Trả lời cả hai câu với kiến thức lớp 11

Câu 21. Ta có: \[ \left\{ \begin{array}{l} a + b + c = 26 \\ a^2 + b^2 + c^2 = 364 \end{array} \right. \] Vì \(a, b, c\) lập thành cấp số nhân nên ta có thể viết lại \(b = ar\) và \(c = ar^2\) với \(r\) là tỉ số công bội của cấp số nhân. Thay vào phương trình đầu tiên: \[ a + ar + ar^2 = 26 \] \[ a(1 + r + r^2) = 26 \quad \text{(1)} \] Thay vào phương trình thứ hai: \[ a^2 + (ar)^2 + (ar^2)^2 = 364 \] \[ a^2 + a^2r^2 + a^2r^4 = 364 \] \[ a^2(1 + r^2 + r^4) = 364 \quad \text{(2)} \] Bây giờ, chia phương trình (2) cho phương trình (1): \[ \frac{a^2(1 + r^2 + r^4)}{a(1 + r + r^2)} = \frac{364}{26} \] \[ a \cdot \frac{1 + r^2 + r^4}{1 + r + r^2} = 14 \] Nhận thấy rằng: \[ 1 + r^2 + r^4 = (1 + r + r^2)(1 - r + r^2) \] Do đó: \[ a \cdot \frac{(1 + r + r^2)(1 - r + r^2)}{1 + r + r^2} = 14 \] \[ a(1 - r + r^2) = 14 \quad \text{(3)} \] Bây giờ, ta có hai phương trình: \[ a(1 + r + r^2) = 26 \quad \text{(1)} \] \[ a(1 - r + r^2) = 14 \quad \text{(3)} \] Chúng ta trừ phương trình (3) từ phương trình (1): \[ a(1 + r + r^2) - a(1 - r + r^2) = 26 - 14 \] \[ a(1 + r + r^2 - 1 + r - r^2) = 12 \] \[ a(2r) = 12 \] \[ 2ar = 12 \] \[ ar = 6 \] Vậy \(b = ar = 6\). Đáp số: \(b = 6\). Câu 22. Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( P = a^2 - 2a + 4 \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xét giới hạn \( L = \lim_{x \to +\infty} \frac{(2-a)x - 3}{x - \sqrt{x^2 + 1}} \). Ta có: \[ x - \sqrt{x^2 + 1} = x - \sqrt{x^2(1 + \frac{1}{x^2})} = x - |x|\sqrt{1 + \frac{1}{x^2}} \] Khi \( x \to +\infty \), ta có: \[ x - \sqrt{x^2 + 1} = x - x\sqrt{1 + \frac{1}{x^2}} = x - x\left(1 + \frac{1}{2x^2} + o\left(\frac{1}{x^2}\right)\right) = x - x - \frac{1}{2x} + o\left(\frac{1}{x}\right) = -\frac{1}{2x} + o\left(\frac{1}{x}\right) \] Do đó: \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{(2-a)x - 3}{x - \sqrt{x^2 + 1}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{(2-a)x - 3}{-\frac{1}{2x} + o\left(\frac{1}{x}\right)} = \lim_{x \to +\infty} \frac{(2-a)x - 3}{-\frac{1}{2x}} = \lim_{x \to +\infty} -2x((2-a)x - 3) \] Để giới hạn này bằng \( +\infty \), ta cần: \[ -2x((2-a)x - 3) \to +\infty \] \[ (2-a)x - 3 \to -\infty \] \[ 2 - a < 0 \] \[ a > 2 \] Bước 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( P = a^2 - 2a + 4 \). Ta viết lại biểu thức \( P \): \[ P = a^2 - 2a + 4 = (a - 1)^2 + 3 \] Nhận thấy rằng \( (a - 1)^2 \geq 0 \) với mọi \( a \), do đó: \[ P \geq 3 \] Đẳng thức xảy ra khi \( a - 1 = 0 \), tức là \( a = 1 \). Tuy nhiên, theo điều kiện \( a > 2 \), giá trị \( a = 1 \) không thỏa mãn. Do đó, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của \( P \) trong khoảng \( a > 2 \). Khi \( a \to 2^+ \), ta có: \[ P = (a - 1)^2 + 3 \to (2 - 1)^2 + 3 = 1 + 3 = 4 \] Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( P \) là 4, đạt được khi \( a \to 2^+ \). Đáp số: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( P \) là 4.