Giải hài tập

Câu 3. Để tìm ngày mà tốc độ truyền bệnh lớn nhất, ta cần tính đạo hàm của hàm số $f(t)$ và tìm giá trị cực đại của đạo hàm này. Bước 1: Tính đạo hàm của $f(t)$ $f(t) = 1 + 18t^2 - \frac{1}{3}t^3$ $f'(t) = \frac{d}{dt}(1 + 18t^2 - \frac{1}{3}t^3)$ $f'(t) = 0 + 18 \cdot 2t - \frac{1}{3} \cdot 3t^2$ $f'(t) = 36t - t^2$ Bước 2: Tìm giá trị cực đại của $f'(t)$ Để tìm giá trị cực đại của $f'(t)$, ta cần tìm các điểm cực trị của nó. Ta làm như sau: $f''(t) = \frac{d}{dt}(36t - t^2)$ $f''(t) = 36 - 2t$ Đặt $f''(t) = 0$ để tìm các điểm cực trị: $36 - 2t = 0$ $2t = 36$ $t = 18$ Bước 3: Kiểm tra tính chất của điểm cực trị Ta kiểm tra tính chất của điểm cực trị bằng cách thay giá trị $t = 18$ vào $f''(t)$: $f''(18) = 36 - 2 \cdot 18 = 36 - 36 = 0$ Do đó, $t = 18$ là điểm cực đại của $f'(t)$. Vậy vào ngày thứ 18 thì tốc độ truyền bệnh là lớn nhất. Đáp số: Ngày thứ 18 Câu 4. Trước tiên, chúng ta sẽ xác định tọa độ của hai chiếc khinh khí cầu trong hệ tọa độ Oxyz, với O là điểm xuất phát. - Chiếc khinh khí cầu thứ nhất có tọa độ là \((-2, 2, 0.8)\) (vì nó cách điểm xuất phát 2,5 km về phía nam và 2 km về phía đông, đồng thời cách mặt đất 0,8 km). - Chiếc khinh khí cầu thứ hai có tọa độ là \((3, -1.5, 0.6)\) (vì nó cách điểm xuất phát 1,5 km về phía bắc và 3 km về phía tây, đồng thời cách mặt đất 0,6 km). Giả sử vị trí cần tìm trên mặt đất có tọa độ là \((a, b, 0)\). Chúng ta cần tính khoảng cách từ vị trí này đến mỗi chiếc khinh khí cầu và sau đó tìm giá trị của \(a\) và \(b\) để tổng khoảng cách này nhỏ nhất. Khoảng cách từ vị trí \((a, b, 0)\) đến chiếc khinh khí cầu thứ nhất là: \[ d_1 = \sqrt{(a + 2)^2 + (b - 2)^2 + 0.8^2} \] Khoảng cách từ vị trí \((a, b, 0)\) đến chiếc khinh khí cầu thứ hai là: \[ d_2 = \sqrt{(a - 3)^2 + (b + 1.5)^2 + 0.6^2} \] Tổng khoảng cách là: \[ D = d_1 + d_2 = \sqrt{(a + 2)^2 + (b - 2)^2 + 0.8^2} + \sqrt{(a - 3)^2 + (b + 1.5)^2 + 0.6^2} \] Để tìm giá trị của \(a\) và \(b\) sao cho \(D\) nhỏ nhất, chúng ta có thể sử dụng phương pháp đạo hàm. Tuy nhiên, trong trường hợp này, chúng ta có thể sử dụng phương pháp hình học để đơn giản hóa vấn đề. Ta thấy rằng, để tổng khoảng cách từ một điểm trên mặt đất đến hai điểm cố định trên không gian nhỏ nhất, điểm đó phải nằm trên đường thẳng nối hai điểm đó khi chiếu xuống mặt đất. Do đó, ta cần tìm giao điểm của đường thẳng nối hai điểm \((-2, 2)\) và \((3, -1.5)\) với mặt đất. Phương trình đường thẳng nối hai điểm \((-2, 2)\) và \((3, -1.5)\) là: \[ y - 2 = \frac{-1.5 - 2}{3 - (-2)}(x + 2) \] \[ y - 2 = \frac{-3.5}{5}(x + 2) \] \[ y - 2 = -0.7(x + 2) \] \[ y = -0.7x - 1.4 + 2 \] \[ y = -0.7x + 0.6 \] Do đó, tọa độ của điểm cần tìm là \((a, b)\) sao cho \(b = -0.7a + 0.6\). Bây giờ, chúng ta cần tính tổng \(2a + 3b\): \[ 2a + 3b = 2a + 3(-0.7a + 0.6) \] \[ 2a + 3b = 2a - 2.1a + 1.8 \] \[ 2a + 3b = -0.1a + 1.8 \] Để tối ưu hóa, ta cần tìm giá trị của \(a\) sao cho tổng này nhỏ nhất. Ta thấy rằng, khi \(a = 0\), tổng này đạt giá trị nhỏ nhất: \[ 2a + 3b = -0.1(0) + 1.8 = 1.8 \] Vậy, tổng \(2a + 3b\) là: \[ \boxed{1.8} \]