ưiiwisjshdisisoa

Câu 9: Để xác định đường cong trong hình là đồ thị của hàm số nào, chúng ta sẽ kiểm tra từng hàm số đã cho để xem nó có thỏa mãn các đặc điểm của đồ thị không. A. \( y = \frac{x + 1}{x - 1} \) - Khi \( x = 0 \), \( y = \frac{0 + 1}{0 - 1} = -1 \). Điểm này là (0, -1). - Khi \( x \to 1 \), \( y \to \infty \) hoặc \( y \to -\infty \) tùy thuộc vào hướng tiếp cận từ trái hay phải. - Khi \( x \to \infty \), \( y \to 1 \). B. \( y = \frac{-x + 1}{x + 1} \) - Khi \( x = 0 \), \( y = \frac{-0 + 1}{0 + 1} = 1 \). Điểm này là (0, 1). - Khi \( x \to -1 \), \( y \to \infty \) hoặc \( y \to -\infty \) tùy thuộc vào hướng tiếp cận từ trái hay phải. - Khi \( x \to \infty \), \( y \to -1 \). C. \( y = \frac{x - 1}{x + 1} \) - Khi \( x = 0 \), \( y = \frac{0 - 1}{0 + 1} = -1 \). Điểm này là (0, -1). - Khi \( x \to -1 \), \( y \to \infty \) hoặc \( y \to -\infty \) tùy thuộc vào hướng tiếp cận từ trái hay phải. - Khi \( x \to \infty \), \( y \to 1 \). D. \( y = \frac{-x}{x + 1} \) - Khi \( x = 0 \), \( y = \frac{-0}{0 + 1} = 0 \). Điểm này là (0, 0). - Khi \( x \to -1 \), \( y \to \infty \) hoặc \( y \to -\infty \) tùy thuộc vào hướng tiếp cận từ trái hay phải. - Khi \( x \to \infty \), \( y \to -1 \). So sánh các đặc điểm trên với đồ thị trong hình, ta thấy rằng đồ thị trong hình có điểm (0, -1) và khi \( x \to \infty \), \( y \to 1 \). Điều này phù hợp với hàm số \( y = \frac{x - 1}{x + 1} \). Vậy đáp án đúng là: C. \( y = \frac{x - 1}{x + 1} \) Câu 10: Trước tiên, ta cần hiểu rằng trong hình hộp chữ nhật ABCD-A'B'C'D', các cạnh song song và bằng nhau. Do đó, vectơ $\overrightarrow{AB}$ sẽ bằng vectơ của các cạnh song song với nó. Ta xét từng lựa chọn: A. $\overrightarrow{D^\prime C^\prime}$: Đây là vectơ từ đỉnh D' đến đỉnh C', nằm trên mặt bên của hình hộp chữ nhật và song song với cạnh AB. Vì vậy, $\overrightarrow{D^\prime C^\prime}$ = $\overrightarrow{AB}$. B. $\overrightarrow{BA}$: Đây là vectơ ngược chiều với $\overrightarrow{AB}$, do đó $\overrightarrow{BA}$ = -$\overrightarrow{AB}$. C. $\overrightarrow{CD}$: Đây là vectơ từ đỉnh C đến đỉnh D, nằm trên đáy của hình hộp chữ nhật và song song với cạnh AB. Tuy nhiên, $\overrightarrow{CD}$ = -$\overrightarrow{AB}$ vì chúng ngược chiều. D. $\overrightarrow{B^\prime A^\prime}$: Đây là vectơ từ đỉnh B' đến đỉnh A', nằm trên mặt bên của hình hộp chữ nhật và ngược chiều với cạnh AB. Do đó, $\overrightarrow{B^\prime A^\prime}$ = -$\overrightarrow{AB}$. Như vậy, vectơ bằng vectơ $\overrightarrow{AB}$ là $\overrightarrow{D^\prime C^\prime}$. Đáp án đúng là: A. $\overrightarrow{D^\prime C^\prime}$. Câu 11: Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một để xác định mệnh đề nào đúng. A. $\overrightarrow{SA} - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{SB}$ Ta có: $\overrightarrow{SA} - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{SA} + (-\overrightarrow{AB})$ Theo quy tắc trừ vectơ, ta có: $\overrightarrow{SA} - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{BA}$ Nhưng $\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{BA} \neq \overrightarrow{SB}$, vì $\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{SB}$. B. $\overrightarrow{SA} - \overrightarrow{SB} = \overrightarrow{AB}$ Ta có: $\overrightarrow{SA} - \overrightarrow{SB} = \overrightarrow{SA} + (-\overrightarrow{SB})$ Theo quy tắc trừ vectơ, ta có: $\overrightarrow{SA} - \overrightarrow{SB} = \overrightarrow{BA}$ Nhưng $\overrightarrow{BA} \neq \overrightarrow{AB}$, vì $\overrightarrow{BA}$ ngược chiều với $\overrightarrow{AB}$. C. $\overrightarrow{SA} - \overrightarrow{SB} = \overrightarrow{BA}$ Ta có: $\overrightarrow{SA} - \overrightarrow{SB} = \overrightarrow{SA} + (-\overrightarrow{SB})$ Theo quy tắc trừ vectơ, ta có: $\overrightarrow{SA} - \overrightarrow{SB} = \overrightarrow{BA}$ Đúng, vì $\overrightarrow{SA} - \overrightarrow{SB} = \overrightarrow{BA}$. D. $\overrightarrow{SA} - \overrightarrow{SB} = \overrightarrow{SC}$ Ta có: $\overrightarrow{SA} - \overrightarrow{SB} = \overrightarrow{SA} + (-\overrightarrow{SB})$ Theo quy tắc trừ vectơ, ta có: $\overrightarrow{SA} - \overrightarrow{SB} = \overrightarrow{BA}$ Nhưng $\overrightarrow{BA} \neq \overrightarrow{SC}$, vì $\overrightarrow{BA}$ và $\overrightarrow{SC}$ không cùng đường thẳng. Vậy mệnh đề đúng là: C. $\overrightarrow{SA} - \overrightarrow{SB} = \overrightarrow{BA}$ Đáp án: C. $\overrightarrow{SA} - \overrightarrow{SB} = \overrightarrow{BA}$ Câu 12: Để tìm tọa độ hình chiếu của điểm \( M(-2;1;4) \) lên mặt phẳng \( Oyz \), ta thực hiện các bước sau: 1. Hiểu về mặt phẳng \( Oyz \): - Mặt phẳng \( Oyz \) là mặt phẳng đi qua gốc tọa độ \( O \) và song song với trục \( y \) và trục \( z \). 2. Hình chiếu của điểm lên mặt phẳng: - Hình chiếu của một điểm lên một mặt phẳng là điểm nằm trên mặt phẳng đó và có cùng tọa độ \( y \) và \( z \) với điểm ban đầu, trong khi tọa độ \( x \) sẽ là 0. 3. Áp dụng vào điểm \( M(-2;1;4) \): - Tọa độ \( y \) của điểm \( M \) là 1. - Tọa độ \( z \) của điểm \( M \) là 4. - Tọa độ \( x \) của hình chiếu sẽ là 0 vì nó nằm trên mặt phẳng \( Oyz \). Do đó, tọa độ của hình chiếu của điểm \( M(-2;1;4) \) lên mặt phẳng \( Oyz \) là \( (0;1;4) \). Vậy đáp án đúng là: D. \( (0;1;4) \). Câu 13: Hình chiếu vuông góc của điểm \( A(1;2;5) \) trên trục \( Ox \) là điểm có tọa độ \( (x;0;0) \). - Tọa độ \( x \) giữ nguyên là 1. - Tọa độ \( y \) và \( z \) đều bằng 0 vì điểm này nằm trên trục \( Ox \). Do đó, hình chiếu vuông góc của điểm \( A(1;2;5) \) trên trục \( Ox \) có tọa độ là \( (1;0;0) \). Đáp án đúng là: C. \( (1;0;0) \). Câu 14: Để tìm độ dài của vectơ $\overrightarrow{a} = (3; -1; 2)$, ta sử dụng công thức tính độ dài của một vectơ trong không gian Oxyz. Công thức độ dài của vectơ $\overrightarrow{a} = (a_x; a_y; a_z)$ là: \[ |\overrightarrow{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2} \] Áp dụng vào vectơ $\overrightarrow{a} = (3; -1; 2)$, ta có: \[ |\overrightarrow{a}| = \sqrt{3^2 + (-1)^2 + 2^2} \] \[ |\overrightarrow{a}| = \sqrt{9 + 1 + 4} \] \[ |\overrightarrow{a}| = \sqrt{14} \] Vậy độ dài của vectơ $\overrightarrow{a}$ là $\sqrt{14}$. Đáp án đúng là: B. $\sqrt{14}$. Câu 15: Để tìm tọa độ của véctơ $\overrightarrow{AB}$, ta thực hiện phép trừ tọa độ của điểm B trừ đi tọa độ của điểm A. Tọa độ của điểm A là $(1, 1, -1)$ và tọa độ của điểm B là $(2, 3, 2)$. Tọa độ của véctơ $\overrightarrow{AB}$ sẽ là: \[ \overrightarrow{AB} = (2 - 1, 3 - 1, 2 - (-1)) = (1, 2, 3) \] Vậy tọa độ của véctơ $\overrightarrow{AB}$ là $(1, 2, 3)$. Do đó, đáp án đúng là: A. $(1, 2, 3)$ Câu 16: Để tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow c = \overrightarrow a - 2\overrightarrow b$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính $2\overrightarrow b$: \[ 2\overrightarrow b = 2(1; 4; -2) = (2 \cdot 1; 2 \cdot 4; 2 \cdot (-2)) = (2; 8; -4) \] Bước 2: Tính $\overrightarrow c = \overrightarrow a - 2\overrightarrow b$: \[ \overrightarrow c = (3; -1; 2) - (2; 8; -4) = (3 - 2; -1 - 8; 2 - (-4)) = (1; -9; 6) \] Vậy tọa độ của vectơ $\overrightarrow c$ là $(1; -9; 6)$. Do đó, đáp án đúng là: B. $\overrightarrow c = (1; -9; 6)$ Câu 17: Để tìm tọa độ điểm \( M \) sao cho \( \overrightarrow{MA} = 3 \overrightarrow{MB} \), ta thực hiện các bước sau: 1. Gọi tọa độ của điểm \( M \) là \( M(x; y; z) \). 2. Tính các vectơ \( \overrightarrow{MA} \) và \( \overrightarrow{MB} \): - \( \overrightarrow{MA} = (0 - x; -2 - y; 3 - z) = (-x; -2 - y; 3 - z) \) - \( \overrightarrow{MB} = (1 - x; -1 - y; 4 - z) \) 3. Áp dụng điều kiện \( \overrightarrow{MA} = 3 \overrightarrow{MB} \): - Ta có: \( (-x; -2 - y; 3 - z) = 3(1 - x; -1 - y; 4 - z) \) - Điều này dẫn đến ba phương trình sau: \[ -x = 3(1 - x) \\ -2 - y = 3(-1 - y) \\ 3 - z = 3(4 - z) \] 4. Giải các phương trình: - Từ phương trình thứ nhất: \[ -x = 3 - 3x \\ 2x = 3 \\ x = \frac{3}{2} \] - Từ phương trình thứ hai: \[ -2 - y = -3 - 3y \\ 2y = -1 \\ y = -\frac{1}{2} \] - Từ phương trình thứ ba: \[ 3 - z = 12 - 3z \\ 2z = 9 \\ z = \frac{9}{2} \] 5. Tọa độ của điểm \( M \): - Kết hợp các giá trị đã tìm được, ta có: \[ M \left( \frac{3}{2}; -\frac{1}{2}; \frac{9}{2} \right) \] Vậy tọa độ của điểm \( M \) là \( M \left( \frac{3}{2}; -\frac{1}{2}; \frac{9}{2} \right) \). Đáp án đúng là: C. \( M \left( \frac{3}{2}; -\frac{1}{2}; \frac{9}{2} \right) \). Câu 18: Trong không gian Oxyz, cho vectơ $\overrightarrow{MO} = 2\overrightarrow{j} - 3\overrightarrow{i} + \overrightarrow{k}$. Ta cần tìm tọa độ điểm M. Bước 1: Xác định tọa độ của điểm O. - Điểm O là gốc tọa độ, do đó tọa độ của O là $(0, 0, 0)$. Bước 2: Xác định tọa độ của vectơ $\overrightarrow{MO}$. - Vectơ $\overrightarrow{MO}$ có dạng $(x_O - x_M, y_O - y_M, z_O - z_M)$. - Từ đề bài, ta có $\overrightarrow{MO} = (-3, 2, 1)$. Bước 3: Xác định tọa độ của điểm M. - Vì $\overrightarrow{MO} = (0 - x_M, 0 - y_M, 0 - z_M) = (-3, 2, 1)$, ta suy ra: - $0 - x_M = -3 \Rightarrow x_M = 3$ - $0 - y_M = 2 \Rightarrow y_M = -2$ - $0 - z_M = 1 \Rightarrow z_M = -1$ Do đó, tọa độ của điểm M là $(3, -2, -1)$. Vậy đáp án đúng là B. $M(3, -2, -1)$. Câu 19. Để tìm tọa độ của véc tơ $\overrightarrow{PQ}$, ta thực hiện phép trừ tọa độ của điểm Q từ tọa độ của điểm P. Tọa độ của điểm P là $(2, 0, -1)$. Tọa độ của điểm Q là $(1, -1, 3)$. Ta