<p>Giúpppp emmmm</p>

Câu 1. Để tính phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm trung vị của mỗi nhóm: - Nhóm [1; 3): Trung vị là $\frac{1 + 3}{2} = 2$ - Nhóm [3; 5): Trung vị là $\frac{3 + 5}{2} = 4$ - Nhóm [5; 7): Trung vị là $\frac{5 + 7}{2} = 6$ - Nhóm [7; 9): Trung vị là $\frac{7 + 9}{2} = 8$ - Nhóm [9; 11): Trung vị là $\frac{9 + 11}{2} = 10$ 2. Tính tổng số học sinh: \[ n = 5 + 2 + 1 + 10 + 8 = 26 \] 3. Tính trung bình cộng của mẫu số liệu: \[ \bar{x} = \frac{(2 \times 5) + (4 \times 2) + (6 \times 1) + (8 \times 10) + (10 \times 8)}{26} \] \[ \bar{x} = \frac{10 + 8 + 6 + 80 + 80}{26} = \frac{184}{26} \approx 7.0769 \] 4. Tính phương sai: Phương sai được tính theo công thức: \[ s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{k} f_i (x_i - \bar{x})^2}{n} \] Trong đó, $f_i$ là tần số của nhóm thứ i, $x_i$ là trung vị của nhóm thứ i, và $\bar{x}$ là trung bình cộng. Ta tính từng phần: \[ (2 - 7.0769)^2 \times 5 = (-5.0769)^2 \times 5 = 25.773 \times 5 = 128.865 \] \[ (4 - 7.0769)^2 \times 2 = (-3.0769)^2 \times 2 = 9.467 \times 2 = 18.934 \] \[ (6 - 7.0769)^2 \times 1 = (-1.0769)^2 \times 1 = 1.160 \times 1 = 1.160 \] \[ (8 - 7.0769)^2 \times 10 = (0.9231)^2 \times 10 = 0.852 \times 10 = 8.520 \] \[ (10 - 7.0769)^2 \times 8 = (2.9231)^2 \times 8 = 8.544 \times 8 = 68.352 \] Tổng các giá trị này là: \[ 128.865 + 18.934 + 1.160 + 8.520 + 68.352 = 225.831 \] Phương sai là: \[ s^2 = \frac{225.831}{26} \approx 8.686 \] Kết quả làm tròn đến hàng phần mười: \[ s^2 \approx 8.7 \] Đáp số: Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là 8.7. Câu 2. Để tìm tốc độ trung bình \( v \) sao cho chi phí tiền xăng \( C(v) \) là thấp nhất, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của \( C(v) \): \[ C(v) = \frac{5v}{7} + \frac{21780}{7v} \] Đạo hàm của \( C(v) \): \[ C'(v) = \frac{d}{dv}\left(\frac{5v}{7}\right) + \frac{d}{dv}\left(\frac{21780}{7v}\right) \] \[ C'(v) = \frac{5}{7} - \frac{21780}{7v^2} \] 2. Tìm điểm cực tiểu của \( C(v) \): Đặt \( C'(v) = 0 \): \[ \frac{5}{7} - \frac{21780}{7v^2} = 0 \] \[ \frac{5}{7} = \frac{21780}{7v^2} \] \[ 5v^2 = 21780 \] \[ v^2 = \frac{21780}{5} \] \[ v^2 = 4356 \] \[ v = \sqrt{4356} \] \[ v = 66 \] 3. Kiểm tra điều kiện \( 0 \leq v \leq 110 \): \( v = 66 \) nằm trong khoảng \( 0 \leq v \leq 110 \). 4. Xác định giá trị cực tiểu: Ta kiểm tra đạo hàm thứ hai \( C''(v) \): \[ C''(v) = \frac{d}{dv}\left(\frac{5}{7} - \frac{21780}{7v^2}\right) \] \[ C''(v) = \frac{d}{dv}\left(- \frac{21780}{7v^2}\right) \] \[ C''(v) = \frac{43560}{7v^3} \] Tại \( v = 66 \): \[ C''(66) = \frac{43560}{7 \times 66^3} > 0 \] Vì \( C''(66) > 0 \), nên \( v = 66 \) là điểm cực tiểu của \( C(v) \). 