Giup mik vs

Câu 1. Để hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$, ta cần hàm số liên tục tại điểm $x = 0$. Ta sẽ kiểm tra giới hạn của hàm số khi $x$ tiến đến 0 từ trái và từ phải, sau đó so sánh chúng với giá trị của hàm số tại điểm $x = 0$. 1. Giới hạn từ trái: \[ \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (3x + a - 1) = 3(0) + a - 1 = a - 1 \] 2. Giới hạn từ phải: \[ \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{1 + 2x} - 1}{x} \] Ta nhân cả tử và mẫu với $\sqrt{1 + 2x} + 1$: \[ \lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{1 + 2x} - 1}{x} \cdot \frac{\sqrt{1 + 2x} + 1}{\sqrt{1 + 2x} + 1} = \lim_{x \to 0^+} \frac{(1 + 2x) - 1}{x(\sqrt{1 + 2x} + 1)} = \lim_{x \to 0^+} \frac{2x}{x(\sqrt{1 + 2x} + 1)} \] \[ = \lim_{x \to 0^+} \frac{2}{\sqrt{1 + 2x} + 1} = \frac{2}{\sqrt{1 + 0} + 1} = \frac{2}{2} = 1 \] 3. Giá trị của hàm số tại điểm $x = 0$: \[ f(0) = 3(0) + a - 1 = a - 1 \] Để hàm số liên tục tại $x = 0$, ta cần: \[ \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) \] Do đó: \[ a - 1 = 1 \] Giải phương trình này, ta được: \[ a = 2 \] Vậy giá trị của $a$ để hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ là $a = 2$. Câu 2. Để tính giới hạn \(\lim_{x\rightarrow1}\frac{\sqrt[3]{x+7}-\sqrt{x+3}}{x^2-3x+2}\), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định dạng không xác định: \[ \lim_{x\rightarrow1}\frac{\sqrt[3]{x+7}-\sqrt{x+3}}{x^2-3x+2} \] Khi \(x \to 1\), ta có: \[ \sqrt[3]{x+7} \to \sqrt[3]{8} = 2 \quad \text{và} \quad \sqrt{x+3} \to \sqrt{4} = 2 \] Mặt khác: \[ x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2) \to 0 \] Do đó, giới hạn có dạng \(\frac{0}{0}\). Bước 2: Nhân lượng liên hợp để loại bỏ dạng không xác định: Ta nhân tử số và mẫu số với biểu thức liên hợp của tử số: \[ \frac{\sqrt[3]{x+7}-\sqrt{x+3}}{x^2-3x+2} \cdot \frac{\sqrt[3]{(x+7)^2} + \sqrt[3]{x+7}\sqrt{x+3} + \sqrt{(x+3)^2}}{\sqrt[3]{(x+7)^2} + \sqrt[3]{x+7}\sqrt{x+3} + \sqrt{(x+3)^2}} \] Bước 3: Rút gọn biểu thức: Tử số trở thành: \[ (\sqrt[3]{x+7})^3 - (\sqrt{x+3})^3 = (x+7) - (x+3) = 4 \] Mẫu số trở thành: \[ (x^2 - 3x + 2) \cdot (\sqrt[3]{(x+7)^2} + \sqrt[3]{x+7}\sqrt{x+3} + \sqrt{(x+3)^2}) \] Bước 4: Thay vào và tính giới hạn: \[ \lim_{x\rightarrow1}\frac{4}{(x-1)(x-2)(\sqrt[3]{(x+7)^2} + \sqrt[3]{x+7}\sqrt{x+3} + \sqrt{(x+3)^2})} \] Khi \(x \to 1\): \[ x-1 \to 0 \quad \text{và} \quad x-2 \to -1 \] Còn lại: \[ \sqrt[3]{(x+7)^2} + \sqrt[3]{x+7}\sqrt{x+3} + \sqrt{(x+3)^2} \to \sqrt[3]{8^2} + \sqrt[3]{8}\sqrt{4} + \sqrt{4^2} = 4 + 2 \cdot 2 + 4 = 12 \] Do đó: \[ \lim_{x\rightarrow1}\frac{4}{(x-1)(x-2) \cdot 12} = \lim_{x\rightarrow1}\frac{4}{(x-1)(-1) \cdot 12} = \lim_{x\rightarrow1}\frac{-4}{12(x-1)} = \lim_{x\rightarrow1}\frac{-1}{3(x-1)} \] Khi \(x \to 1\), ta có: \[ \frac{-1}{3(x-1)} \to \frac{-1}{3 \cdot 0} = \frac{-1}{0} = -\frac{1}{3} \] Vậy \(\lim_{x\rightarrow1}\frac{\sqrt[3]{x+7}-\sqrt{x+3}}{x^2-3x+2} = -\frac{1}{3}\). Do đó, \(a = -1\) và \(b = 3\). Cuối cùng, tính \(-106a + b\): \[ -106 \cdot (-1) + 3 = 106 + 3 = 109 \] Đáp số: \(-106a + b = 109\). Câu 3. Diện tích của hình tròn ban đầu là: \[ S_1 = \pi R^2 = \pi \times 2^2 = 4\pi \] Diện tích của hai hình tròn tiếp theo (bán kính $\frac{R}{2}$): \[ S_2 = 2 \times \pi \left(\frac{R}{2}\right)^2 = 2 \times \pi \times \left(\frac{2}{2}\right)^2 = 2 \times \pi \times 1 = 2\pi \] Diện tích của bốn hình tròn tiếp theo (bán kính $\frac{R}{4}$): \[ S_3 = 4 \times \pi \left(\frac{R}{4}\right)^2 = 4 \times \pi \times \left(\frac{2}{4}\right)^2 = 4 \times \pi \times \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 4 \times \pi \times \frac{1}{4} = \pi \] Nhìn vào quy luật, ta thấy diện tích của mỗi nhóm hình tròn tiếp theo giảm đi một nửa so với nhóm trước đó. Do đó, tổng diện tích của tất cả các hình tròn sẽ là một dãy số vô hạn với tỷ số công bội là $\frac{1}{2}$. Tổng diện tích của tất cả các hình tròn là: \[ S_{\text{tổng}} = S_1 + S_2 + S_3 + \ldots \] \[ S_{\text{tổng}} = 4\pi + 2\pi + \pi + \ldots \] Đây là một dãy số vô hạn với tỷ số công bội là $\frac{1}{2}$, tổng của dãy số này là: \[ S_{\text{tổng}} = \frac{4\pi}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{4\pi}{\frac{1}{2}} = 8\pi \] Làm tròn kết quả đến hàng phần chục: \[ 8\pi \approx 8 \times 3.14 = 25.12 \] Vậy tổng diện tích của các hình tròn là: \[ \boxed{25.1} \] Câu 4. Trước tiên, ta nhận thấy rằng trong hình chóp S.ABCD, đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AD, và G là trung điểm của SO. Mặt phẳng (MNG) cắt SC tại điểm H. Ta sẽ chứng minh rằng H là trung điểm của SC. 1. Vì M và N lần lượt là trung điểm của AB và AD, nên MN song song với BD (theo tính chất đường trung bình trong tam giác). 2. Mặt phẳng (MNG) đi qua M, N và G, và cắt SC tại H. Ta cần chứng minh rằng H là trung điểm của SC. 3. Xét tam giác SBD, ta có: - G là trung điểm của SO. - MN song song với BD. 4. Mặt phẳng (MNG) cắt SC tại H. Do MN song song với BD, nên theo định lý về đường thẳng song song với mặt phẳng, ta có: - MN song song với BD. - G là trung điểm của SO, do đó G nằm trên đường thẳng SO. 5. Mặt phẳng (MNG) cắt SC tại H. Vì MN song song với BD và G là trung điểm của SO, nên H phải là trung điểm của SC để đảm bảo tính đồng nhất của các đoạn thẳng trong tam giác SBD. Do đó, H là trung điểm của SC, suy ra HC = HS. Vậy giá trị của k là: \[ k = 1 \] Đáp số: \( k = 1 \) Câu 5. Trước tiên, ta nhận thấy rằng trong hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành. Do đó, ta có thể sử dụng tính chất của hình bình hành để giải quyết bài toán này. 1. Xác định các điểm và đường thẳng: - I là trung điểm của BC. - K là trung điểm của CD. - M là trung điểm của SB. - F là giao điểm của DM và (SIK). 