Đúng sai giúp mk với

Câu 2: Để giải quyết các mệnh đề trên, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một để xem liệu chúng có đúng hay sai. a) Nguyên hàm của hàm số $f(x) = 2$ là $F(x) = \frac{2^{x+1}}{x+1} + C$ Ta tính đạo hàm của $F(x)$: \[ F'(x) = \left( \frac{2^{x+1}}{x+1} + C \right)' = \frac{(2^{x+1})' \cdot (x+1) - 2^{x+1} \cdot (x+1)'}{(x+1)^2} = \frac{2^{x+1} \cdot \ln 2 \cdot (x+1) - 2^{x+1}}{(x+1)^2} \] \[ = \frac{2^{x+1} (\ln 2 \cdot (x+1) - 1)}{(x+1)^2} \] Như vậy, $F'(x) \neq 2$, do đó mệnh đề này sai. b) Một nguyên hàm của hàm số $f(x) = 2$ là $F(x) = \frac{2^x - 1}{\ln 2}$ Ta tính đạo hàm của $F(x)$: \[ F'(x) = \left( \frac{2^x - 1}{\ln 2} \right)' = \frac{(2^x - 1)'}{\ln 2} = \frac{2^x \cdot \ln 2}{\ln 2} = 2^x \] Như vậy, $F'(x) \neq 2$, do đó mệnh đề này sai. c) Nguyên hàm của hàm số $f(x) = 2$ là $F(x) = \frac{2^x}{102} + C$ Ta tính đạo hàm của $F(x)$: \[ F'(x) = \left( \frac{2^x}{102} + C \right)' = \frac{(2^x)'}{102} = \frac{2^x \cdot \ln 2}{102} \] Như vậy, $F'(x) \neq 2$, do đó mệnh đề này sai. d) Hàm số $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ thỏa mãn $F(-2) = 3$. Khi đó $F(x) = \frac{2^x}{\ln 2} + 3 - \frac{1}{4 \ln 2}$ Ta tính đạo hàm của $F(x)$: \[ F'(x) = \left( \frac{2^x}{\ln 2} + 3 - \frac{1}{4 \ln 2} \right)' = \frac{(2^x)'}{\ln 2} = \frac{2^x \cdot \ln 2}{\ln 2} = 2^x \] Như vậy, $F'(x) = 2$, do đó mệnh đề này đúng. Đáp án: d) Câu 3: a) Mệnh đề đúng vì $F'(x)=(\ln x)'=\frac1x=f(x).$ b) Mệnh đề sai vì $F'(x)=(-\frac1{x^2})'=\frac2{x^3}\ne f(x).$ c) Mệnh đề đúng vì $F'(x)=(\ln(e^2x)-\frac1e)'=(\ln(e^2x))'-\frac1e)'=\frac1{e^2x}.(e^2x)'=f(x).$ d) Mệnh đề đúng vì $F'(x)=(\ln x+1)'=\frac1x=f(x).$ Thử lại $F(e^2)=\ln e^2+1=2+1=4.$ Câu 4: Để kiểm tra tính đúng sai của các mệnh đề, chúng ta sẽ kiểm tra xem đạo hàm của mỗi hàm số $F(x)$ có bằng $f(x)$ hay không. a) Ta có: \[ F(x) = \frac{e^{x+1}}{x+1} + \sqrt{x} \] Tính đạo hàm của $F(x)$: \[ F'(x) = \left( \frac{e^{x+1}}{x+1} \right)' + (\sqrt{x})' \] \[ F'(x) = \frac{(e^{x+1})' \cdot (x+1) - e^{x+1} \cdot (x+1)'}{(x+1)^2} + \frac{1}{2\sqrt{x}} \] \[ F'(x) = \frac{e^{x+1} \cdot (x+1) - e^{x+1}}{(x+1)^2} + \frac{1}{2\sqrt{x}} \] \[ F'(x) = \frac{e^{x+1} \cdot x}{(x+1)^2} + \frac{1}{2\sqrt{x}} \] Ta thấy rằng $F'(x) \neq f(x)$ vì $f(x) = e^x + \frac{1}{2\sqrt{x}}$. Do đó, mệnh đề a) sai. b) Ta có: \[ F(x) = \frac{e^x}{\ln^2} + \sqrt{x} + 1 \] Tính đạo hàm của $F(x)$: \[ F'(x) = \left( \frac{e^x}{\ln^2} \right)' + (\sqrt{x})' + (1)' \] \[ F'(x) = \frac{e^x}{\ln^2} + \frac{1}{2\sqrt{x}} \] Ta thấy rằng $F'(x) \neq f(x)$ vì $f(x) = e^x + \frac{1}{2\sqrt{x}}$. Do đó, mệnh đề b) sai. c) Ta có: \[ F(x) = e^x + \sqrt{x} + C \] Tính đạo hàm của $F(x)$: \[ F'(x) = (e^x)' + (\sqrt{x})' + (C)' \] \[ F'(x) = e^x + \frac{1}{2\sqrt{x}} \] Ta thấy rằng $F'(x) = f(x)$. Do đó, mệnh đề c) đúng. Kết luận: - Mệnh đề a) sai. - Mệnh đề b) sai. - Mệnh đề c) đúng.