightarrow{AE} = -2\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AC} = (2, 10) + (-15, -6) = (-13, 4) \] Bước 7: Tìm tọa độ điểm E \[ \overrightarrow{AE} = E - A \] \[ (-13, 4) = (E_x - 2, E_y - 2) \] Do đó: \[ E_x - 2 = -13 \] \[ E_x = -11 \] \[ E_y - 2 = 4 \] \[ E_y = 6 \] Vậy, tọa độ điểm E là $(-11, 6)$. Câu 6. Tất nhiên, tôi sẽ tuân thủ các quy tắc đã nêu để giúp học sinh giải quyết các bài toán một cách chính xác, hiệu quả và phù hợp với trình độ của họ. Dưới đây là ví dụ về cách giải một bài toán theo các quy tắc đã đề ra: Bài toán: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \( f(x) = -x^2 + 4x + 5 \). Giải: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): Biểu thức \( f(x) = -x^2 + 4x + 5 \) là một đa thức, do đó nó xác định với mọi \( x \in \mathbb{R} \). 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Biểu thức \( f(x) = -x^2 + 4x + 5 \) là một hàm bậc hai có dạng \( ax^2 + bx + c \) với \( a = -1 \), \( b = 4 \), và \( c = 5 \). Vì \( a < 0 \), hàm số này có giá trị lớn nhất tại đỉnh của parabol. Tọa độ đỉnh của parabol \( y = ax^2 + bx + c \) là: \[ x = -\frac{b}{2a} \] Thay \( a = -1 \) và \( b = 4 \): \[ x = -\frac{4}{2(-1)} = 2 \] Thay \( x = 2 \) vào biểu thức \( f(x) \): \[ f(2) = -(2)^2 + 4(2) + 5 = -4 + 8 + 5 = 9 \] Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức \( f(x) = -x^2 + 4x + 5 \) là 9, đạt được khi \( x = 2 \). Đáp số: Giá trị lớn nhất của biểu thức là 9, đạt được khi \( x = 2 \). Câu 7. Để tìm tọa độ điểm \( M \) trên đường thẳng \( BC \) sao cho diện tích của tam giác \( ABC \) bằng ba lần diện tích của tam giác \( ABM \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tính diện tích tam giác \( ABC \): - Ta sử dụng công thức tính diện tích tam giác từ tọa độ các đỉnh: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right| \] - Thay tọa độ \( A(-3;4) \), \( B(-1;-2) \), \( C(8;1) \): \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \left| -3(-2 - 1) + (-1)(1 - 4) + 8(4 + 2) \right| \] \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \left| -3(-3) + (-1)(-3) + 8(6) \right| \] \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \left| 9 + 3 + 48 \right| \] \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times 60 = 30 \] 2. Diện tích tam giác \( ABM \): - Gọi \( M \) có tọa độ \( (x; y) \). - Diện tích tam giác \( ABM \) sẽ là: \[ S_{ABM} = \frac{1}{2} \left| -3(-2 - y) + (-1)(y - 4) + x(4 + 2) \right| \] \[ S_{ABM} = \frac{1}{2} \left| -3(-2 - y) + (-1)(y - 4) + x(6) \right| \] \[ S_{ABM} = \frac{1}{2} \left| 6 + 3y - y + 4 + 6x \right| \] \[ S_{ABM} = \frac{1}{2} \left| 10 + 2y + 6x \right| \] 3. Điều kiện diện tích tam giác \( ABC \) bằng ba lần diện tích tam giác \( ABM \): - Ta có: \[ S_{ABC} = 3 \times S_{ABM} \] \[ 30 = 3 \times \frac{1}{2} \left| 10 + 2y + 6x \right| \] \[ 30 = \frac{3}{2} \left| 10 + 2y + 6x \right| \] \[ 20 = \left| 10 + 2y + 6x \right| \] 4. Giải phương trình giá trị tuyệt đối: - Ta có hai trường hợp: \[ 10 + 2y + 6x = 20 \quad \text{hoặc} \quad 10 + 2y + 6x = -20 \] - Trường hợp 1: \[ 10 + 2y + 6x = 20 \] \[ 2y + 6x = 10 \] \[ y + 3x = 5 \quad \text{(1)} \] - Trường hợp 2: \[ 10 + 2y + 6x = -20 \] \[ 2y + 6x = -30 \] \[ y + 3x = -15 \quad \text{(2)} \] 5. Xác định tọa độ điểm \( M \) trên đường thẳng \( BC \): - Đường thẳng \( BC \) đi qua \( B(-1; -2) \) và \( C(8; 1) \): \[ \frac{y + 2}{1 + 2} = \frac{x + 1}{8 + 1} \] \[ \frac{y + 2}{3} = \frac{x + 1}{9} \] \[ 3(x + 1) = 9(y + 2) \] \[ x + 1 = 3(y + 2) \] \[ x + 1 = 3y + 6 \] \[ x = 3y + 5 \quad \text{(3)} \] 6. Thay phương trình (3) vào phương trình (1) và (2): - Thay vào (1): \[ y + 3(3y + 5) = 5 \] \[ y + 9y + 15 = 5 \] \[ 10y + 15 = 5 \] \[ 10y = -10 \] \[ y = -1 \] \[ x = 3(-1) + 5 = 2 \] - Tọa độ điểm \( M \) là \( (2; -1) \). - Thay vào (2): \[ y + 3(3y + 5) = -15 \] \[ y + 9y + 15 = -15 \] \[ 10y + 15 = -15 \] \[ 10y = -30 \] \[ y = -3 \] \[ x = 3(-3) + 5 = -4 \] - Tọa độ điểm \( M \) là \( (-4; -3) \). Đáp số: \( M(2; -1) \) hoặc \( M(-4; -3) \). Câu 8. Để tìm tọa độ điểm \( M \) thuộc trục hoành sao cho \( \angle AMB = 90^\circ \), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định tọa độ điểm \( M \): Vì \( M \) thuộc trục hoành, nên tọa độ của \( M \) có dạng \( (x; 0) \). 2. Tính các vectơ: - Vectơ \( \overrightarrow{MA} \) có tọa độ là \( (1 - x; 5 - 0) = (1 - x; 5) \). - Vectơ \( \overrightarrow{MB} \) có tọa độ là \( (9 - x; 3 - 0) = (9 - x; 3) \). 3. Điều kiện vuông góc: Để \( \angle AMB = 90^\circ \), thì \( \overrightarrow{MA} \) và \( \overrightarrow{MB} \) phải vuông góc với nhau. Điều này tương đương với tích vô hướng của hai vectơ bằng 0: \[ \overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0 \] Tính tích vô hướng: \[ (1 - x)(9 - x) + 5 \cdot 3 = 0 \] 4. Giải phương trình: \[ (1 - x)(9 - x) + 15 = 0 \] \[ 9 - x - 9x + x^2 + 15 = 0 \] \[ x^2 - 10x + 24 = 0 \] Đây là phương trình bậc hai. Ta giải phương trình này bằng cách sử dụng công thức nghiệm: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Với \( a = 1 \), \( b = -10 \), \( c = 24 \): \[ x = \frac{10 \pm \sqrt{(-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 96}}{2} \] \[ x = \frac{10 \pm \sqrt{4}}{2} \] \[ x = \frac{10 \pm 2}{2} \] \[ x = 6 \quad \text{hoặc} \quad x = 4 \] 5. Kết luận: Vậy tọa độ điểm \( M \) là \( (6; 0) \) hoặc \( (4; 0) \). Đáp số: \( M(6; 0) \) hoặc \( M(4; 0) \). Câu 9. Để góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ bằng $45^\circ$, ta cần tính tích vô hướng của chúng và so sánh với công thức liên quan đến góc giữa hai vectơ. Bước 1: Tính tích vô hướng của $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$: \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = (3m) \cdot (\sqrt{2}) + (4m - 1) \cdot (\sqrt{2}) \] \[ = 3m\sqrt{2} + (4m - 1)\sqrt{2} \] \[ = 3m\sqrt{2} + 4m\sqrt{2} - \sqrt{2} \] \[ = (3m + 4m)\sqrt{2} - \sqrt{2} \] \[ = 7m\sqrt{2} - \sqrt{2} \] Bước 2: Tính độ dài của $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$: \[ |\overrightarrow{a}| = \sqrt{(3m)^2 + (4m - 1)^2} \] \[ = \sqrt{9m^2 + (4m - 1)^2} \] \[ = \sqrt{9m^2 + 16m^2 - 8m + 1} \] \[ = \sqrt{25m^2 - 8m + 1} \] \[ |\overrightarrow{b}| = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2} \] \[ = \sqrt{2 + 2} \] \[ = \sqrt{4} \] \[ = 2 \] Bước 3: Áp dụng công thức góc giữa hai vectơ: \[ \cos(45^\circ) = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}|} \] \[ \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{7m\sqrt{2} - \sqrt{2}}{2 \sqrt{25m^2 - 8m + 1}} \] Bước 4: Giải phương trình: \[ \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{7m\sqrt{2} - \sqrt{2}}{2 \sqrt{25m^2 - 8m + 1}} \] Nhân cả hai vế với $2 \sqrt{25m^2 - 8m + 1}$: \[ \sqrt{2} \sqrt{25m^2 - 8m + 1} = 7m\sqrt{2} - \sqrt{2} \] Chia cả hai vế cho $\sqrt{2}$: \[ \sqrt{25m^2 - 8m + 1} = 7m - 1 \] Bước 5: Bình phương cả hai vế: \[ 25m^2 - 8m + 1 = (7m - 