Giải giúp mình

Bài I 1) Giải phương trình và hệ phương trình: a) \( x^2 - 4 + (x - 2)(2x + 1) = 0 \) Phương pháp giải: - Đầu tiên, ta sẽ nhân và rút gọn các biểu thức trong phương trình. - Sau đó, ta sẽ nhóm các hạng tử để tìm nghiệm của phương trình. Bước 1: Nhân và rút gọn các biểu thức: \[ x^2 - 4 + (x - 2)(2x + 1) = 0 \] \[ x^2 - 4 + x(2x + 1) - 2(2x + 1) = 0 \] \[ x^2 - 4 + 2x^2 + x - 4x - 2 = 0 \] \[ x^2 - 4 + 2x^2 - 3x - 2 = 0 \] \[ 3x^2 - 3x - 6 = 0 \] Bước 2: Chia cả phương trình cho 3: \[ x^2 - x - 2 = 0 \] Bước 3: Tìm nghiệm của phương trình bậc hai: \[ x^2 - x - 2 = 0 \] \[ (x - 2)(x + 1) = 0 \] Vậy nghiệm của phương trình là: \[ x = 2 \text{ hoặc } x = -1 \] b) Giải hệ phương trình: \[ \left\{ \begin{array}{l} 3x - y = 8 \\ x + y = 4 \end{array} \right. \] Phương pháp giải: - Ta sẽ cộng hai phương trình lại để loại biến \( y \). - Sau đó, tìm giá trị của \( x \) và thay vào một phương trình để tìm giá trị của \( y \). Bước 1: Cộng hai phương trình: \[ (3x - y) + (x + y) = 8 + 4 \] \[ 4x = 12 \] \[ x = 3 \] Bước 2: Thay \( x = 3 \) vào phương trình \( x + y = 4 \): \[ 3 + y = 4 \] \[ y = 1 \] Vậy nghiệm của hệ phương trình là: \[ x = 3, y = 1 \] 2) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình: Một nhóm cổ động viên bóng đá dự định mua vé xem đội tuyển Việt Nam thi đấu. Ban tổ chức phát hành hai loại vé với mệnh giá khác nhau. Nếu mua 3 vé loại I và 5 vé loại II thì hết tổng số tiền 1900 nghìn đồng. Nếu mua 4 vé loại I và 4 vé loại II thì hết tổng số tiền là 2000 nghìn đồng. Tính giá tiền của một vé loại I và một vé loại II. Phương pháp giải: - Gọi giá tiền của một vé loại I là \( x \) nghìn đồng và giá tiền của một vé loại II là \( y \) nghìn đồng. - Lập hệ phương trình dựa trên thông tin đã cho. - Giải hệ phương trình để tìm giá trị của \( x \) và \( y \). Bước 1: Gọi giá tiền của một vé loại I là \( x \) nghìn đồng và giá tiền của một vé loại II là \( y \) nghìn đồng. Bước 2: Lập hệ phương trình: \[ \left\{ \begin{array}{l} 3x + 5y = 1900 \\ 4x + 4y = 2000 \end{array} \right. \] Bước 3: Giải hệ phương trình: - Chia cả phương trình thứ hai cho 4: \[ x + y = 500 \] - Thay \( y = 500 - x \) vào phương trình thứ nhất: \[ 3x + 5(500 - x) = 1900 \] \[ 3x + 2500 - 5x = 1900 \] \[ -2x + 2500 = 1900 \] \[ -2x = 1900 - 2500 \] \[ -2x = -600 \] \[ x = 300 \] - Thay \( x = 300 \) vào phương trình \( x + y = 500 \): \[ 300 + y = 500 \] \[ y = 200 \] Vậy giá tiền của một vé loại I là 300 nghìn đồng và giá tiền của một vé loại II là 200 nghìn đồng. Bài II 1) Giải bất phương trình: \(5x - 1 > 3x + 3\) Bước 1: Chuyển các hạng tử chứa \(x\) sang vế trái và các hằng số sang vế phải: \[5x - 3x > 3 + 1\] Bước 2: Thực hiện phép trừ và cộng: \[2x > 4\] Bước 3: Chia cả hai vế cho 2 để tìm \(x\): \[x > 2\] Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là \(x > 2\). 