giúp mình với

Câu 1. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định khoảng biến thiên. 2. Xác định khoảng tứ phân vị. 3. Tính hiệu giữa khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị. Bước 1: Xác định khoảng biến thiên Khoảng biến thiên là hiệu giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong dãy số. Giá trị lớn nhất là 70 (nhóm [65; 70)). Giá trị nhỏ nhất là 40 (nhóm [40; 45)). Khoảng biến thiên = 70 - 40 = 30. Bước 2: Xác định khoảng tứ phân vị Khoảng tứ phân vị là hiệu giữa Q3 (tứ phân vị thứ ba) và Q1 (tứ phân vị thứ nhất). - Tìm Q1 (tứ phân vị thứ nhất): - Q1 nằm ở vị trí $\frac{n+1}{4} = \frac{44+1}{4} = 11,25$. - Nhóm chứa Q1 là nhóm [45; 50) vì 11,25 nằm trong khoảng từ 10 đến 24 (tổng tần số từ nhóm đầu tiên đến nhóm [45; 50) là 18). - Q1 = 45 + $\frac{(11,25 - 10)}{14} \times 5 = 45 + \frac{1,25}{14} \times 5 = 45 + 0,446 = 45,446$. - Tìm Q3 (tứ phân vị thứ ba): - Q3 nằm ở vị trí $\frac{3(n+1)}{4} = \frac{3 \times 45}{4} = 33,75$. - Nhóm chứa Q3 là nhóm [55; 60) vì 33,75 nằm trong khoảng từ 26 đến 36 (tổng tần số từ nhóm đầu tiên đến nhóm [55; 60) là 36). - Q3 = 55 + $\frac{(33,75 - 26)}{10} \times 5 = 55 + \frac{7,75}{10} \times 5 = 55 + 3,875 = 58,875$. Khoảng tứ phân vị = Q3 - Q1 = 58,875 - 45,446 = 13,429. Bước 3: Tính hiệu giữa khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị Hiệu = Khoảng biến thiên - Khoảng tứ phân vị = 30 - 13,429 = 16,571. Vậy hiệu giữa khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của bảng số liệu trên là 16,571. Câu 2. Để tìm chi phí trung bình thấp nhất cho một cuốn tạp chí, chúng ta cần thực hiện các bước sau: 1. Tính tổng chi phí \( T(x) \): Tổng chi phí \( T(x) \) bao gồm chi phí xuất bản \( C(x) \) và chi phí phát hành cho mỗi cuốn tạp chí. Chi phí phát hành cho mỗi cuốn tạp chí là 4 nghìn đồng, do đó chi phí phát hành cho \( x \) cuốn tạp chí là \( 4x \). Vậy tổng chi phí \( T(x) \) là: \[ T(x) = C(x) + 4x = 0,001x^2 - 2x + 100000 + 4x = 0,001x^2 + 2x + 100000 \] 2. Tính chi phí trung bình \( M(x) \): Chi phí trung bình \( M(x) \) cho một cuốn tạp chí là: \[ M(x) = \frac{T(x)}{x} = \frac{0,001x^2 + 2x + 100000}{x} \] Rút gọn biểu thức trên: \[ M(x) = 0,001x + 2 + \frac{100000}{x} \] 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của \( M(x) \): Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( M(x) \), chúng ta sẽ sử dụng đạo hàm. Đạo hàm của \( M(x) \) là: \[ M'(x) = 0,001 - \frac{100000}{x^2} \] Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm điểm cực trị: \[ 0,001 - \frac{100000}{x^2} = 0 \] \[ \frac{100000}{x^2} = 0,001 \] \[ x^2 = \frac{100000}{0,001} = 100000000 \] \[ x = \sqrt{100000000} = 10000 \] 4. Kiểm tra điều kiện: Vì nhu cầu hiện tại xuất bản không quá 30 000 cuốn, nên \( x = 10000 \) nằm trong khoảng cho phép. 5. Tính giá trị của \( M(x) \) tại \( x = 10000 \): \[ M(10000) = 0,001 \cdot 10000 + 2 + \frac{100000}{10000} = 10 + 2 + 10 = 22 \] Vậy, chi phí trung bình thấp nhất cho một cuốn tạp chí là 22 nghìn đồng, đạt được khi xuất bản 10 