Ânnansnnsm Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh,trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một,phương án.,$\int^{\frac\pi2}_0\sin xdx$,Câu 1. Giá trị của bằng,A. 0. B. 1. C. -1. $D.~\frac\pi2.$,Câu 2. Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $[a;b].$ Gọi o là miền hình,phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x),$ trục hoành và các,đường thẳng $x=a,~x=b(a0.$ Xác suất,của biến cố A với điều kiện biến cố B đã xảy ra được gọi là xác,suất của A với điều kiên B , kí hiệu PAIB, Khi đó:

Question

Ânnansnnsm Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh,trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một,phương án.,$\int^{\frac\pi2}_0\sin xdx$,Câu 1. Giá trị của bằng,A. 0. B. 1. C. -1. $D.~\frac\pi2.$,Câu 2. Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $[a;b].$ Gọi o là miền hình,phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x),$ trục hoành và các,đường thẳng $x=a,~x=b(a<b).$ Diện tích của D được cho bởi,công thức nào sau đây?,$A.~S=\int^b_0|f(x)|dx$ $B.~\int^0_0f(x)dx.$ $C.~S=\int^b_af(x)dx$ D.,$S=\pi\int^tf^2(x)dx$,Câu 3. Trong không gian 0x=, phương trình nào sau đây là,phương trình tổng quát của mặt phẳng?,$A.~x-3y^2+z-1=0.$ $B.~x^2+2y+4z-2=0.$,$C.~2x-3y+4z-2024=0.$ $D.~2x-3y+4z^2-2025=0.$,Câu 4. Trong không gian 0x=, cho mặt phẳng $(P):~3x-y+2z-1=0.$,Vectơ nào dưới đây không phải là một vectơ pháp tuyến của ()?,$A.~\overset\cup{n=(-3;1;-2)}.$ $B.~\overset C{n=(3;1;2)}$ $C.\oversetightleftharpoons{n=(3;-1;2)}$ $D.~\overset\cup{n=(6;-2;4)}$,$\left\{\begin{array}lx=2+t\y=1-2t\z=-1+3t\end{array}ight.$,Câu 5. Trong không gian 0x=,, hhođđường tẳẳng a,.Vecctơ nào dưới đây là một véctơ chỉ phương của a?,$A.~\overset{\Box\omega}{u_i=(2;1;-1).}$ $B.~u_2=(1;2;3).$ $C.~\overset{(n+1;-2;3)}{u_2=(1;-2;3).}$ D.,$\begin{array}lu_{nn-3}\u_n=(2;1;1).\end{array}$,Câu 6. Trong không gian oxy,, cho đường thẳng $d:\frac{x-4}2=\frac{z-2}{-5}=\frac{z+1}1.$,Điểm nào sau đây thuộc a?,$A.~N(4;2;-1).$ B. 0(2;5;1) . $C.~M(4;2;1).$ $D.~P(2;-5;1).$,Câu 7. Trong không gian 0xz, góc giữa hai mặt phẳng,$(\alpha):8x-4y-8z+1=0;(\beta):\sqrt2x-\sqrt2y+7=0$ là,$A.~\frac\pi6$ $B.~\frac\pi4$ $C.~\frac\pi3$ $D.~\frac\pi2.$,Câu 8. Trong không gian Oxyz . cho mặt cầu,$(S):~(x-2)^2+(y+1)^2+(z-3)^2=4.$ Tâm của (s) có tọa độ là,$A.~(-2;1;-3).$ $B.~(-4;2;-6).$ $C.~(4;-2;6).$ $D.~(2;-1;3).$,Câu 9. Trong không gian 0x=, cho mặt cầu (s) có tâm $I(1;-4;0)$ và,bán kính bằng 3 . Phương trình của () là,$A.~(x+1)^2+(y-4)^2+z^2=9.$ $B.~(x-1)^2+(y+4)^2+z^2=9.$,$C.~(x-1)^2+(y+4)^2+z^2=3.$ $D.~(x+1)^2+(y-4)^2+z^2=3.$,Câu 10. Cho hai biến cố A và B bất kì với $P(B)>0.$ Xác suất,của biến cố A với điều kiện biến cố B đã xảy ra được gọi là xác,suất của A với điều kiên B , kí hiệu PAIB, Khi đó:

Accepted Answer

Câu 1.
Câu hỏi:
Giá trị của $\sin(\frac{\pi}{2})$ là:
A. 0.
B. 1.
C. -1.
D. $\frac{\pi}{2}$.

Câu trả lời:
Ta biết rằng $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.

Vậy đáp án đúng là B. 1.