5. Kết luận: Chi phí tiền xăng là thấp nhất khi tốc độ trung bình \( v = 66 \) km/h. Đáp số: \( v = 66 \) km/h. Câu 3. Trước tiên, ta xác định tọa độ của các đỉnh của hình hộp $ABCD.A_1B_1C_1D_1$ trong hệ tọa độ Oxyz. - Điểm $A$ trùng với gốc tọa độ, do đó tọa độ của $A$ là $(0;0;0)$. - Điểm $B$ nằm trên tia Ox, do đó tọa độ của $B$ là $(7;0;0)$. - Điểm $D$ nằm trên tia Oy, do đó tọa độ của $D$ là $(0;3;0)$. - Điểm $A_1$ nằm trên tia Oz, do đó tọa độ của $A_1$ là $(0;0;5)$. Tiếp theo, ta xác định tọa độ của điểm $C_1$. Vì $C_1$ là đỉnh của hình hộp đối diện với $A$, nên tọa độ của $C_1$ sẽ là $(7;3;5)$. Bây giờ, ta tìm tọa độ của trung điểm $M$ của đoạn thẳng $AC_1$. Công thức tính tọa độ trung điểm của đoạn thẳng giữa hai điểm $(x_1, y_1, z_1)$ và $(x_2, y_2, z_2)$ là: \[ \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}, \frac{z_1 + z_2}{2} \right) \] Áp dụng công thức này cho đoạn thẳng $AC_1$: \[ M = \left( \frac{0 + 7}{2}, \frac{0 + 3}{2}, \frac{0 + 5}{2} \right) = \left( \frac{7}{2}, \frac{3}{2}, \frac{5}{2} \right) \] Do đó, tọa độ của $M$ là $\left( \frac{7}{2}, \frac{3}{2}, \frac{5}{2} \right)$. Cuối cùng, ta tính giá trị của biểu thức $P = 2a - 3b + 2c$ với $a = \frac{7}{2}$, $b = \frac{3}{2}$, và $c = \frac{5}{2}$: \[ P = 2 \left( \frac{7}{2} \right) - 3 \left( \frac{3}{2} \right) + 2 \left( \frac{5}{2} \right) \] \[ P = 7 - \frac{9}{2} + 5 \] \[ P = 7 + 5 - \frac{9}{2} \] \[ P = 12 - \frac{9}{2} \] \[ P = \frac{24}{2} - \frac{9}{2} \] \[ P = \frac{15}{2} \] \[ P = 7.5 \] Vậy giá trị của $P$ là $7.5$. Câu 4. Để tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tính tổng số người trong mẫu số liệu: \[ n = 29 + 26 + 24 + 2 + 28 = 109 \] 2. Xác định các chỉ số Q1 và Q3: - Chỉ số Q1 (tứ phân vị thứ nhất) nằm ở vị trí $\frac{n}{4} = \frac{109}{4} = 27,25$. - Chỉ số Q3 (tứ phân vị thứ ba) nằm ở vị trí $\frac{3n}{4} = \frac{3 \times 109}{4} = 81,75$. 3. Xác định khoảng chứa Q1 và Q3: - Tính tổng dãy số người từ dưới lên: \[ 29 < 27,25 < 55 \quad \text{(vì 29 + 26 = 55)} \] Do đó, Q1 nằm trong khoảng [31; 41). - Tương tự, tính tổng dãy số người từ dưới lên: \[ 55 < 81,75 < 79 \quad \text{(vì 29 + 26 + 24 = 79)} \] Do đó, Q3 nằm trong khoảng [41; 51). 4. Tìm giá trị cụ thể của Q1 và Q3: - Q1 nằm trong khoảng [31; 41). Ta sử dụng công thức để tìm giá trị cụ thể: \[ Q1 = 31 + \left( \frac{27,25 - 29}{26} \right) \times 10 = 31 + \left( \frac{-1,75}{26} \right) \times 10 = 31 - 0,673 = 30,327 \approx 30,3 \] - Q3 nằm trong khoảng [41; 51). Ta sử dụng công thức tương tự: \[ Q3 = 41 + \left( \frac{81,75 - 55}{24} \right) \times 10 = 41 + \left( \frac{26,75}{24} \right) \times 10 = 41 + 11,146 = 52,146 \approx 52,1 \] 5. Kết luận: - Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là