Giai giúp mình vơiisiii

Câu 33. Để tìm khoảng cách từ điểm \( M(-4; -5; 6) \) đến các mặt phẳng (Oxy) và (Oyz), ta thực hiện như sau: 1. Khoảng cách từ điểm \( M \) đến mặt phẳng (Oxy): Mặt phẳng (Oxy) có phương trình là \( z = 0 \). Khoảng cách từ điểm \( M(x_0, y_0, z_0) \) đến mặt phẳng \( z = 0 \) là giá trị tuyệt đối của tọa độ \( z \) của điểm đó. Do đó, khoảng cách từ điểm \( M(-4; -5; 6) \) đến mặt phẳng (Oxy) là: \[ d_{(Oxy)} = |z| = |6| = 6 \] 2. Khoảng cách từ điểm \( M \) đến mặt phẳng (Oyz): Mặt phẳng (Oyz) có phương trình là \( x = 0 \). Khoảng cách từ điểm \( M(x_0, y_0, z_0) \) đến mặt phẳng \( x = 0 \) là giá trị tuyệt đối của tọa độ \( x \) của điểm đó. Do đó, khoảng cách từ điểm \( M(-4; -5; 6) \) đến mặt phẳng (Oyz) là: \[ d_{(Oyz)} = |x| = |-4| = 4 \] Vậy khoảng cách từ điểm \( M(-4; -5; 6) \) đến mặt phẳng (Oxy) và (Oyz) lần lượt là 6 và 4. Đáp án đúng là: A. 6 và 4. Câu 34. Để tính khoảng cách từ điểm \( B(x_0; y_0; z_0) \) đến mặt phẳng \( (P): y + 1 = 0 \), ta sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Công thức khoảng cách từ điểm \( M(x_0, y_0, z_0) \) đến mặt phẳng \( ax + by + cz + d = 0 \) là: \[ d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \] Trong trường hợp này, mặt phẳng \( (P): y + 1 = 0 \) có dạng \( 0x + 1y + 0z + 1 = 0 \). Do đó, các hệ số là: - \( a = 0 \) - \( b = 1 \) - \( c = 0 \) - \( d = 1 \) Áp dụng vào công thức trên, ta có: \[ d = \frac{|0 \cdot x_0 + 1 \cdot y_0 + 0 \cdot z_0 + 1|}{\sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2}} = \frac{|y_0 + 1|}{\sqrt{1}} = |y_0 + 1| \] Vậy khoảng cách từ điểm \( B(x_0; y_0; z_0) \) đến mặt phẳng \( (P): y + 1 = 0 \) là \( |y_0 + 1| \). Do đó, khẳng định đúng là: \[ D.~|y_0 + 1| \] Câu 35. Để tìm khoảng cách từ điểm \( C(-2;0;0) \) đến mặt phẳng (Oxy), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định phương trình của mặt phẳng (Oxy): Mặt phẳng (Oxy) có phương trình là \( z = 0 \). 2. Áp dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng: Công thức khoảng cách từ điểm \( M(x_0, y_0, z_0) \) đến mặt phẳng \( ax + by + cz + d = 0 \) là: \[ d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \] Trong đó, \( a = 0 \), \( b = 0 \), \( c = 1 \), \( d = 0 \) và điểm \( C(-2, 0, 0) \). 3. Thay các giá trị vào công thức: \[ d = \frac{|0 \cdot (-2) + 0 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + 0|}{\sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2}} = \frac{|0|}{\sqrt{1}} = 0 \] Vậy khoảng cách từ điểm \( C(-2;0;0) \) đến mặt phẳng (Oxy) là 0. Đáp án đúng là: A. 0. Câu 36. Để tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$, ta sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Công thức khoảng cách từ một điểm $M(x_0, y_0, z_0)$ đến mặt phẳng $(P): ax + by + cz + d = 0$ là: \[ d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \] Trước tiên, ta chọn một điểm thuộc mặt phẳng $(Q)$. Chọn điểm $A(0, 0, \frac{3}{2})$ (vì thay vào phương trình $(Q)$ ta có $0 + 0 + 2 \cdot \frac{3}{2} - 3 = 0$). Bây giờ, ta tính khoảng cách từ điểm $A(0, 0, \frac{3}{2})$ đến mặt phẳng $(P): x + 2y + 2z - 10 = 0$. Áp dụng công thức: \[ d = \frac{|1 \cdot 0 + 2 \cdot 0 + 2 \cdot \frac{3}{2} - 