Đáp số: B. 1.

Câu 2.
Diện tích của miền hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$, trục hoành và các đường thẳng $x=a$, $x=b$ (với $a < b$) được tính bằng công thức tích phân sau:

$$ S = \left| \int_{a}^{b} f(x) \, dx \right| $$

Tuy nhiên, trong các lựa chọn đã cho, chúng ta cần tìm công thức đúng nhất. Ta sẽ kiểm tra từng lựa chọn:

A. $S = \int_{0}^{b} |f(x)| \, dx$: Lựa chọn này không đúng vì nó chỉ áp dụng cho khoảng từ 0 đến b, không phải từ a đến b.

B. $S = \int_{0}^{0} f(x) \, dx$: Lựa chọn này không đúng vì tích phân từ 0 đến 0 luôn bằng 0, không phản ánh diện tích của miền hình phẳng.

C. $S = \int_{a}^{b} f(x) \, dx$: Lựa chọn này gần đúng nhưng cần thêm dấu giá trị tuyệt đối để đảm bảo diện tích luôn dương, kể cả khi hàm số có phần âm.

D. $S = \pi \int_{t}^{f^2(x)} \, dx$: Lựa chọn này không đúng vì nó liên quan đến tích phân của bình phương hàm số nhân với $\pi$, thường được sử dụng trong tính thể tích của vật thể quay, không phải diện tích.

Do đó, lựa chọn đúng nhất là:

$$ S = \left| \int_{a}^{b} f(x) \, dx \right| $$

Tuy nhiên, trong các lựa chọn đã cho, lựa chọn C gần đúng nhất:

$$ S = \int_{a}^{b} f(x) \, dx $$

Vậy đáp án đúng là:

C. $S = \int_{a}^{b} f(x) \, dx$

Đáp án: C. $S = \int_{a}^{b} f(x) \, dx$

Câu 3.
Phương trình tổng quát của mặt phẳng trong không gian có dạng:
$$ Ax + By + Cz + D = 0 $$
trong đó $ A, B, C, D $ là các hằng số và $ A, B, C $ không đồng thời bằng 0.

Ta sẽ kiểm tra từng phương trình để xác định phương trình tổng quát của mặt phẳng:

A. $ x - 3y^2 + z - 1 = 0 $
- Phương trình này có $ y^2 $, do đó không phải là phương trình tổng quát của mặt phẳng.

B. $ x^2 + 2y + 4z - 2 = 0 $
- Phương trình này có $ x^2 $, do đó không phải là phương trình tổng quát của mặt phẳng.

C. $ 2x - 3y + 4z - 2024 = 0 $
- Phương trình này có dạng $ Ax + By + Cz + D = 0 $ với $ A = 2, B = -3, C = 4, D = -2024 $. Do đó, đây là phương trình tổng quát của mặt phẳng.

D. $ 2x - 3y + 4z^2 - 2025 = 0 $
- Phương trình này có $ z^2 $, do đó không phải là phương trình tổng quát của mặt phẳng.

Vậy phương trình tổng quát của mặt phẳng là:
$$ \boxed{C.~2x - 3y + 4z - 2024 = 0} $$

Câu 4.
Để xác định vectơ nào không phải là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P):~3x-y+2z-1=0$, ta cần kiểm tra xem mỗi vectơ có vuông góc với mặt phẳng hay không. Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ sẽ có dạng $(3, -1, 2)$ hoặc bội số của nó.

Ta xét từng đáp án:

A. $\overrightarrow{n}=(-3, 1, -2)$

Ta thấy rằng $\overrightarrow{n}=(-3, 1, -2)$ là bội số của $(3, -1, 2)$ với hệ số là $-1$. Do đó, $\overrightarrow{n}=(-3, 1, -2)$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$.

B. $\overrightarrow{n}=(3, 1, 2)$

Ta thấy rằng $\overrightarrow{n}=(3, 1, 2)$ không phải là bội số của $(3, -1, 2)$. Do đó, $\overrightarrow{n}=(3, 1, 2)$ không phải là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$.

C. $\overrightarrow{n}=(3, -1, 2)$

Ta thấy rằng $\overrightarrow{n}=(3, -1, 2)$ chính là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$.

D. $\overrightarrow{n}=(6, -2, 4)$

Ta thấy rằng $\overrightarrow{n}=(6, -2, 4)$ là bội số của $(3, -1, 2)$ với hệ số là $2$. Do đó, $\overrightarrow{n}=(6, -2, 4)$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$.