từ 30,3 đến 52,1. Do đó, khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho là: \[ [30,3; 52,1] \] Câu 5. Để tính độ lớn của hợp lực của ba lực $\overrightarrow{F_1}$, $\overrightarrow{F_2}$, $\overrightarrow{F_3}$, ta thực hiện theo các bước sau: 1. Tìm độ lớn của hợp lực của hai lực đầu tiên: - Ta có $\overrightarrow{F_1}$ và $\overrightarrow{F_2}$ vuông góc với nhau. - Độ lớn của hợp lực $\overrightarrow{F_{12}}$ của hai lực này là: \[ F_{12} = \sqrt{F_1^2 + F_2^2} = \sqrt{8^2 + 3^2} = \sqrt{64 + 9} = \sqrt{73} \] 2. Tìm độ lớn của hợp lực của ba lực: - Ta có $\overrightarrow{F_{12}}$ và $\overrightarrow{F_3}$ cũng vuông góc với nhau. - Độ lớn của hợp lực $\overrightarrow{F}$ của ba lực là: \[ F = \sqrt{F_{12}^2 + F_3^2} = \sqrt{(\sqrt{73})^2 + 1^2} = \sqrt{73 + 1} = \sqrt{74} \] 3. Làm tròn kết quả: - $\sqrt{74} \approx 8.6$ Vậy độ lớn của hợp lực của ba lực là 8.6 N. Câu 6. Trước tiên, ta cần xác định các thông tin đã cho: - \( OM = 53 \) - \( (\overrightarrow{i}, \overrightarrow{OK}) = 51^\circ \) - \( (\overrightarrow{OK}, \overrightarrow{OM}) = 50^\circ \) Ta sẽ sử dụng các công thức về vectơ và hình học không gian để tính toán. Bước 1: Xác định tọa độ của điểm \( K \): - Vì \( K \) là hình chiếu vuông góc của \( M \) xuống mặt phẳng \( (Oxy) \), nên tọa độ của \( K \) là \( (a, b, 0) \). Bước 2: Xác định tọa độ của vectơ \( \overrightarrow{OK} \) và \( \overrightarrow{OM} \): - \( \overrightarrow{OK} = (a, b, 0) \) - \( \overrightarrow{OM} = (a, b, c) \) Bước 3: Áp dụng công thức cosin để tìm \( a \) và \( b \): - Ta có \( |\overrightarrow{OK}| = \sqrt{a^2 + b^2} \) - Ta cũng có \( |\overrightarrow{OM}| = 53 \) Áp dụng công thức cosin cho góc giữa \( \overrightarrow{i} \) và \( \overrightarrow{OK} \): \[ \cos(51^\circ) = \frac{\overrightarrow{i} \cdot \overrightarrow{OK}}{|\overrightarrow{i}| |\overrightarrow{OK}|} = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} \] \[ a = \sqrt{a^2 + b^2} \cos(51^\circ) \] Áp dụng công thức cosin cho góc giữa \( \overrightarrow{OK} \) và \( \overrightarrow{OM} \): \[ \cos(50^\circ) = \frac{\overrightarrow{OK} \cdot \overrightarrow{OM}}{|\overrightarrow{OK}| |\overrightarrow{OM}|} = \frac{a^2 + b^2}{\sqrt{a^2 + b^2} \cdot 53} \] \[ \cos(50^\circ) = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{53} \] \[ \sqrt{a^2 + b^2} = 53 \cos(50^\circ) \] Bước 4: Thay \( \sqrt{a^2 + b^2} \) vào phương trình của \( a \): \[ a = 53 \cos(50^\circ) \cos(51^\circ) \] Bước 5: Tính \( b \): \[ b = \sqrt{(53 \cos(50^\circ))^2 - a^2} \] Bước 6: Tính \( c \): \[ c = \sqrt{53^2 - (a^2 + b^2)} \] Bước 7: Tính tổng \( a + b + c \): \[ a + b + c \approx 40.6 \] Đáp số: \( a + b + c \approx 40.6 \)