Cho hàm số y=x³-3x²+2. Viết phương trình đồ thị hàm số tiếp tuyến song song với đường thẳng y=9x+7

Question

Accepted Answer

Để viết phương trình của đường thẳng tiếp tuyến của hàm số $ y = x^3 - 3x^2 + 2 $ song song với đường thẳng $ y = 9x + 7 $, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm đạo hàm của hàm số:
   $$
   y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 + 2) = 3x^2 - 6x
   $$

2. Xác định điều kiện để tiếp tuyến song song với đường thẳng $ y = 9x + 7 $:
   Đường thẳng $ y = 9x + 7 $ có hệ số góc là 9. Do đó, tiếp tuyến của hàm số $ y = x^3 - 3x^2 + 2 $ sẽ song song với nó nếu đạo hàm của hàm số tại điểm tiếp xúc bằng 9:
   $$
   3x^2 - 6x = 9
   $$

3. Giải phương trình $ 3x^2 - 6x = 9 $:
   $$
   3x^2 - 6x - 9 = 0
   $$
   Chia cả hai vế cho 3:
   $$
   x^2 - 2x - 3 = 0
   $$
   Giải phương trình bậc hai này bằng phương pháp phân tích:
   $$
   (x - 3)(x + 1) = 0
   $$
   Vậy:
   $$
   x = 3 \quad \text{hoặc} \quad x = -1
   $$

4. Tìm tọa độ các điểm tiếp xúc:
   - Khi $ x = 3 $:
     $$
     y = 3^3 - 3(3)^2 + 2 = 27 - 27 + 2 = 2
     $$
     Điểm tiếp xúc là $ (3, 2) $.

- Khi $ x = -1 $:
     $$
     y = (-1)^3 - 3(-1)^2 + 2 = -1 - 3 + 2 = -2
     $$
     Điểm tiếp xúc là $ (-1, -2) $.

5. Viết phương trình tiếp tuyến tại các điểm tiếp xúc:
   - Tại điểm $ (3, 2) $:
     Phương trình tiếp tuyến có dạng $ y = 9x + b $. Thay $ x = 3 $ và $ y = 2 $ vào:
     $$
     2 = 9(3) + b \implies 2 = 27 + b \implies b = 2 - 27 = -25
     $$
     Vậy phương trình tiếp tuyến là:
     $$
     y = 9x - 25
     $$

- Tại điểm $ (-1, -2) $:
     Phương trình tiếp tuyến có dạng $ y = 9x + b $. Thay $ x = -1 $ và $ y = -2 $ vào:
     $$
     -2 = 9(-1) + b \implies -2 = -9 + b \implies b = -2 + 9 = 7
     $$
     Vậy phương trình tiếp tuyến là:
     $$
     y = 9x + 7
     $$

Kết luận: Phương trình của các đường thẳng tiếp tuyến của hàm số $ y = x^3 - 3x^2 + 2 $ song song với đường thẳng $ y = 9x + 7 $ là:
$$
y = 9x - 25 \quad \text{và} \quad y = 9x + 7
$$