Vậy, vectơ không phải là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là:

Đáp án đúng là: B. $\overrightarrow{n}=(3, 1, 2)$

Câu 5.
Để xác định vec tơ chỉ phương của đường thẳng $a$ trong không gian, ta cần biết phương trình của đường thẳng đó. Tuy nhiên, trong đề bài không cung cấp phương trình của đường thẳng $a$. Do đó, chúng ta sẽ dựa vào các vec tơ chỉ phương đã cho để kiểm tra xem vec tơ nào có thể là vec tơ chỉ phương của đường thẳng $a$.

Các vec tơ chỉ phương được đưa ra là:
$$ A. \overrightarrow{u_1} = (2; 1; -1) $$
$$ B. \overrightarrow{u_2} = (1; 2; 3) $$
$$ C. \overrightarrow{u_3} = (1; -2; 3) $$
$$ D. \overrightarrow{u_4} = (2; 1; 1) $$

Trong trường hợp này, ta cần biết thêm thông tin về đường thẳng $a$ để xác định chính xác vec tơ chỉ phương của nó. Tuy nhiên, nếu giả sử rằng một trong các vec tơ trên là vec tơ chỉ phương của đường thẳng $a$, ta có thể chọn một trong các vec tơ đó tùy thuộc vào thông tin bổ sung từ đề bài hoặc ngữ cảnh của bài toán.

Vì đề bài không cung cấp thêm thông tin, ta sẽ giả sử rằng một trong các vec tơ trên là vec tơ chỉ phương của đường thẳng $a$. Ta sẽ chọn vec tơ $\overrightarrow{u_1} = (2; 1; -1)$ làm vec tơ chỉ phương của đường thẳng $a$.

Đáp án: $A. \overrightarrow{u_1} = (2; 1; -1)$

Lời giải chi tiết:
- Ta giả sử vec tơ $\overrightarrow{u_1} = (2; 1; -1)$ là vec tơ chỉ phương của đường thẳng $a$.
- Các vec tơ còn lại không được cung cấp thêm thông tin để xác định chính xác.

Do đó, vec tơ chỉ phương của đường thẳng $a$ là $\overrightarrow{u_1} = (2; 1; -1)$.

Đáp án: $A. \overrightarrow{u_1} = (2; 1; -1)$

Câu 6.
Để xác định điểm nào thuộc đường thẳng $ d $, ta sẽ thay tọa độ của mỗi điểm vào phương trình của đường thẳng và kiểm tra xem chúng có thỏa mãn phương trình đó hay không.

Phương trình của đường thẳng $ d $ là:
$$ \frac{x-4}{2} = \frac{y-2}{-5} = \frac{z+1}{1} $$

Ta sẽ kiểm tra từng điểm:

1. Kiểm tra điểm $ N(4; 2; -1) $:
   $$ \frac{4-4}{2} = \frac{2-2}{-5} = \frac{-1+1}{1} $$
   $$ \frac{0}{2} = \frac{0}{-5} = \frac{0}{1} $$
   $$ 0 = 0 = 0 $$
   Điểm $ N $ thỏa mãn phương trình của đường thẳng $ d $.

2. Kiểm tra điểm $ O(2; 5; 1) $:
   $$ \frac{2-4}{2} = \frac{5-2}{-5} = \frac{1+1}{1} $$
   $$ \frac{-2}{2} = \frac{3}{-5} = \frac{2}{1} $$
   $$ -1 \neq -\frac{3}{5} \neq 2 $$
   Điểm $ O $ không thỏa mãn phương trình của đường thẳng $ d $.

3. Kiểm tra điểm $ M(4; 2; 1) $:
   $$ \frac{4-4}{2} = \frac{2-2}{-5} = \frac{1+1}{1} $$
   $$ \frac{0}{2} = \frac{0}{-5} = \frac{2}{1} $$
   $$ 0 = 0 \neq 2 $$
   Điểm $ M $ không thỏa mãn phương trình của đường thẳng $ d $.

4. Kiểm tra điểm $ P(2; -5; 1) $:
   $$ \frac{2-4}{2} = \frac{-5-2}{-5} = \frac{1+1}{1} $$
   $$ \frac{-2}{2} = \frac{-7}{-5} = \frac{2}{1} $$
   $$ -1 \neq \frac{7}{5} \neq 2 $$
   Điểm $ P $ không thỏa mãn phương trình của đường thẳng $ d $.

Vậy, chỉ có điểm $ N(4; 2; -1) $ thuộc đường thẳng $ d $.

Đáp án đúng là: $ A.~N(4; 2; -1) $.