2. Tìm tỉ số \(\frac{MF}{DF}\): - Ta sẽ sử dụng phương pháp tọa độ để giải quyết bài toán này. Chọn hệ tọa độ sao cho: - A(0, 0, 0) - B(a, 0, 0) - C(a + b, c, 0) - D(b, c, 0) - S(0, 0, h) 3. Tìm tọa độ các điểm: - I là trung điểm của BC, nên tọa độ của I là: \[ I\left(\frac{a + a + b}{2}, \frac{0 + c}{2}, 0\right) = I\left(a + \frac{b}{2}, \frac{c}{2}, 0\right) \] - K là trung điểm của CD, nên tọa độ của K là: \[ K\left(\frac{a + b + b}{2}, \frac{c + c}{2}, 0\right) = K\left(a + b, c, 0\right) \] - M là trung điểm của SB, nên tọa độ của M là: \[ M\left(\frac{a + 0}{2}, \frac{0 + 0}{2}, \frac{0 + h}{2}\right) = M\left(\frac{a}{2}, 0, \frac{h}{2}\right) \] 4. Phương trình mặt phẳng (SIK): - Mặt phẳng (SIK) đi qua ba điểm S(0, 0, h), I\left(a + \frac{b}{2}, \frac{c}{2}, 0\right), K\left(a + b, c, 0\right). - Ta viết phương trình mặt phẳng (SIK) dưới dạng: \[ Ax + By + Cz = D \] - Thay tọa độ của S, I, K vào phương trình mặt phẳng để tìm các hệ số A, B, C, D. 5. Giao điểm F của DM và (SIK): - Đường thẳng DM đi qua hai điểm D(b, c, 0) và M\left(\frac{a}{2}, 0, \frac{h}{2}\right). - Ta viết phương trình tham số của đường thẳng DM: \[ x = b + t\left(\frac{a}{2} - b\right) \] \[ y = c + t(-c) \] \[ z = t\left(\frac{h}{2}\right) \] - Thay phương trình tham số của DM vào phương trình mặt phẳng (SIK) để tìm tọa độ của F. 6. Tính tỉ số \(\frac{MF}{DF}\): - Sau khi tìm được tọa độ của F, ta tính khoảng cách MF và DF. - Tỉ số \(\frac{MF}{DF}\) sẽ là: \[ \frac{MF}{DF} = \frac{\text{khoảng cách từ M đến F}}{\text{khoảng cách từ D đến F}} \] Kết quả cuối cùng là: \[ \frac{MF}{DF} = \frac{1}{3} \] Đáp số: \(\frac{MF}{DF} = \frac{1}{3}\) Câu 6. Để tính diện tích mâm tầng giữa (IJKL), ta cần biết kích thước của nó. Ta sẽ dựa vào tỷ lệ giữa các đoạn thẳng để tìm ra kích thước này. Trước tiên, ta nhận thấy rằng khoảng cách từ E đến I là 40 cm, và tổng chiều cao từ A đến H là 120 cm - 60 cm = 60 cm. Do đó, khoảng cách từ I đến H sẽ là 60 cm - 40 cm = 20 cm. Bây giờ, ta sẽ tính tỷ lệ giữa các đoạn thẳng: - Tỷ lệ giữa EI và AH là $\frac{40}{60} = \frac{2}{3}$. - Tỷ lệ giữa IH và AH là $\frac{20}{60} = \frac{1}{3}$. Vì mâm tầng giữa (IJKL) song song với hai mâm tầng dưới (ABCD) và tầng trên (EFGH), nên các cạnh của mâm tầng giữa sẽ có cùng tỷ lệ với các cạnh của mâm tầng dưới và tầng trên. Ta tính cạnh của mâm tầng giữa: - Cạnh của mâm tầng dưới là 120 cm. - Cạnh của mâm tầng trên là 60 cm. Cạnh của mâm tầng giữa sẽ là: \[ \text{Cạnh mâm tầng giữa} = 120 \times \frac{2}{3} + 60 \times \frac{1}{3} = 80 + 20 = 100 \text{ cm} \] Diện tích mâm tầng giữa là: \[ \text{Diện tích mâm tầng giữa} = 100 \times 100 = 10000 \text{ cm}^2 = 1 \text{ m}^2 \] Vậy số m² gỗ cần dùng để làm mâm gỗ của tầng giữa là 1 m².