10|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2}} \] \[ d = \frac{|0 + 0 + 3 - 10|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} \] \[ d = \frac{|-7|}{\sqrt{9}} \] \[ d = \frac{7}{3} \] Vậy khoảng cách giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ là $\frac{7}{3}$. Đáp án đúng là: C. $\frac{7}{3}$. Câu 37. Để tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$, ta sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Công thức khoảng cách từ một điểm $M(x_0, y_0, z_0)$ đến mặt phẳng $(P): ax + by + cz + d = 0$ là: \[ d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \] Trước tiên, ta nhận thấy rằng hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ có cùng phương pháp chuẩn $(1, 2, 3)$, do đó chúng song song với nhau. Để tính khoảng cách giữa chúng, ta chọn một điểm bất kỳ trên mặt phẳng $(P)$ và tính khoảng cách từ điểm đó đến mặt phẳng $(Q)$. Chọn điểm $A(1, 0, 0)$ thuộc mặt phẳng $(P)$ (vì thay vào phương trình $(P)$ ta có $1 + 2 \cdot 0 + 3 \cdot 0 - 1 = 0$). Bây giờ, ta tính khoảng cách từ điểm $A(1, 0, 0)$ đến mặt phẳng $(Q): x + 2y + 3z + 6 = 0$. Áp dụng công thức khoảng cách: \[ d = \frac{|1 \cdot 1 + 2 \cdot 0 + 3 \cdot 0 + 6|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2}} = \frac{|1 + 0 + 0 + 6|}{\sqrt{1 + 4 + 9}} = \frac{|7|}{\sqrt{14}} = \frac{7}{\sqrt{14}} \] Vậy khoảng cách giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ là $\frac{7}{\sqrt{14}}$. Đáp án đúng là: A. $\frac{7}{\sqrt{14}}$. Câu 38. Để tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$, ta sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Bước 1: Xác định một điểm thuộc mặt phẳng $(P)$. Chọn điểm $A(0, 0, 4)$ thuộc mặt phẳng $(P)$ vì thay vào phương trình $(P)$ ta có: \[ 0 + 2 \cdot 0 + 2 \cdot 4 - 8 = 0 \] Bước 2: Áp dụng công thức khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(Q)$: \[ d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \] Trong đó, $(a, b, c, d)$ là các hệ số trong phương trình mặt phẳng $(Q)$, và $(x_0, y_0, z_0)$ là tọa độ của điểm $A$. Thay các giá trị vào công thức: \[ d = \frac{|1 \cdot 0 + 2 \cdot 0 + 2 \cdot 4 - 4|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2}} \] \[ d = \frac{|0 + 0 + 8 - 4|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} \] \[ d = \frac{|4|}{\sqrt{9}} \] \[ d = \frac{4}{3} \] Vậy khoảng cách giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ là $\frac{4}{3}$. Đáp án đúng là: B. $\frac{4}{3}$. Câu 39. Để xác định mặt phẳng nào trong các lựa chọn dưới đây vuông góc với mặt phẳng $(P):~2x+y+z-2=0$, ta cần kiểm tra xem vector pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ có vuông góc với vector pháp tuyến của các mặt phẳng khác hay không. Vector pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là $\vec{n}_P = (2, 1, 1)$. Bây giờ, ta sẽ kiểm tra từng lựa chọn: A. Mặt phẳng $2x - y - z - 2 = 0$ có vector pháp tuyến là $\vec{n}_A = (2, -1, -1)$. Tích vô hướng giữa $\vec{n}_P$ và $\vec{n}_A$ là: \[ \vec{n}_P \cdot \vec{n}_A = 2 \cdot 2 + 1 \cdot (-1) + 1 \cdot (-1) = 4 - 1 - 1 = 2 \neq 0 \] Vậy hai mặt phẳng này không vuông góc. B. Mặt phẳng $x - y - z - 2 = 0$ có vector pháp tuyến là $\vec{n}_B = (1, -1, -1)$. Tích vô hướng giữa $\vec{n}_P$ và $\vec{n}_B$ là: \[ \vec{n}_P \cdot \vec{n}_B = 2 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) + 1 \cdot (-1) = 2 - 1 - 1 = 0 \] Vậy hai mặt phẳng này vuông góc. C. Mặt phẳng $x + y + z - 2 = 0$ có vector pháp tuyến là $\vec{n}_C = (1, 1, 1)$. Tích vô hướng giữa $\vec{n}_P$ và $\vec{n}_C$ là: \[ \vec{n}_P \cdot \vec{n}_C = 2 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = 2 + 1 + 1 = 4 \neq 0 \] Vậy hai mặt phẳng này không vuông góc. D. Mặt phẳng $2x + y + z - 2 = 0$ có vector pháp tuyến là $\vec{n}_D = (2, 1, 1)$. Tích vô hướng giữa $\vec{n}_P$ và $\vec{n}_D$ là: \[ \vec{n}_P \cdot \vec{n}_D = 2 \cdot 2 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = 4 + 1 + 1 = 6 \neq 0 \] Vậy hai mặt phẳng này không vuông góc. Như vậy, mặt phẳng $(P):~2x+y+z-2=0$ vuông góc với mặt phẳng $x - y - z - 2 = 0$. Đáp án đúng là: B. $x - y - z - 2 = 0$. Câu 40. Để mặt phẳng $(P)$ song song với mặt phẳng $(Q)$, ta cần so sánh các hệ số của $x$, $y$, và $z$ trong phương trình của chúng. Phương trình của $(P)$ là: \[ 2x + my + 3z - 5 = 0 \] Phương trình của $(Q)$ là: \[ nx - 8y - 6z + 2 = 0 \] Hai mặt phẳng song song nếu tỉ lệ giữa các hệ số tương ứng của chúng là như nhau. Do đó, ta có: \[ \frac{2}{n} = \frac{m}{-8} = \frac{3}{-6} \] Tính tỉ lệ $\frac{3}{-6}$: \[ \frac{3}{-6} = -\frac{1}{2} \] Bây giờ, ta sẽ tìm $n$ từ tỉ lệ $\frac{2}{n} = -\frac{1}{2}$: \[ \frac{2}{n} = -\frac{1}{2} \] \[ n = 2 \times (-2) \] \[ n = -4 \] Tiếp theo, ta tìm $m$ từ tỉ lệ $\frac{m}{-8} = -\frac{1}{2}$: \[ \frac{m}{-8} = -\frac{1}{2} \] \[ m = -8 \times (-\frac{1}{2}) \] \[ m = 4 \] Vậy, để mặt phẳng $(P)$ song song với mặt phẳng $(Q)$, ta cần $m = 4$ và $n = -4$. Đáp án đúng là: B. $m = 4; n = -4$. Câu 41. Để hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ vuông góc với nhau, tích vô hướng của hai vectơ pháp tuyến của chúng phải bằng 0. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là $\vec{n}_1 = (1, -2, 2)$. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(Q)$ là $\vec{n}_2 = (m, 1, -2)$. Tích vô hướng của hai vectơ pháp tuyến này là: \[ \vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 1 \cdot m + (-2) \cdot 1 + 2 \cdot (-2) = m - 2 - 4 = m - 6 \] Để hai mặt phẳng vuông góc với nhau, ta có: \[ m - 6 = 0 \] \[ m = 6 \] Vậy giá trị của \( m \) để hai mặt phẳng vuông góc với nhau là \( m = 6 \). Đáp án đúng là: D. \( m = 6 \). Câu 42. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc. 2. Xác định điều kiện để hai mặt phẳng song song. 3. Tìm giá trị của \( m \) và \( n \) dựa trên các điều kiện đã xác định. 4. Tính tổng \( m + 2n \). Bước 1: Xác định điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc. Hai mặt phẳng \((P)\) và \((R)\) vuông góc nếu tích vô hướng của các véctơ pháp tuyến của chúng bằng 0. Véctơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\) là \(\vec{n}_P = (1, 1, 1)\). Véctơ pháp tuyến của mặt phẳng \((R)\) là \(\vec{n}_R = (-1, 2, n)\). Tích vô hướng của \(\vec{n}_P\) và \(\vec{n}_R\) là: \[ 1 \cdot (-1) + 1 \cdot 2 + 1 \cdot n = 0 \] \[ -1 + 2 + n = 0 \] \[ n = -1 \] Bước 2: Xác định điều kiện để hai mặt phẳng song song. Hai mặt phẳng \((P)\) và \((Q)\) song song nếu các véctơ pháp tuyến của chúng tỉ lệ với nhau. Véctơ pháp tuyến của mặt phẳng \((Q)\) là \(\vec{n}_Q = (2, m, 2)\). Để \((P)\) và \((Q)\) song song, ta có: \[ \frac{2}{1} = \frac{m}{1} = \frac{2}{1} \] \[ m = 2 \] Bước 3: Tính tổng \( m + 2n \). Ta đã tìm được \( m = 2 \) và \( n = -1 \). Vậy: \[ m + 2n = 2 + 2(-1) = 2 - 2 = 0 \] Đáp án đúng là: C. 0. Câu 43. Để mặt phẳng (Q) vuông góc với mặt phẳng (P), ta cần tìm tham số \( m \) sao cho vectơ pháp tuyến của (P) và (Q) vuông góc với nhau. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là: \[ \vec{n}_P = (1, 1, -2) \] Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q) là: \[ \vec{n}_Q = (4, 2-m, m) \] Hai mặt phẳng vuông góc nhau khi tích vô hướng của hai vectơ pháp tuyến bằng 0: \[ \vec{n}_P \cdot \vec{n}_Q = 0 \] Tính tích vô hướng: \[ 1 \cdot 4 + 1 \cdot (2-m) + (-2) \cdot m = 0 \] \[ 4 + 2 - m - 2m = 0 \] \[ 6 - 3m = 0 \] \[ 3m = 6 \] \[ m = 2 \] Vậy tham số \( m \) để mặt phẳng (Q) vuông góc với mặt phẳng (P) là: \[ m = 2 \] Đáp án đúng là: D. \( m = 2 \). Câu 44. Để hai mặt phẳng $(\alpha)$ và $(\beta)$ song song với nhau, chúng phải có cùng một vectơ pháp tuyến hoặc tỉ lệ với nhau. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ là $\vec{n}_1 = (1, 2, -1)$. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\beta)$ là $\vec{n}_2 = (2, 4, -m)$. Hai mặt phẳng song song nếu $\vec{n}_1$ và $\vec{n}_2$ tỉ lệ với nhau, tức là: \[ \frac{2}{1} = \frac{4}{2} = \frac{-m}{-1} \] Từ đây ta có: \[ 2 = 2 \] \[ \frac{-m}{-1} = 2 \Rightarrow m = 2 \] Vậy, giá trị của \( m \) để hai mặt phẳng $(\alpha)$ và $(\beta)$ song song là \( m = 2 \). Đáp án đúng là: D. \( m = 2 \). Câu 45. Để tìm mặt phẳng song song với mặt phẳng $(P)$ và cách $(P)$ một khoảng bằng 3, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$: Mặt phẳng $(P)$ có phương trình: $x + 2y - 2z - 1 = 0$. Vectơ pháp tuyến của $(P)$ là $\vec{n} = (1, 2, -2)$. 2. Viết phương trình mặt phẳng song song với $(P)$: Mặt phẳng song song với $(P)$ sẽ có cùng vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (1, 2, -2)$. Do đó, phương trình của mặt phẳng này có dạng: \[ x + 2y - 2z + d = 0 \] Trong đó, $d$ là hằng số cần tìm. 3. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng $Ax + By + Cz + D_1 = 0$ và $Ax + By + Cz + D_2 = 0$ là: \[ d = \frac{|D_2 - D_1|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \] Áp dụng vào bài toán, ta có: \[ d = \frac{|d - (-1)|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2}} = \frac{|d + 1|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} = \frac{|d + 1|}{3} \] Ta biết rằng khoảng cách này bằng 3, do đó: \[ \frac{|d + 1|}{3} = 3 \implies |d + 1| = 9 \] 4. Giải phương trình để tìm $d$: \[ |d + 1| = 9 \implies d + 1 = 9 \text{ hoặc } d + 1 = -9 \] Từ đó, ta có: \[ d = 8 \text{ hoặc } d = -10 \] 5. Viết phương trình của các mặt phẳng: - Nếu $d = 8$, phương trình mặt phẳng là: \[ x + 2y - 2z + 8 = 0 \] - Nếu $d = -10$, phương trình mặt phẳng là: \[ x + 2y - 2z - 10 = 0 \] 6. Kiểm tra đáp án: Các phương án đã cho là: - A. $(Q): x + 2y - 2z + 8 = 0$ - B. $(Q): x + 2y - 2z + 5 = 0$ Trong đó, phương án đúng là: - A. $(Q): x + 2y - 2z + 8 = 0$ Vậy mặt phẳng song song với $(P)$ và cách $(P)$ một khoảng bằng 3 là: \[ (Q): x + 2y - 2z + 8 = 0 \]