Câu 7.
Để tìm góc giữa hai mặt phẳng $(\alpha)$ và $(\beta)$ trong không gian, ta cần xác định góc giữa hai vectơ pháp tuyến của chúng.

1. Xác định vectơ pháp tuyến của mỗi mặt phẳng:
   - Mặt phẳng $(\alpha): 8x - 4y - 8z + 1 = 0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}_\alpha = (8, -4, -8)$.
   - Mặt phẳng $(\beta): \sqrt{2}x - \sqrt{2}y + 7 = 0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}_\beta = (\sqrt{2}, -\sqrt{2}, 0)$.

2. Tính tích vô hướng của hai vectơ pháp tuyến:
   $$
   \vec{n}_\alpha \cdot \vec{n}_\beta = 8 \cdot \sqrt{2} + (-4) \cdot (-\sqrt{2}) + (-8) \cdot 0 = 8\sqrt{2} + 4\sqrt{2} = 12\sqrt{2}
   $$

3. Tính độ dài của mỗi vectơ pháp tuyến:
   $$
   |\vec{n}_\alpha| = \sqrt{8^2 + (-4)^2 + (-8)^2} = \sqrt{64 + 16 + 64} = \sqrt{144} = 12
   $$
   $$
   |\vec{n}_\beta| = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (-\sqrt{2})^2 + 0^2} = \sqrt{2 + 2} = \sqrt{4} = 2
   $$

4. Tính cosin của góc giữa hai vectơ pháp tuyến:
   $$
   \cos \theta = \frac{\vec{n}_\alpha \cdot \vec{n}_\beta}{|\vec{n}_\alpha| \cdot |\vec{n}_\beta|} = \frac{12\sqrt{2}}{12 \cdot 2} = \frac{12\sqrt{2}}{24} = \frac{\sqrt{2}}{2}
   $$

5. Tìm góc $\theta$:
   $$
   \cos \theta = \frac{\sqrt{2}}{2} \implies \theta = \frac{\pi}{4}
   $$

Vậy góc giữa hai mặt phẳng $(\alpha)$ và $(\beta)$ là $\frac{\pi}{4}$.

Đáp án đúng là: B. $\frac{\pi}{4}$

Câu 8.
Phương trình mặt cầu $(S)$ có dạng $(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2$, trong đó tâm của mặt cầu là $(a, b, c)$ và bán kính là $R$.

So sánh phương trình $(S): (x-2)^2 + (y+1)^2 + (z-3)^2 = 4$ với phương trình tổng quát trên, ta nhận thấy:
- Tọa độ tâm của mặt cầu là $(2, -1, 3)$.
- Bán kính của mặt cầu là $\sqrt{4} = 2$.

Do đó, tâm của mặt cầu $(S)$ có tọa độ là $(2, -1, 3)$.

Vậy đáp án đúng là:
$$ D. (2, -1, 3) $$

Câu 9.
Phương trình của mặt cầu có tâm $I(a,b,c)$ và bán kính $R$ là $(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2$.

Trong bài này, tâm của mặt cầu là $I(1,-4,0)$ và bán kính là 3. Do đó, phương trình của mặt cầu là:
$$
(x-1)^2 + (y+4)^2 + (z-0)^2 = 3^2
$$
$$
(x-1)^2 + (y+4)^2 + z^2 = 9
$$

Vậy phương trình của mặt cầu là:
$$
(x-1)^2 + (y+4)^2 + z^2 = 9
$$

Đáp án đúng là: B. $(x-1)^2 + (y+4)^2 + z^2 = 9$.

Câu 10.
Xác suất của biến cố A với điều kiện biến cố B đã xảy ra được gọi là xác suất của A với điều kiện B, ký hiệu là $ P(A|B) $.

Khi đó, ta có công thức xác suất điều kiện như sau:

$$ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} $$

Trong đó:
- $ P(A \cap B) $ là xác suất của biến cố A và B cùng xảy ra.
- $ P(B) $ là xác suất của biến cố B.

Công thức này cho thấy xác suất của biến cố A khi biết rằng biến cố B đã xảy ra bằng tỉ số giữa xác suất của cả hai biến cố A và B cùng xảy ra và xác suất của biến cố B.

Lập luận từng bước:
1. Xác định biến cố A và B.
2. Tính xác suất của biến cố B, $ P(B) $.
3. Tính xác suất của cả hai biến cố A và B cùng xảy ra, $ P(A \cap B) $.
4. Áp dụng công thức xác suất điều kiện để tính $ P(A|B) $.

Vậy, xác suất của biến cố A với điều kiện biến cố B đã xảy ra là:

$$ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} $$