1)^2 \] \[ 25m^2 - 8m + 1 = 49m^2 - 14m + 1 \] Bước 6: Chuyển tất cả về một vế: \[ 25m^2 - 8m + 1 - 49m^2 + 14m - 1 = 0 \] \[ -24m^2 + 6m = 0 \] \[ -6m(4m - 1) = 0 \] Bước 7: Giải phương trình bậc nhất: \[ m = 0 \quad \text{hoặc} \quad 4m - 1 = 0 \] \[ m = 0 \quad \text{hoặc} \quad m = \frac{1}{4} \] Vậy, giá trị của $m$ để góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ bằng $45^\circ$ là: \[ m = 0 \quad \text{hoặc} \quad m = \frac{1}{4} \] Câu 10. Để tìm tọa độ điểm \( M \) trên trục tung sao cho \( |\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB}| \) đạt giá trị nhỏ nhất, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định tọa độ điểm \( M \): Vì \( M \) nằm trên trục tung, nên tọa độ của \( M \) có dạng \( M(0, y) \). 2. Tính các vectơ \( \overrightarrow{MA} \) và \( \overrightarrow{MB} \): - Tọa độ của \( A \) là \( (4, -2) \). - Tọa độ của \( B \) là \( (10, 4) \). - Tọa độ của \( M \) là \( (0, y) \). Ta có: \[ \overrightarrow{MA} = (4 - 0, -2 - y) = (4, -2 - y) \] \[ \overrightarrow{MB} = (10 - 0, 4 - y) = (10, 4 - y) \] 3. Tính tổng của hai vectơ \( \overrightarrow{MA} \) và \( \overrightarrow{MB} \): \[ \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = (4 + 10, (-2 - y) + (4 - y)) = (14, 2 - 2y) \] 4. Tính độ dài của vectơ \( \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} \): Độ dài của vectơ \( \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} \) là: \[ |\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB}| = \sqrt{(14)^2 + (2 - 2y)^2} = \sqrt{196 + (2 - 2y)^2} \] 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của \( |\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB}| \): Để \( |\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB}| \) đạt giá trị nhỏ nhất, ta cần tối thiểu hóa biểu thức \( \sqrt{196 + (2 - 2y)^2} \). Điều này tương đương với việc tối thiểu hóa \( (2 - 2y)^2 \). Biểu thức \( (2 - 2y)^2 \) đạt giá trị nhỏ nhất khi \( 2 - 2y = 0 \): \[ 2 - 2y = 0 \implies y = 1 \] 6. Kết luận: Tọa độ của điểm \( M \) là \( (0, 1) \). Vậy tọa độ điểm \( M \) trên trục tung sao cho \( |\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB}| \) đạt giá trị nhỏ nhất là \( M(0, 1) \). Câu 11. Để tìm giá trị của \( m \) sao cho \(\overrightarrow{d}\) cùng phương với \(\overrightarrow{a}\), ta cần sử dụng điều kiện hai vectơ cùng phương. Cụ thể, hai vectơ \(\overrightarrow{u} = (u_1, u_2)\) và \(\overrightarrow{v} = (v_1, v_2)\) cùng phương nếu và chỉ nếu: \[ u_1 v_2 = u_2 v_1 \] Áp dụng điều kiện này cho \(\overrightarrow{a} = (2, -1)\) và \(\overrightarrow{d} = (2m + 2, 1 - m^2)\): \[ 2(1 - m^2) = (-1)(2m + 2) \] Bây giờ, ta sẽ giải phương trình này: \[ 2 - 2m^2 = -2m - 2 \] Di chuyển tất cả các hạng tử về một phía: \[ 2 - 2m^2 + 2m + 2 = 0 \] \[ 4 - 2m^2 + 2m = 0 \] Chia cả phương trình cho 2: \[ 2 - m^2 + m = 0 \] Rearrange lại phương trình: \[ -m^2 + m + 2 = 0 \] Nhân cả phương trình với -1 để dễ dàng hơn trong việc giải: \[ m^2 - m - 2 = 0 \] Phương trình này là một phương trình bậc hai, ta sẽ giải nó bằng cách sử dụng công thức nghiệm: \[ m = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Ở đây, \( a = 1 \), \( b = -1 \), và \( c = -2 \): \[ m = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} \] \[ m = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} \] \[ m = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2} \] \[ m = \frac{1 \pm 3}{2} \] Do đó, ta có hai nghiệm: \[ m = \frac{1 + 3}{2} = 2 \] \[ m = \frac{1 - 3}{2} = -1 \] Vì yêu cầu \( m \) dương, ta chọn: \[ m = 2 \] Đáp số: \( m = 2 \) Câu 12. Để $\overrightarrow{c}$ cùng phương với $\overrightarrow{a}$, ta có: \[ \frac{m + n}{1} = \frac{-m - 4n}{-2} \] Từ đây, ta có: \[ m + n = \frac{m + 4n}{2} \] Nhân cả hai vế với 2, ta được: \[ 2(m + n) = m + 4n \] Phân tích và giản ước, ta có: \[ 2m + 2n = m + 4n \] \[ 2m - m = 4n - 2n \] \[ m = 2n \] Tiếp theo, ta biết rằng $|\overrightarrow{c}| = 3\sqrt{5}$. Ta tính độ dài của $\overrightarrow{c}$: \[ |\overrightarrow{c}| = \sqrt{(m + n)^2 + (-m - 4n)^2} \] Thay $m = 2n$ vào, ta có: \[ |\overrightarrow{c}| = \sqrt{(2n + n)^2 + (-2n - 4n)^2} \] \[ = \sqrt{(3n)^2 + (-6n)^2} \] \[ = \sqrt{9n^2 + 36n^2} \] \[ = \sqrt{45n^2} \] \[ = 3\sqrt{5} |n| \] Theo đề bài, ta có: \[ 3\sqrt{5} |n| = 3\sqrt{5} \] Do đó: \[ |n| = 1 \] Vậy ta có hai trường hợp: 1. \( n = 1 \) 2. \( n = -1 \) Trường hợp 1: \( n = 1 \) \[ m = 2n = 2 \times 1 = 2 \] Trường hợp 2: \( n = -1 \) \[ m = 2n = 2 \times (-1) = -2 \] Vậy hai cặp số \( (m, n) \) thỏa mãn là: \[ (2, 1) \quad \text{và} \quad (-2, -1) \] Đáp số: \( (2, 1) \) hoặc \( (-2, -1) \) Câu 13. Để hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ vuông góc nhau, tích vô hướng của chúng phải bằng 0. Ta có: \[ \overrightarrow{a} = \frac{1}{2}\overrightarrow{i} - 5\overrightarrow{j} \] \[ \overrightarrow{b} = x\overrightarrow{i} - 4\overrightarrow{j} \] Tích vô hướng của $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là: \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \left( \frac{1}{2}\overrightarrow{i} - 5\overrightarrow{j} \right) \cdot \left( x\overrightarrow{i} - 4\overrightarrow{j} \right) \] Áp dụng công thức tính tích vô hướng: \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \left( \frac{1}{2} \cdot x \right) + (-5) \cdot (-4) \] \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \frac{x}{2} + 20 \] Để $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ vuông góc nhau, ta có: \[ \frac{x}{2} + 20 = 0 \] Giải phương trình này: \[ \frac{x}{2} = -20 \] Nhân cả hai vế với 2: \[ x = -40 \] Vậy giá trị của \( x \) để $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ vuông góc nhau là: \[ x = -40 \] Câu 14. Để tìm giá trị của \( x \) sao cho \( |\overrightarrow{a}| = |\overrightarrow{b}| \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tính độ dài của vectơ \(\overrightarrow{a}\): \[ |\overrightarrow{a}| = \sqrt{\left( \frac{1}{2} \right)^2 + (-5)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + 25} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{100}{4}} = \sqrt{\frac{101}{4}} = \frac{\sqrt{101}}{2} \] 2. Tính độ dài của vectơ \(\overrightarrow{b}\): \[ |\overrightarrow{b}| = \sqrt{x^2 + (-4)^2} = \sqrt{x^2 + 16} \] 3. Đặt điều kiện để độ dài hai vectơ bằng nhau: \[ |\overrightarrow{a}| = |\overrightarrow{b}| \] Thay các giá trị đã tính vào: \[ \frac{\sqrt{101}}{2} = \sqrt{x^2 + 16} \] 4. Giải phương trình: \[ \left( \frac{\sqrt{101}}{2} \right)^2 = (\sqrt{x^2 + 16})^2 \] \[ \frac{101}{4} = x^2 + 16 \] Nhân cả hai vế với 4 để loại bỏ mẫu số: \[ 101 = 4x^2 + 64 \] Chuyển 64 sang vế trái: \[ 101 - 64 = 4x^2 \] \[ 37 = 4x^2 \] Chia cả hai vế cho 4: \[ x^2 = \frac{37}{4} \] Lấy căn bậc hai của cả hai vế: \[ x = \pm \sqrt{\frac{37}{4}} = \pm \frac{\sqrt{37}}{2} \] Vậy giá trị của \( x \) là: \[ x = \frac{\sqrt{37}}{2} \quad \text{hoặc} \quad x = -\frac{\sqrt{37}}{2} \]