vẽ hình phần 2 và trả lời phần 2 2,2) Cho đường tròn (O;R). Từ điểm A nằm ngoài đường tròn kẻ các tiếp tuyến,AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OA và BC,,a) Chứng minh các điểm A, B, C, O cùng thuộc một đường tròn.,b) Chứng minh $OH.OA=R^2$ và $OH=OA.\sin^2\widehat{OAB}.$,c) Gọi I là giao điểm của OA và đường tròn (O;R). Chứng minh: $OAIH=OBIA$,Bài 5. (0,5 điểm)

Question

vẽ hình phần 2 và trả  lời phần 2 2,2) Cho đường tròn (O;R). Từ điểm A nằm ngoài đường tròn kẻ các tiếp tuyến,AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OA và BC,,a) Chứng minh các điểm A, B, C, O cùng thuộc một đường tròn.,b) Chứng minh $OH.OA=R^2$ và $OH=OA.\sin^2\widehat{OAB}.$,c) Gọi I là giao điểm của OA và đường tròn (O;R). Chứng minh: $OAIH=OBIA$,Bài 5. (0,5 điểm)

Accepted Answer

a)
Vì AB,AC à tiếp tuyến của (O)
$\displaystyle \Longrightarrow \begin{cases}
AB\bot BO & \
AC\bot CO &
\end{cases} \Longrightarrow \widehat{ABO} =\widehat{ACO} =90^{0}$
Xét tứ giác ABOC, có:
$\displaystyle \widehat{ABO} =\widehat{ACO} =90^{0}$
mà hai góc này ở vị trí đối nhau
⟹ Tứ giác ABOC nội tiếp hay A,B,O,C cùng thuộc 1 đường tròn
b)
Xét $\displaystyle riangle ABO$ và $\displaystyle riangle ACO$, có:
$\displaystyle \widehat{ABO} =\widehat{ACO} =90^{0}$
AO chung
OB=OC=R
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\Longrightarrow riangle ABO= riangle ACO\ ( ch-cgv)\
\Longrightarrow \begin{cases}
\widehat{BAO} =\widehat{CAO} & \
AB=AC &
\end{cases}
\end{array}$
Xét $\displaystyle riangle ABH$ và $\displaystyle riangle ACH$, có:
$\displaystyle \widehat{BAH} =\widehat{CAH}$
AH chung
AB=AC
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\Longrightarrow riangle ABH= riangle ACH\ ( c-g-c)\
\Longrightarrow \widehat{AHB} =\widehat{AHC}
\end{array}$
mà hai góc này kề bù
$\displaystyle \Longrightarrow \widehat{AHB} =\widehat{AHC} =90^{0}$ hay BH$\displaystyle \bot $AO
Xét tam giác ABO vuông tại B có đường cao BH, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, có:
$\displaystyle OH.AO=BO^{2} =R^{2}$
Có:
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\sin\widehat{OAB} =\frac{OB}{OA}\
\Longrightarrow \sin^{2}\widehat{OAB} =\frac{OB^{2}}{OA^{2}} =\frac{OH.OA}{OA^{2}} =\frac{OH}{OA} \Longrightarrow OH=OA.\sin^{2}\widehat{OAB}
\end{array}$