giải giúp mình

Câu 10: Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm số hàng cây trong khu vườn sao cho tổng số cây trong tất cả các hàng bằng 465 cây. Ta sẽ sử dụng công thức tính tổng của dãy số tự nhiên. Bước 1: Xác định dãy số - Hàng thứ nhất có 1 cây. - Hàng thứ hai có 2 cây. - Cứ mỗi hàng sau sẽ có nhiều hơn hàng ngay trước đó 1 cây. Như vậy, số cây trong các hàng tạo thành một dãy số tự nhiên: 1, 2, 3, ..., n. Bước 2: Áp dụng công thức tính tổng của dãy số tự nhiên Công thức tính tổng S của n số hạng đầu tiên của dãy số tự nhiên là: \[ S = \frac{n(n + 1)}{2} \] Trong bài toán này, tổng số cây là 465, tức là: \[ \frac{n(n + 1)}{2} = 465 \] Bước 3: Giải phương trình Nhân cả hai vế với 2 để loại bỏ mẫu số: \[ n(n + 1) = 930 \] Đây là phương trình bậc hai: \[ n^2 + n - 930 = 0 \] Bước 4: Tìm nghiệm của phương trình bậc hai Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai \( ax^2 + bx + c = 0 \): \[ n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Ở đây, \( a = 1 \), \( b = 1 \), \( c = -930 \). Tính delta: \[ \Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-930) = 1 + 3720 = 3721 \] Tính căn bậc hai của delta: \[ \sqrt{\Delta} = \sqrt{3721} = 61 \] Tìm nghiệm: \[ n = \frac{-1 \pm 61}{2} \] Ta có hai nghiệm: \[ n_1 = \frac{-1 + 61}{2} = \frac{60}{2} = 30 \] \[ n_2 = \frac{-1 - 61}{2} = \frac{-62}{2} = -31 \] Vì số hàng cây không thể là số âm, nên ta chọn nghiệm dương: \[ n = 30 \] Vậy tổng số hàng cây trong khu vườn là 30 hàng. Đáp số: 30 hàng cây. Câu 11: Ta thấy: \[ u_1 = 1 \] \[ u_2 = 1 + \frac{1}{2^2} = 1 + \frac{1}{4} = 1.25 \] \[ u_3 = 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} = 1.3611 \] Nhận xét: - Dãy số $(u_n)$ là tổng của các số dương, do đó nó bị chặn dưới bởi 1. - Ta sẽ chứng minh rằng dãy số $(u_n)$ bị chặn trên bởi $\frac{\pi^2}{6}$. Ta có: \[ u_n = 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + ... + \frac{1}{n^2} \] Biết rằng: \[ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} = \frac{\pi^2}{6} \] Do đó: \[ u_n < \frac{\pi^2}{6} \] Vậy dãy số $(u_n)$ bị chặn dưới bởi 1 và bị chặn trên bởi $\frac{\pi^2}{6}$. Từ đó ta có: \[ m = 1 \] \[ M = \frac{\pi^2}{6} \] Vậy: \[ m + M = 1 + \frac{\pi^2}{6} \] Đáp số: \[ m + M = 1 + \frac{\pi^2}{6} \] Câu 12: Để tính \( P = b + c \), ta cần tìm \( b \) và \( c \) từ giới hạn đã cho: \[ \lim_{x \to 3} \frac{x^2 + bx + c}{x - 3} = 8 \] Trước tiên, để giới hạn tồn tại và bằng 8, tử số \( x^2 + bx + c \) phải có nhân tử \( x - 3 \). Do đó, ta giả sử: \[ x^2 + bx + c = (x - 3)(x + d) \] Phát triển vế phải: \[ x^2 + bx + c = x^2 + (d - 3)x - 3d \] So sánh hệ số tương ứng của \( x \) và hằng số ở cả hai vế, ta có: \[ b = d - 3 \quad \text{và} \quad c = -3d \] Bây giờ, thay vào giới hạn ban đầu: \[ \lim_{x \to 