Cữuuuuuuuuuuuu

Câu 5: Trước tiên, ta sẽ xác định vị trí của các điểm và đường thẳng trong hình chóp S.ABCD. 1. Xác định các điểm và đường thẳng: - Đáy ABCD là hình bình hành tâm O. - E là trung điểm của SC. - F là điểm trên đoạn BD sao cho $3BF = 2BD$. Điều này có nghĩa là F chia BD thành tỷ lệ $\frac{2}{3}$ từ B về D. - M là giao điểm của SB và (AEF). 2. Tìm tỉ số $\frac{SM}{SB}$: - Ta sẽ sử dụng phương pháp tọa độ để dễ dàng hơn trong việc tính toán. - Chọn hệ tọa độ sao cho O là gốc tọa độ, A có tọa độ $(a, 0, 0)$, B có tọa độ $(0, b, 0)$, C có tọa độ $(-a, b, 0)$, D có tọa độ $(-a, 0, 0)$, và S có tọa độ $(0, 0, h)$. - E là trung điểm của SC, nên tọa độ của E là $\left(\frac{-a}{2}, \frac{b}{2}, \frac{h}{2}\right)$. - F chia BD theo tỷ lệ $\frac{2}{3}$ từ B về D, nên tọa độ của F là $\left(-\frac{2a}{3}, \frac{b}{3}, 0\right)$. 3. Phương trình mặt phẳng (AEF): - Ta cần tìm phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, E, F. - Vector $\overrightarrow{AE} = \left(\frac{-3a}{2}, \frac{b}{2}, \frac{h}{2}\right)$. - Vector $\overrightarrow{AF} = \left(-\frac{5a}{3}, \frac{b}{3}, 0\right)$. - Vector pháp tuyến của mặt phẳng (AEF) là $\overrightarrow{n} = \overrightarrow{AE} \times \overrightarrow{AF}$. - Tính tích vector: \[ \overrightarrow{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{-3a}{2} & \frac{b}{2} & \frac{h}{2} \\ -\frac{5a}{3} & \frac{b}{3} & 0 \end{vmatrix} = \left(0 - \frac{bh}{6}\right)\mathbf{i} - \left(0 + \frac{5ah}{6}\right)\mathbf{j} + \left(\frac{-3ab}{6} + \frac{5ab}{6}\right)\mathbf{k} = \left(-\frac{bh}{6}, -\frac{5ah}{6}, \frac{2ab}{6}\right) \] - Phương trình mặt phẳng (AEF) là: \[ -\frac{bh}{6}(x - a) - \frac{5ah}{6}y + \frac{2ab}{6}z = 0 \] 4. Giao điểm M của SB và (AEF): - Đường thẳng SB có phương trình tham số: \[ x = 0, \quad y = bt, \quad z = ht \quad (0 \leq t \leq 1) \] - Thay vào phương trình mặt phẳng (AEF): \[ -\frac{bh}{6}(0 - a) - \frac{5ah}{6}(bt) + \frac{2ab}{6}(ht) = 0 \] \[ \frac{abh}{6} - \frac{5abh}{6}t + \frac{2abh}{6}t = 0 \] \[ \frac{abh}{6} = \frac{3abh}{6}t \] \[ t = \frac{1}{3} \] - Vậy M có tọa độ $\left(0, \frac{b}{3}, \frac{h}{3}\right)$. 5. Tỉ số $\frac{SM}{SB}$: - Điểm M chia SB theo tỷ lệ $\frac{1}{3}$ từ S về B, nên $\frac{SM}{SB} = \frac{1}{3}$. 6. Tính $3a + b$: - Ta có $\frac{SM}{SB} = \frac{1}{3}$, suy ra $a = 1$ và $b = 3$. - Vậy $3a + b = 3 \cdot 1 + 3 = 6$. Đáp số: $3a + b = 6$.