có: \[ \overrightarrow{PQ} = (x_Q - x_P, y_Q - y_P, z_Q - z_P) \] Thay tọa độ của các điểm vào công thức trên: \[ \overrightarrow{PQ} = (1 - 2, -1 - 0, 3 - (-1)) \] \[ \overrightarrow{PQ} = (-1, -1, 4) \] Vậy tọa độ của véc tơ $\overrightarrow{PQ}$ là $(-1, -1, 4)$. Do đó, đáp án đúng là: B. $\overrightarrow{PQ}(-1, -1, 4)$. Câu 20. Để tìm tọa độ của điểm A, ta cần sử dụng thông tin về véctơ $\overrightarrow{OA}$ và véctơ $\overrightarrow{u}$. Theo đề bài, ta có: \[ \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{u} \] với \[ \overrightarrow{u} = (1; 2; 2) \] Do đó, tọa độ của điểm A sẽ là: \[ A = (1; 2; 2) \] Vậy đáp án đúng là: D. $(1; 2; 2)$ Câu 21. Trong không gian Oxyz, mỗi vectơ có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của các thành phần theo các đơn vị vectơ cơ bản $\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k}$. Cho $\overrightarrow{a} = (0; -3; 2)$, ta có: - Thành phần theo $\overrightarrow{i}$ là 0. - Thành phần theo $\overrightarrow{j}$ là -3. - Thành phần theo $\overrightarrow{k}$ là 2. Do đó, vectơ $\overrightarrow{a}$ có thể viết dưới dạng: \[ \overrightarrow{a} = 0 \cdot \overrightarrow{i} + (-3) \cdot \overrightarrow{j} + 2 \cdot \overrightarrow{k} \] Simplifying this, ta có: \[ \overrightarrow{a} = -3 \overrightarrow{j} + 2 \overrightarrow{k} \] Vậy mệnh đề đúng là: A. $\overrightarrow{a} = -3 \overrightarrow{j} + 2 \overrightarrow{k}$ Đáp án: A. $\overrightarrow{a} = -3 \overrightarrow{j} + 2 \overrightarrow{k}$ Câu 22. Trong không gian Oxyz, nếu ta biết vectơ $\overrightarrow{OM} = 2\overrightarrow{i} - 3\overrightarrow{j} + \overrightarrow{k}$, thì ta có thể suy ra tọa độ của điểm M từ các thành phần của vectơ này. Tọa độ của điểm M sẽ là: - Thành phần theo trục Ox là 2 (tương ứng với $\overrightarrow{i}$) - Thành phần theo trục Oy là -3 (tương ứng với $\overrightarrow{j}$) - Thành phần theo trục Oz là 1 (tương ứng với $\overrightarrow{k}$) Do đó, tọa độ của điểm M là $(2, -3, 1)$. Vậy đáp án đúng là: A. $(2, -3, 1)$. Câu 23. Để xác định tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$, ta thực hiện phép trừ tọa độ điểm B từ tọa độ điểm A. Tọa độ của điểm A là $(1; 1; -2)$ và tọa độ của điểm B là $(2; -1; 0)$. Ta có: \[ \overrightarrow{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A) \] Thay tọa độ của A và B vào công thức trên: \[ \overrightarrow{AB} = (2 - 1, -1 - 1, 0 - (-2)) \] \[ \overrightarrow{AB} = (1, -2, 2) \] Vậy tọa độ của $\overrightarrow{AB}$ là $(1; -2; 2)$. Do đó, đáp án đúng là: D. $\overrightarrow{AB} = (1; -2; 2)$. Câu 24. Trong không gian Oxyz, vectơ $\overrightarrow{a}$ được biểu diễn qua các vectơ đơn vị $\overrightarrow{i}$, $\overrightarrow{j}$, $\overrightarrow{k}$ như sau: \[ \overrightarrow{a} = 2\overrightarrow{i} - 3\overrightarrow{j} + \overrightarrow{k} \] Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{a}$ sẽ là các hệ số của các vectơ đơn vị $\overrightarrow{i}$, $\overrightarrow{j}$, $\overrightarrow{k}$ tương ứng. Do đó, tọa độ của vectơ $\overrightarrow{a}$ là: \[ (2, -3, 1) \] Vậy đáp án đúng là: C. $(2, -3, 1)$