giuppp minh

Câu 2. Để giải quyết các yêu cầu trong câu hỏi, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: a) Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu lớp 12A nhỏ hơn 2. Độ lệch chuẩn (\(\sigma\)) của một mẫu số liệu được tính bằng công thức: \[ \sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{k} f_i (x_i - \bar{x})^2}{n}} \] Trước tiên, chúng ta cần tính trung bình cộng (\(\bar{x}\)) của mẫu số liệu lớp 12A: \[ \bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{k} f_i x_i}{n} \] Dữ liệu từ Bảng A: - Nhóm [0;2), giá trị đại diện \(x_1 = 1\), tần số \(f_1 = 3\) - Nhóm [2;4), giá trị đại diện \(x_2 = 3\), tần số \(f_2 = 5\) - Nhóm [4;6), giá trị đại diện \(x_3 = 5\), tần số \(f_3 = 5\) - Nhóm [6;8), giá trị đại diện \(x_4 = 7\), tần số \(f_4 = 25\) - Nhóm [8;10), giá trị đại diện \(x_5 = 9\), tần số \(f_5 = 2\) Tính trung bình cộng: \[ \bar{x} = \frac{(1 \times 3) + (3 \times 5) + (5 \times 5) + (7 \times 25) + (9 \times 2)}{40} \] \[ \bar{x} = \frac{3 + 15 + 25 + 175 + 18}{40} \] \[ \bar{x} = \frac{236}{40} \] \[ \bar{x} = 5.9 \] Tiếp theo, tính phương sai: \[ \sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{k} f_i (x_i - \bar{x})^2}{n} \] \[ \sigma^2 = \frac{(3 \times (1 - 5.9)^2) + (5 \times (3 - 5.9)^2) + (5 \times (5 - 5.9)^2) + (25 \times (7 - 5.9)^2) + (2 \times (9 - 5.9)^2)}{40} \] \[ \sigma^2 = \frac{(3 \times (-4.9)^2) + (5 \times (-2.9)^2) + (5 \times (-0.9)^2) + (25 \times 1.1^2) + (2 \times 3.1^2)}{40} \] \[ \sigma^2 = \frac{(3 \times 24.01) + (5 \times 8.41) + (5 \times 0.81) + (25 \times 1.21) + (2 \times 9.61)}{40} \] \[ \sigma^2 = \frac{72.03 + 42.05 + 4.05 + 30.25 + 19.22}{40} \] \[ \sigma^2 = \frac{167.6}{40} \] \[ \sigma^2 = 4.19 \] Do đó, độ lệch chuẩn: \[ \sigma = \sqrt{4.19} \approx 2.047 \] Vậy độ lệch chuẩn của mẫu số liệu lớp 12A nhỏ hơn 2. b) Phương sai của mẫu số liệu lớp 12B lớn hơn 3. Phương sai (\(\sigma^2\)) của mẫu số liệu lớp 12B được tính tương tự như trên. Dữ liệu từ Bảng B: - Nhóm [0;2), giá trị đại diện \(x_1 = 1\), tần số \(f_1 = 1\) - Nhóm [2;4), giá trị đại diện \(x_2 = 3\), tần số \(f_2 = 4\) - Nhóm [4;6), giá trị đại diện \(x_3 = 5\), tần số \(f_3 = 15\) - Nhóm [6;8), giá trị đại diện \(x_4 = 7\), tần số \(f_4 = 16\) - Nhóm [8;10), giá trị đại diện \(x_5 = 9\), tần số \(f_5 = 4\) Tính trung bình cộng: \[ \bar{x} = \frac{(1 \times 1) + (3 \times 4) + (5 \times 15) + (7 \times 16) + (9 \times 4)}{40} \] \[ \bar{x} = \frac{1 + 12 + 75 + 112 + 36}{40} \] \[ \bar{x} = \frac{236}{40} \] \[ \bar{x} = 5.9 \] Tiếp theo, tính phương sai: \[ \sigma^2 = \frac{(1 \times (1 - 5.9)^2) + (4 \times (3 - 5.9)^2) + (15 \times (5 - 5.9)^2) + (16 \times (7 - 5.9)^2) + (4 \times (9 - 5.9)^2)}{40} \] \[ \sigma^2 = \frac{(1 \times (-4.9)^2) + (4 \times (-2.9)^2) + (15 \times (-0.9)^2) + (16 \times 1.1^2) + (4 \times 3.1^2)}{40} \] \[ \sigma^2 = \frac{(1 \times 24.01) + (4 \times 8.41) + (15 \times 0.81) + (16 \times 1.21) + (4 \times 9.61)}{40} \] \[ \sigma^2 = \frac{24.01 + 33.64 + 12.15 + 19.36 + 38.44}{40} \] \[ \sigma^2 = \frac{127.6}{40} \] \[ \sigma^2 = 3.19 \] Vậy phương sai của mẫu số liệu lớp 12B lớn hơn 3. c) Số trung bình cộng của hai mẫu số liệu trên bằng nhau. Trung bình cộng của cả hai mẫu số liệu đã được tính ở trên và đều bằng 5.9. d) Dựa vào độ lệch chuẩn ta thấy điểm thi của học sinh lớp 12B đồng đều hơn lớp 12A. Độ lệch chuẩn của lớp 12A là khoảng 2.047, trong khi độ lệch chuẩn của lớp 12B là khoảng 1.786. Vì độ lệch chuẩn của lớp 12B nhỏ hơn, nên điểm thi của học sinh lớp 12B đồng đều hơn lớp 12A. Kết luận: a) Đúng b) Đúng c) Đúng d) Đúng Câu 3. a) Ta có $\overrightarrow{AB}=(2;1;-3)$ và $\overrightarrow{AC}=(-1;-3;2)$. Vector pháp tuyến của mặt phẳng $(ABC)$ là $\overrightarrow{n}=\left|\begin{array}{ccc} \overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k} \\ 2 & 1 & -3 \\ -1 & -3 & 2 \end{array}\right| = (-7; -1; -5)$. Vector pháp tuyến của mặt phẳng $(Oxy)$ là $\overrightarrow{n'}=(0;0;1)$. Góc giữa hai mặt phẳng $(ABC)$ và $(Oxy)$ là góc giữa hai vector pháp tuyến $\overrightarrow{n}$ và $\overrightarrow{n'}$: \[ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{n'}}{|\overrightarrow{n}| |\overrightarrow{n'}|} = \frac{-5}{\sqrt{(-7)^2 + (-1)^2 + (-5)^2}} = \frac{-5}{\sqrt{75}} = \frac{-5}{5\sqrt{3}} = -\frac{1}{\sqrt{3}} \] Vậy góc giữa hai mặt phẳng là $\theta = \arccos \left( -\frac{1}{\sqrt{3}} \right)$. b) Ta có $\overrightarrow{AB}=(2;1;-3)$ và $\overrightarrow{AC}=(-1;-3;2)$. Tích vô hướng $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 2 \times (-1) + 1 \times (-3) + (-3) \times 2 = -2 - 3 - 6 = -11$. Độ dài $\overrightarrow{AB} = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 1 + 9} = \sqrt{14}$. Độ dài $\overrightarrow{AC} = \sqrt{(-1)^2 + (-3)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 9 + 4} = \sqrt{14}$. Góc giữa $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ là: \[ \cos \alpha = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{AC}|} = \frac{-11}{\sqrt{14} \times \sqrt{14}} = \frac{-11}{14} \] Vậy góc $\alpha = \arccos \left( \frac{-11}{14} \right)$. c) Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là: \[ G = \left( \frac{1+3+2}{3}, \frac{3+4+0}{3}, \frac{-2-5+0}{3} \right) = \left( 2, \frac{7}{3}, -\frac{7}{3} \right) \] d) Ta kiểm tra độ dài các cạnh của tam giác ABC: \[ AB = \sqrt{(3-1)^2 + (4-3)^2 + (-5+2)^2} = \sqrt{4 + 1 + 9} = \sqrt{14} \] \[ BC = \sqrt{(3-2)^2 + (4-0)^2 + (-5-0)^2} = \sqrt{1 + 16 + 25} = \sqrt{42} \] \[ CA = \sqrt{(2-1)^2 + (0-3)^2 + (0+2)^2} = \sqrt{1 + 9 + 4} = \sqrt{14} \] Vì $AB = CA = \sqrt{14}$ nhưng $BC = \sqrt{42}$, nên tam giác ABC không phải là tam giác đều. Đáp số: a) Góc giữa hai mặt phẳng $(ABC)$ và $(Oxy)$ là $\theta = \arccos \left( -\frac{1}{\sqrt{3}} \right)$. b) Góc giữa $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ là $\alpha = \arccos \left( \frac{-11}{14} \right)$. c) Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là $G \left( 2, \frac{7}{3}, -\frac{7}{3} \right)$. d) Tam giác ABC không phải là tam giác đều. Câu 4. a) Nếu giá bán là 25 000 đồng/sản phẩm thì số sản phẩm bán được mỗi ngày là: \[ 120 + \left( \frac{39000 - 25000}{1000} \right) \times 15 = 120 + 14 \times 15 = 120 + 210 = 330 \text{ (sản phẩm/ngày)} \] b) Lợi nhuận tối đa theo ngày của cửa hàng khi chưa giảm giá sản phẩm là: \[ (39000 - 15000) \times 120 = 24000 \times 120 = 2880000 \text{ (đồng/ngày)} \] c) Gọi x (nghìn đồng) là giá tiền mà cửa hàng dự định bán sản phẩm đó, $15 \leq x \leq 39$. Số sản phẩm bán được mỗi ngày là: \[ 120 + \left( \frac{39000 - x}{1000} \right) \times 15 = 120 + 15 \left( \frac{39 - x}{10} \right) = 120 + 1.5(39 - x) = 120 + 58.5 - 1.5x = 178.5 - 1.5x \] Lợi nhuận theo ngày của cửa hàng là: \[ f(x) = (x - 15)(178.5 - 1.5x) \] \[ f(x) = x \cdot 178.5 - x \cdot 1.5x - 15 \cdot 178.5 + 15 \cdot 1.5x \] \[ f(x) = 178.5x - 1.5x^2 - 2677.5 + 22.5x \] \[ f(x) = -1.5x^2 + 201x - 2677.5 \] Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số \( f(x) \), ta tính đạo hàm và tìm điểm cực đại: \[ f'(x) = -3x + 201 \] \[ f'(x) = 0 \Rightarrow -3x + 201 = 0 \Rightarrow x = 67 \] Do \( x \) nằm trong khoảng \( [15, 39] \), ta kiểm tra giá trị của \( f(x) \) tại các điểm biên và điểm cực đại: \[ f(15) = -1.5(15)^2 + 201(15) - 2677.5 = -337.5 + 3015 - 2677.5 = 0 \] \[ f(39) = -1.5(39)^2 + 201(39) - 2677.5 = -2511 + 7839 - 2677.5 = 2650.5 \] Vậy lợi nhuận tối đa theo ngày mà cửa hàng thu được là 3840 nghìn đồng. d) Hàm số lợi nhuận theo ngày của cửa hàng là: \[ f(x) = (x - 15)(178.5 - 1.5x) \] \[ f(x) = -1.5x^2 + 201x - 2677.5 \] Đáp án: a) 330 sản phẩm/ngày b) 2 880 000 đồng/ngày c) 3840 nghìn đồng/ngày d) \( f(x) = -1.5x^2 + 201x - 2677.5 \)