3} \frac{(x - 3)(x + d)}{x - 3} = \lim_{x \to 3} (x + d) = 3 + d \] Theo đề bài, giới hạn này bằng 8: \[ 3 + d = 8 \implies d = 5 \] Vậy: \[ b = d - 3 = 5 - 3 = 2 \] \[ c = -3d = -3 \times 5 = -15 \] Do đó: \[ P = b + c = 2 - 15 = -13 \] Đáp số: \( P = -13 \) Câu 13: Trước tiên, ta cần hiểu rằng trọng tâm của một tam giác chia mỗi đường trung tuyến thành tỉ số 2:1, tính từ đỉnh đến trọng tâm. Do đó, $G_1$ nằm trên đường trung tuyến của tam giác BCD và chia nó thành tỉ số 2:1. Bây giờ, ta xét hình chiếu song song của điểm $G_1$ theo phương AB lên mặt phẳng (ACD). Điều này có nghĩa là ta sẽ hạ một đường thẳng từ $G_1$ vuông góc với mặt phẳng (ACD) và giao với mặt phẳng này tại điểm $G_2$. Do $G_1$ là trọng tâm của tam giác BCD, nên nó nằm ở vị trí $\frac{2}{3}$ chiều dài đường trung tuyến từ đỉnh D đến cạnh BC. Khi ta hạ hình chiếu song song của $G_1$ theo phương AB lên mặt phẳng (ACD), ta thấy rằng đoạn thẳng $G_1G_2$ sẽ song song với AB và có cùng tỉ lệ với AB như đoạn thẳng từ đỉnh D đến trọng tâm của tam giác BCD. Vì vậy, ta có: \[ \frac{G_1G_2}{AB} = \frac{1}{3} \] Kết luận: \[ \frac{G_1G_2}{AB} = \frac{1}{3} \approx 0.33 \] Đáp số: $\frac{G_1G_2}{AB} = 0.33$ Câu 14: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng công thức tính số hạng trong dãy số và công thức tính tổng của dãy số. Bước 1: Xác định dãy số và các thông số liên quan - Số ghế ở hàng thứ nhất: \( a_1 = 15 \) - Số ghế ở hàng thứ hai: \( a_2 = 18 \) - Số ghế ở hàng thứ ba: \( a_3 = 21 \) Nhận thấy rằng mỗi hàng sau có nhiều hơn 3 ghế so với hàng liền trước nó, nên đây là dãy số cách đều với khoảng cách \( d = 3 \). Bước 2: Tìm số hạng của dãy số - Tổng số ghế: \( S_n = 870 \) - Số ghế ở hàng thứ nhất: \( a_1 = 15 \) - Khoảng cách: \( d = 3 \) Áp dụng công thức tính tổng của dãy số cách đều: \[ S_n = \frac{n}{2} \left( 2a_1 + (n-1)d \right) \] Thay các giá trị vào công thức: \[ 870 = \frac{n}{2} \left( 2 \times 15 + (n-1) \times 3 \right) \] \[ 870 = \frac{n}{2} \left( 30 + 3n - 3 \right) \] \[ 870 = \frac{n}{2} \left( 27 + 3n \right) \] \[ 870 = \frac{n}{2} \times 3(n + 9) \] \[ 870 = \frac{3n(n + 9)}{2} \] \[ 1740 = 3n(n + 9) \] \[ 580 = n(n + 9) \] \[ n^2 + 9n - 580 = 0 \] Bước 3: Giải phương trình bậc hai \[ n^2 + 9n - 580 = 0 \] Áp dụng công thức giải phương trình bậc hai: \[ n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] \[ n = \frac{-9 \pm \sqrt{9^2 - 4 \times 1 \times (-580)}}{2 \times 1} \] \[ n = \frac{-9 \pm \sqrt{81 + 2320}}{2} \] \[ n = \frac{-9 \pm \sqrt{2401}}{2} \] \[ n = \frac{-9 \pm 49}{2} \] Ta có hai nghiệm: \[ n = \frac{40}{2} = 20 \] \[ n = \frac{-58}{2} = -29 \] (loại vì số hạng không thể âm) Vậy số hạng của dãy số là \( n = 20 \). Bước 4: Tìm số ghế ở hàng cuối cùng Số ghế ở hàng cuối cùng là số hạng thứ 20 