Sos mn giúp tui mí

Câu 20: Để hàm số \( f(x) \) có giới hạn tại \( x = -2 \) và \( x = 0 \), ta cần tìm các giá trị của \( a \) và \( b \) sao cho các giới hạn từ bên trái và bên phải tại các điểm này bằng nhau. Giới hạn tại \( x = -2 \) 1. Giới hạn từ bên trái (\( x \to -2^- \)): \[ \lim_{x \to -2^-} f(x) = \lim_{x \to -2^-} \frac{x^2 - 4}{x + 2} \] Ta thấy rằng: \[ \frac{x^2 - 4}{x + 2} = \frac{(x - 2)(x + 2)}{x + 2} = x - 2 \quad \text{khi} \quad x \neq -2 \] Do đó: \[ \lim_{x \to -2^-} f(x) = -2 - 2 = -4 \] 2. Giới hạn từ bên phải (\( x \to -2^+ \)): \[ \lim_{x \to -2^+} f(x) = \lim_{x \to -2^+} (ax + b - 1) \] Để hàm số có giới hạn tại \( x = -2 \), ta cần: \[ \lim_{x \to -2^+} (ax + b - 1) = -4 \] Thay \( x = -2 \): \[ a(-2) + b - 1 = -4 \] \[ -2a + b - 1 = -4 \] \[ -2a + b = -3 \quad \text{(1)} \] Giới hạn tại \( x = 0 \) 1. Giới hạn từ bên trái (\( x \to 0^- \)): \[ \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (ax + b - 1) \] Thay \( x = 0 \): \[ a(0) + b - 1 = b - 1 \] 2. Giới hạn từ bên phải (\( x \to 0^+ \)): \[ \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{2\sqrt{x+1} - \sqrt[3]{8-x}}{x} \] Ta thấy rằng: \[ \lim_{x \to 0^+} \frac{2\sqrt{x+1} - \sqrt[3]{8-x}}{x} \] Áp dụng phép khử vô định dạng \( \frac{0}{0} \) bằng cách nhân liên hợp: \[ \lim_{x \to 0^+} \frac{2\sqrt{x+1} - \sqrt[3]{8-x}}{x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{(2\sqrt{x+1} - \sqrt[3]{8-x})(2\sqrt{x+1} + \sqrt[3]{8-x})}{x(2\sqrt{x+1} + \sqrt[3]{8-x})} \] \[ = \lim_{x \to 0^+} \frac{4(x+1) - (8-x)}{x(2\sqrt{x+1} + \sqrt[3]{8-x})} \] \[ = \lim_{x \to 0^+} \frac{4x + 4 - 8 + x}{x(2\sqrt{x+1} + \sqrt[3]{8-x})} \] \[ = \lim_{x \to 0^+} \frac{5x - 4}{x(2\sqrt{x+1} + \sqrt[3]{8-x})} \] \[ = \lim_{x \to 0^+} \frac{5 - \frac{4}{x}}{2\sqrt{x+1} + \sqrt[3]{8-x}} \] \[ = \frac{5 - 0}{2\sqrt{1} + \sqrt[3]{8}} = \frac{5}{2 + 2} = \frac{5}{4} \] Để hàm số có giới hạn tại \( x = 0 \), ta cần: \[ b - 1 = \frac{5}{4} \] \[ b = \frac{9}{4} \] Thay \( b = \frac{9}{4} \) vào phương trình (1): \[ -2a + \frac{9}{4} = -3 \] \[ -2a = -3 - \frac{9}{4} \] \[ -2a = -\frac{12}{4} - \frac{9}{4} \] \[ -2a = -\frac{21}{4} \] \[ a = \frac{21}{8} \] Vậy, các giá trị của \( a \) và \( b \) là: \[ a = \frac{21}{8}, \quad b = \frac{9}{4} \]