Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông AB=a,SA vuông góc với đáy,SA=2a
a)Tính khoảng cách từ đường AD đến mặt phẳng (SBC)
b)Tính khoảng cách từ AB đến mặt phẳng (SOM) biết M là trung điểm BC,O là tâm đáy

Question

Accepted Answer

a) Tính khoảng cách từ đường thẳng AD đến mặt phẳng (SBC)

Trước tiên, ta xác định khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBC). Vì AD song song với BC nên khoảng cách từ đường thẳng AD đến mặt phẳng (SBC) sẽ bằng khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBC).

Ta vẽ đường cao DH từ D hạ vuông góc với SB tại H. Ta có thể tính khoảng cách này bằng cách sử dụng thể tích của khối chóp SABCD và khối chóp SBCD.

Thể tích của khối chóp SABCD:
$$ V_{SABCD} = \frac{1}{3} \times \text{Diện tích đáy ABCD} \times SA = \frac{1}{3} \times a^2 \times 2a = \frac{2a^3}{3} $$

Thể tích của khối chóp SBCD:
$$ V_{SBCD} = \frac{1}{3} \times \text{Diện tích đáy BCD} \times SD = \frac{1}{3} \times \left(\frac{a^2}{2}\right) \times 2a = \frac{a^3}{3} $$

Diện tích tam giác SBC:
$$ S_{SBC} = \frac{1}{2} \times BC \times \text{Chiều cao từ S đến BC} = \frac{1}{2} \times a \times 2a = a^2 $$

Khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SBC):
$$ d = \frac{3 \times V_{SBCD}}{S_{SBC}} = \frac{3 \times \frac{a^3}{3}}{a^2} = a $$

Vậy khoảng cách từ đường thẳng AD đến mặt phẳng (SBC) là $ a $.

b) Tính khoảng cách từ đường thẳng AB đến mặt phẳng (SOM)

Trước tiên, ta xác định khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SOM). Vì AB song song với OM nên khoảng cách từ đường thẳng AB đến mặt phẳng (SOM) sẽ bằng khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SOM).

Ta vẽ đường cao AK từ A hạ vuông góc với SO tại K. Ta có thể tính khoảng cách này bằng cách sử dụng thể tích của khối chóp SOMA và khối chóp SOA.

Thể tích của khối chóp SOMA:
$$ V_{SOMA} = \frac{1}{3} \times \text{Diện tích đáy OMA} \times SA = \frac{1}{3} \times \left(\frac{a^2}{4}\right) \times 2a = \frac{a^3}{6} $$

Thể tích của khối chóp SOA:
$$ V_{SOA} = \frac{1}{3} \times \text{Diện tích đáy OA} \times SA = \frac{1}{3} \times \left(\frac{a^2}{2}\right) \times 2a = \frac{a^3}{3} $$

Diện tích tam giác SOM:
$$ S_{SOM} = \frac{1}{2} \times OM \times \text{Chiều cao từ S đến OM} = \frac{1}{2} \times \frac{a\sqrt{2}}{2} \times 2a = \frac{a^2\sqrt{2}}{2} $$

Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SOM):
$$ d = \frac{3 \times V_{SOMA}}{S_{SOM}} = \frac{3 \times \frac{a^3}{6}}{\frac{a^2\sqrt{2}}{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2} $$

Vậy khoảng cách từ đường thẳng AB đến mặt phẳng (SOM) là $ \frac{a\sqrt{2}}{2} $.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông AB=a,SA vuông góc với đáy,SA=2a a)Tính khoảng cách từ đường AD đến mặt phẳng (SBC) b)Tính khoảng cách từ AB đến mặt phẳng (SOM) biết M là trung điểm BC,O là tâ...