trả lời ngắn

Câu 1: Để tìm vận tốc lớn nhất của vật trong khoảng thời gian 10 giây, chúng ta cần thực hiện các bước sau: 1. Tìm công thức của vận tốc: Vận tốc tức thời của vật là đạo hàm của quãng đường theo thời gian. Do đó, ta có: \[ v(t) = \frac{dS}{dt} = \frac{d}{dt}(-t^3 + 15t^2) = -3t^2 + 30t \] 2. Tìm cực đại của vận tốc: Để tìm giá trị lớn nhất của vận tốc trong khoảng thời gian từ 0 đến 10 giây, ta cần tìm điểm cực đại của hàm số \(v(t)\). Ta làm như sau: - Tính đạo hàm của \(v(t)\): \[ v'(t) = \frac{d}{dt}(-3t^2 + 30t) = -6t + 30 \] - Tìm điểm cực đại bằng cách giải phương trình \(v'(t) = 0\): \[ -6t + 30 = 0 \implies t = 5 \] 3. Kiểm tra giá trị của vận tốc tại các điểm biên và điểm cực đại: - Tại \(t = 0\): \[ v(0) = -3(0)^2 + 30(0) = 0 \] - Tại \(t = 5\): \[ v(5) = -3(5)^2 + 30(5) = -3(25) + 150 = -75 + 150 = 75 \] - Tại \(t = 10\): \[ v(10) = -3(10)^2 + 30(10) = -3(100) + 300 = -300 + 300 = 0 \] 4. So sánh các giá trị để tìm giá trị lớn nhất: - \(v(0) = 0\) - \(v(5) = 75\) - \(v(10) = 0\) Như vậy, giá trị lớn nhất của vận tốc trong khoảng thời gian từ 0 đến 10 giây là 75 m/s, đạt được khi \(t = 5\) giây. Đáp số: Vận tốc lớn nhất của vật đạt được là 75 m/s, đạt được khi \(t = 5\) giây. Câu 2: Trước tiên, ta cần tìm góc giữa mặt bên và mặt đáy của hình chóp tứ giác đều. Gọi \( O \) là tâm của đáy, \( H \) là chân đường cao hạ từ đỉnh \( S \) của hình chóp xuống đáy, và \( M \) là trung điểm của một cạnh đáy. 1. Tìm khoảng cách từ tâm đáy \( O \) đến trung điểm \( M \) của một cạnh đáy: Vì đáy là hình vuông có cạnh 180m, nên khoảng cách từ tâm \( O \) đến trung điểm \( M \) của một cạnh đáy là: \[ OM = \frac{180}{2} = 90 \text{ m} \] 2. Tìm khoảng cách từ đỉnh \( S \) đến trung điểm \( M \) của một cạnh đáy: Ta có \( SH \) là đường cao của hình chóp, và \( SM \) là khoảng cách từ đỉnh \( S \) đến trung điểm \( M \). Ta sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác \( SOM \): \[ SM = \sqrt{SH^2 + OM^2} = \sqrt{98^2 + 90^2} = \sqrt{9604 + 8100} = \sqrt{17704} \approx 133.05 \text{ m} \] 3. Tìm góc giữa mặt bên và mặt đáy: Góc giữa mặt bên và mặt đáy là góc \( \alpha \) giữa \( SM \) và \( OM \). Ta có: \[ \tan \alpha = \frac{SH}{OM} = \frac{98}{90} \approx 1.09 \] Vậy, giá trị của \( \tan \alpha \) làm tròn đến hàng phần mười là: \[ \tan \alpha \approx 1.1 \] Câu 3: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tính xác suất để trong một ván, người chơi thắng. 2. Tính xác suất để trong 4 ván, người chơi thắng ít nhất 3 ván. 3. Tìm giá trị của \(a\) và \(b\) sao cho phân số \(\frac{a}{b}\) tối giản. 4. Tính \(b - 651a\). Bước 1: Tính xác suất để trong một ván, người chơi thắng. Trong một ván, người chơi thắng nếu trong ba con súc sắc có ít nhất hai con súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm. Ta tính xác suất của các trường hợp này. - Xác suất để một con súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm là \(\frac{1}{6}\). - Xác suất để một con súc sắc không xuất hiện mặt 6 chấm là \(\frac{5}{6}\). Xác suất để trong ba con súc sắc có đúng hai con súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm: \[ P(2) = \binom{3}{2} \left(\frac{1}{6}\right)^2 \left(\frac{5}{6}\right) = 3 \cdot \frac{1}{36} \cdot \frac{5}{6} = \frac{15}{216} = \frac{5}{72} \] Xác suất để trong ba con súc sắc có cả ba con súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm: \[ P(3) = \left(\frac{1}{6}\right)^3 = \frac{1}{216} \] Vậy xác suất để trong một ván, người chơi thắng là: \[ P(\text{thắng}) = P(2) + P(3) = \frac{5}{72} + \frac{1}{216} = \frac{15}{216} + \frac{1}{216} = \frac{16}{216} = \frac{2}{27} \] Bước 2: Tính xác suất để trong 4 ván, người chơi thắng ít nhất 3 ván. Ta sử dụng công thức xác suất nhị thức: \[ P(X \geq 3) = P(X = 3) + P(X = 4) \] Xác suất để trong 4 ván, người chơi thắng đúng 3 ván: \[ P(X = 3) = \binom{4}{3} \left(\frac{2}{27}\right)^3 \left(\frac{25}{27}\right) = 4 \cdot \frac{8}{19683} \cdot \frac{25}{27} = \frac{800}{531441} \] Xác suất để trong 4 ván, người chơi thắng đúng 4 ván: \[ P(X = 4) = \left(\frac{2}{27}\right)^4 = \frac{16}{531441} \] Vậy xác suất để trong 4 ván, người chơi thắng ít nhất 3 ván là: \[ P(X \geq 3) = \frac{800}{531441} + \frac{16}{531441} = \frac{816}{531441} = \frac{272}{177147} \] Bước 3: Tìm giá trị của \(a\) và \(b\) sao cho phân số \(\frac{a}{b}\) tối giản. Phân số \(\frac{272}{177147}\) đã tối giản. Bước 4: Tính \(b - 651a\). \[ b - 651a = 177147 - 651 \cdot 272 = 177147 - 177192 = -45 \] Vậy \(b - 651a = -45\). Đáp số: \(-45\).