000 cuốn tạp chí. Câu 3. Đầu tiên, ta cần xác định độ lớn của mỗi lực $\overrightarrow{F_1}, \overrightarrow{F_2}, \overrightarrow{F_3}, \overrightarrow{F_4}$. Vì tổng trọng lực là 60 N và được phân bố đều cho 4 lực, nên mỗi lực có độ lớn là: \[ |\overrightarrow{F_1}| = |\overrightarrow{F_2}| = |\overrightarrow{F_3}| = |\overrightarrow{F_4}| = \frac{60}{4} = 15 \text{ N} \] Tiếp theo, ta cần tính vectơ tổng $\overrightarrow{F_1} + \overrightarrow{F_2} - \overrightarrow{F_3} + 2\overrightarrow{F_4}$. Do các lực này đều có cùng độ lớn và hướng thẳng đứng từ điểm S xuống các điểm A, B, C, D, ta có thể coi chúng như các vectơ đơn vị hướng thẳng đứng từ S xuống các điểm tương ứng. Ta có: \[ \overrightarrow{F_1} = 15 \hat{j} \] \[ \overrightarrow{F_2} = 15 \hat{j} \] \[ \overrightarrow{F_3} = 15 \hat{j} \] \[ \overrightarrow{F_4} = 15 \hat{j} \] Tính vectơ tổng: \[ \overrightarrow{F_1} + \overrightarrow{F_2} - \overrightarrow{F_3} + 2\overrightarrow{F_4} = 15 \hat{j} + 15 \hat{j} - 15 \hat{j} + 2(15 \hat{j}) \] \[ = 15 \hat{j} + 15 \hat{j} - 15 \hat{j} + 30 \hat{j} \] \[ = 45 \hat{j} \] Độ lớn của vectơ tổng này là: \[ |\overrightarrow{F_1} + \overrightarrow{F_2} - \overrightarrow{F_3} + 2\overrightarrow{F_4}| = |45 \hat{j}| = 45 \text{ N} \] Vậy, kết quả cuối cùng là: \[ |\overrightarrow{F_1} + \overrightarrow{F_2} - \overrightarrow{F_3} + 2\overrightarrow{F_4}| = 45 \text{ N} \] Đáp số: 45 N Câu 4. Để tính độ lệch chuẩn của mẫu ghép nhóm, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Lập bảng tần số ghép nhóm: - Nhóm đầu tiên là $[42;46)$, độ dài mỗi nhóm là 4. - Các nhóm tiếp theo sẽ là $[46;50)$, $[50;54)$, $[54;58)$, $[58;62)$. 2. Xác định tần số của mỗi nhóm: - Nhóm $[42;46)$: 4 xe (42, 43,4, 43,4, 46,5) - Nhóm $[46;50)$: 5 xe (46,7, 46,8, 47,5, 47,7, 48,1, 48,4) - Nhóm $[50;54)$: 4 xe (50,8, 52,1, 52,7, 53,9) - Nhóm $[54;58)$: 4 xe (54,8, 55,6, 57,5) - Nhóm $[58;62)$: 3 xe (59,6, 60,3, 61,1) 3. Tính trung bình cộng của mẫu ghép nhóm: - Trung bình cộng của mỗi nhóm: - Nhóm $[42;46)$: $\frac{42 + 46}{2} = 44$ - Nhóm $[46;50)$: $\frac{46 + 50}{2} = 48$ - Nhóm $[50;54)$: $\frac{50 + 54}{2} = 52$ - Nhóm $[54;58)$: $\frac{54 + 58}{2} = 56$ - Nhóm $[58;62)$: $\frac{58 + 62}{2} = 60$ - Tính trung bình cộng của mẫu ghép nhóm: \[ \bar{x} = \frac{(44 \times 4) + (48 \times 5) + (52 \times 4) + (56 \times 4) + (60 \times 3)}{20} \] \[ \bar{x} = \frac{176 + 240 + 208 + 224 + 180}{20} = \frac{1028}{20} = 51,4 \] 4. Tính phương sai của mẫu ghép nhóm: - Phương sai: \[ s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{k} f_i (x_i - \bar{x})^2}{n-1} \] - Với $f_i$ là tần số của nhóm thứ i, $x_i$ là trung bình cộng của nhóm thứ i, $\bar{x}$ là trung bình cộng của mẫu ghép nhóm, và n là tổng số nhóm. \[ s^2 = \frac{(4 \times (44 - 51,4)^2) + (5 \times (48 - 51,4)^2) + (4 \times (52 - 51,4)^2) + (4 \times (56 - 51,4)^2) + (3 \times (60 - 51,4)^2)}{20-1} \] \[ s^2 = \frac{(4 \times (-7,4)^2) + (5 \times (-3,4)^2) + (4 \times 0,6^2) + (4 \times 4,6^2) + (3 \times 