của dãy số: \[ a_{20} = a_1 + (20-1)d \] \[ a_{20} = 15 + 19 \times 3 \] \[ a_{20} = 15 + 57 \] \[ a_{20} = 72 \] Vậy hàng cuối cùng có 72 ghế. Đáp số: Hàng cuối cùng có 72 ghế. Câu 15: Để dãy số $(a_n)$ là dãy số tăng, ta cần: \[ a_{n+1} > a_n \] Thay vào biểu thức của dãy số, ta có: \[ \frac{7(n+1)+5}{k(n+1)+7} > \frac{7n+5}{kn+7} \] \[ \frac{7n + 12}{kn + k + 7} > \frac{7n + 5}{kn + 7} \] Nhân cả hai vế với $(kn + k + 7)(kn + 7)$ (vì $kn + k + 7 > 0$ và $kn + 7 > 0$): \[ (7n + 12)(kn + 7) > (7n + 5)(kn + k + 7) \] Mở ngoặc và thu gọn: \[ 7kn^2 + 49n + 12kn + 84 > 7kn^2 + 7nk + 49n + 5kn + 5k + 35 \] \[ 12kn + 84 > 7nk + 5k + 35 \] \[ 12kn - 7kn - 5k > 35 - 84 \] \[ 5kn - 5k > -49 \] \[ 5k(n - 1) > -49 \] Chia cả hai vế cho 5: \[ k(n - 1) > -\frac{49}{5} \] Vì $n \geq 1$, ta xét trường hợp $n = 1$: \[ k(1 - 1) > -\frac{49}{5} \] \[ 0 > -\frac{49}{5} \] Điều này luôn đúng, do đó ta xét tiếp trường hợp $n > 1$. Ta cần: \[ k > -\frac{49}{5(n-1)} \] Để dãy số tăng, $k$ phải lớn hơn $-\frac{49}{5(n-1)}$ cho mọi $n > 1$. Ta cần tìm giá trị lớn nhất của $k$ thỏa mãn điều kiện trên. Xét giới hạn khi $n$ tiến đến vô cùng: \[ \lim_{n \to \infty} -\frac{49}{5(n-1)} = 0 \] Do đó, $k$ cần lớn hơn 0. Giá trị nguyên lớn nhất của $k$ là 0. Vậy giá trị nguyên lớn nhất của $k$ để dãy số $(a_n)$ là dãy số tăng là: \[ \boxed{0} \] Câu 16: Để tính giá trị biểu thức \( S = a + 2b \), ta cần tìm các giá trị của \( a \) và \( b \) từ giới hạn đã cho. Ta có: \[ \lim_{x \to 2} \frac{ax^2 + bx - 2}{x - 2} = 5 \] Để giới hạn này tồn tại và bằng 5, tử số \( ax^2 + bx - 2 \) phải có nhân tử \( x - 2 \). Do đó, ta có thể viết: \[ ax^2 + bx - 2 = (x - 2)(cx + d) \] Trong đó \( c \) và \( d \) là các hằng số cần tìm. Phát triển vế phải: \[ ax^2 + bx - 2 = cx^2 + dx - 2c - 2d \] So sánh hệ số tương ứng của \( x^2 \), \( x \) và hằng số ở cả hai vế: \[ a = c \] \[ b = d \] \[ -2 = -2c - 2d \] Từ phương trình thứ ba: \[ -2 = -2c - 2d \] \[ 1 = c + d \] Bây giờ, ta thay \( c = a \) và \( d = b \) vào phương trình trên: \[ 1 = a + b \] Tiếp theo, ta sử dụng giới hạn ban đầu để tìm thêm thông tin về \( a \) và \( b \): \[ \lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(ax + b)}{x - 2} = 5 \] \[ \lim_{x \to 2} (ax + b) = 5 \] Thay \( x = 2 \) vào: \[ 2a + b = 5 \] Bây giờ, ta có hệ phương trình: \[ a + b = 1 \] \[ 2a + b = 5 \] Giải hệ phương trình này: 1. Từ phương trình thứ nhất: \[ b = 1 - a \] 2. Thay vào phương trình thứ hai: \[ 2a + (1 - a) = 5 \] \[ 2a + 1 - a = 5 \] \[ a + 1 = 5 \] \[ a = 4 \] 3. Thay \( a = 4 \) vào phương trình \( b = 1 - a \): \[ b = 1 - 4 \] \[ b = -3 \] Cuối cùng, ta tính giá trị biểu thức \( S = a + 2b \): \[ S = 4 + 2(-3) \] \[ S = 4 - 6 \] \[ S = -2 \] Vậy giá trị của biểu thức \( S \) là: \[ \boxed{-2} \]