2) Rút gọn biểu thức: \(\sqrt{98} - \sqrt{32} + \sqrt{2}(\sqrt{8} - 3)\) Bước 1: Rút gọn các căn bậc hai: \[\sqrt{98} = \sqrt{49 \times 2} = 7\sqrt{2}\] \[\sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = 4\sqrt{2}\] \[\sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2}\] Bước 2: Thay các giá trị đã rút gọn vào biểu thức: \[7\sqrt{2} - 4\sqrt{2} + \sqrt{2}(2\sqrt{2} - 3)\] Bước 3: Nhân \(\sqrt{2}\) với \(2\sqrt{2} - 3\): \[\sqrt{2}(2\sqrt{2} - 3) = \sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2} - \sqrt{2} \cdot 3 = 2 \cdot 2 - 3\sqrt{2} = 4 - 3\sqrt{2}\] Bước 4: Thay kết quả nhân vào biểu thức: \[7\sqrt{2} - 4\sqrt{2} + 4 - 3\sqrt{2}\] Bước 5: Kết hợp các hạng tử chứa \(\sqrt{2}\) và các hằng số: \[7\sqrt{2} - 4\sqrt{2} - 3\sqrt{2} + 4 = (7 - 4 - 3)\sqrt{2} + 4 = 0\sqrt{2} + 4 = 4\] Vậy, biểu thức rút gọn là \(4\). Bài III 1) Tính giá trị của biểu thức A khi $x=4.$ Thay $x=4$ vào biểu thức $A$, ta được: $A=\frac{\sqrt 4+1}{\sqrt 4}=\frac{2+1}{2}=\frac{3}{2}$ 2) Chứng minh $B=\frac{\sqrt x}{\sqrt x-3}.$ $B=\frac{3}{\sqrt x+3}+\frac{x+9}{x-9}$ $=\frac{3}{\sqrt x+3}+\frac{x+9}{(\sqrt x+3)(\sqrt x-3)}$ $=\frac{3(\sqrt x-3)+x+9}{(\sqrt x+3)(\sqrt x-3)}$ $=\frac{3\sqrt x-9+x+9}{(\sqrt x+3)(\sqrt x-3)}$ $=\frac{\sqrt x(\sqrt x+3)}{(\sqrt x+3)(\sqrt x-3)}$ $=\frac{\sqrt x}{\sqrt x-3}$ 3) Tìm các giá trị của x để $A.B< 1$. $A.B< 1$ $\frac{\sqrt x+1}{\sqrt x}\times \frac{\sqrt x}{\sqrt x-3}< 1$ $\frac{\sqrt x+1}{\sqrt x-3}< 1$ $\frac{\sqrt x+1}{\sqrt x-3}-1< 0$ $\frac{\sqrt x+1-(\sqrt x-3)}{\sqrt x-3}< 0$ $\frac{4}{\sqrt x-3}< 0$ $\sqrt x-3< 0$ $\sqrt x< 3$ $x< 9$ Vậy $x< 9$ thì $A.B< 1$. Bài IV 1) Độ dài quãng đường AB mà con lắc di chuyển là: \[ \frac{60}{360} \times 2 \times \pi \times 1,2 = \frac{1}{6} \times 2 \times 3,14 \times 1,2 = 1,256 \text{ (m)} \] 2) Khoảng cách BC từ hồ nước tới gốc cây là: \[ BC = AB \times \tan(55^\circ) = 2,3 \times 1,4281 = 3,28463 \text{ (m)} \] Kết quả làm tròn đến hàng phần mười là 3,3 m. 3) Ta cần chứng minh rằng góc ACM là góc vuông. - Vì CA là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại điểm A nên góc OAC = 90°. - Vì CM là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại điểm M nên góc OMC = 90°. - Xét tam giác OAM và tam giác OCM: + OA = OM (bán kính của đường tròn) + OMA = OMC (cùng bằng 90°) + OM chung Do đó, tam giác OAM và tam giác OCM bằng nhau (cạnh huyền - cạnh góc vuông). - Từ đó, góc OAM = góc OCM. - Vì góc OAM + góc OCM = 180° (hai góc kề bù) nên góc OAM = góc OCM = 90°. - Vậy góc ACM là góc vuông.