8,6^2)}{19} \] \[ s^2 = \frac{(4 \times 54,76) + (5 \times 11,56) + (4 \times 0,36) + (4 \times 21,16) + (3 \times 73,96)}{19} \] \[ s^2 = \frac{219,04 + 57,8 + 1,44 + 84,64 + 221,88}{19} = \frac{584,8}{19} \approx 30,78 \] 5. Tính độ lệch chuẩn: - Độ lệch chuẩn: \[ s = \sqrt{s^2} = \sqrt{30,78} \approx 5,55 \] Vậy độ lệch chuẩn của mẫu ghép nhóm này là khoảng 5,55 (kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm). Câu 5. Để tìm ngày mà tốc độ truyền bệnh lớn nhất, ta cần tính đạo hàm của hàm số $f(t)$ và tìm giá trị cực đại của đạo hàm này. Bước 1: Tính đạo hàm của $f(t)$ $f(t) = 1 + 18t^2 - \frac{1}{3}t^3$ $f'(t) = \frac{d}{dt}(1 + 18t^2 - \frac{1}{3}t^3)$ $f'(t) = 0 + 18 \cdot 2t - \frac{1}{3} \cdot 3t^2$ $f'(t) = 36t - t^2$ Bước 2: Tìm giá trị cực đại của $f'(t)$ Để tìm giá trị cực đại của $f'(t)$, ta cần tìm điểm cực đại của hàm số $f'(t)$. Ta làm như sau: Tính đạo hàm của $f'(t)$: $f''(t) = \frac{d}{dt}(36t - t^2)$ $f''(t) = 36 - 2t$ Đặt $f''(t) = 0$ để tìm điểm cực đại: $36 - 2t = 0$ $2t = 36$ $t = 18$ Bước 3: Kiểm tra dấu của $f''(t)$ - Khi $t < 18$, ta có $f''(t) > 0$, tức là $f'(t)$ là hàm số tăng. - Khi $t > 18$, ta có $f''(t) < 0$, tức là $f'(t)$ là hàm số giảm. Vậy $t = 18$ là điểm cực đại của $f'(t)$. Kết luận: Vào ngày thứ 18 thì tốc độ truyền bệnh là lớn nhất. Đáp số: Ngày thứ 18. Câu 6. Để tìm giá trị của \(4n - 5m\) khi \(\overrightarrow{c} = (12, m, n)\) là vectơ vuông góc đồng thời với hai vectơ \(\overrightarrow{a} = (3, -2, 1)\) và \(\overrightarrow{b} = (1, 2, 1)\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\): Vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}\) của mặt phẳng chứa hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) là tích vector của hai vectơ này: \[ \overrightarrow{n} = \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} \] Ta tính tích vector: \[ \overrightarrow{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3 & -2 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-2) \cdot 1 - 1 \cdot 2) - \mathbf{j}(3 \cdot 1 - 1 \cdot 1) + \mathbf{k}(3 \cdot 2 - (-2) \cdot 1) = \mathbf{i}(-2 - 2) - \mathbf{j}(3 - 1) + \mathbf{k}(6 + 2) = -4\mathbf{i} - 2\mathbf{j} + 8\mathbf{k} \] Vậy \(\overrightarrow{n} = (-4, -2, 8)\). 2. Xác định điều kiện để \(\overrightarrow{c}\) vuông góc với \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\): Vì \(\overrightarrow{c}\) vuông góc đồng thời với \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\), nên \(\overrightarrow{c}\) phải song song với \(\overrightarrow{n}\). Do đó, ta có: \[ \overrightarrow{c} = k \cdot \overrightarrow{n} \] Thay \(\overrightarrow{c} = (12, m, n)\) và \(\overrightarrow{n} = (-4, -2, 8)\): \[ (12, m, n) = k \cdot (-4, -2, 8) \] Từ đây, ta có hệ phương trình: \[ 12 = -4k \quad \Rightarrow \quad k = -3 \] \[ m = -2k \quad \Rightarrow \quad m = -2(-3) = 6 \] \[ n = 8k \quad \Rightarrow \quad n = 8(-3) = -24 \] 3. Tính giá trị của \(4n - 5m\): \[ 4n - 5m = 4(-24) - 5(6) = -96 - 30 = -126 \] Vậy giá trị của \(4n - 5m\) là \(-126\).