Giải thích ngắn gọn

Câu 8. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ tính từng tích phân theo các phương án đã cho và kiểm tra xem phương án nào đúng. Phương án A: \[ \int^2_{-2}[f(x) + g(x)]dx = \int^2_{-2}f(x)dx + \int^2_{-2}g(x)dx = -1 + 3 = 2 \] Phương án A sai vì tích phân không bằng 8. Phương án B: \[ \int^2_{-2}[f(x) - g(x)]dx = \int^2_{-2}f(x)dx - \int^2_{-2}g(x)dx = -1 - 3 = -4 \] Phương án B sai vì tích phân không bằng 4. Phương án C: \[ \int^2_{-2}5f(x)dx = 5 \cdot \int^2_{-2}f(x)dx = 5 \cdot (-1) = -5 \] Phương án C sai vì tích phân không bằng 5. Phương án D: \[ \int^2_{-2}[3f(x) - 4g(x)]dx = 3 \cdot \int^2_{-2}f(x)dx - 4 \cdot \int^2_{-2}g(x)dx = 3 \cdot (-1) - 4 \cdot 3 = -3 - 12 = -15 \] Phương án D đúng vì tích phân bằng -15. Vậy phương án đúng là: \[ \boxed{D} \] Câu 9. Để tính tích phân \( I = \int_{-1}^{0} (2x + 3)^2 \, dx \), ta thực hiện các bước sau: 1. Thay đổi biến: Đặt \( u = 2x + 3 \). Khi đó, \( du = 2 \, dx \) hoặc \( dx = \frac{1}{2} \, du \). 2. Đổi cận tích phân: - Khi \( x = -1 \), ta có \( u = 2(-1) + 3 = 1 \). - Khi \( x = 0 \), ta có \( u = 2(0) + 3 = 3 \). 3. Viết lại tích phân: \[ I = \int_{-1}^{0} (2x + 3)^2 \, dx = \int_{1}^{3} u^2 \cdot \frac{1}{2} \, du = \frac{1}{2} \int_{1}^{3} u^2 \, du \] 4. Tính tích phân: \[ \int u^2 \, du = \frac{u^3}{3} \] Do đó, \[ \frac{1}{2} \int_{1}^{3} u^2 \, du = \frac{1}{2} \left[ \frac{u^3}{3} \right]_{1}^{3} = \frac{1}{2} \left( \frac{3^3}{3} - \frac{1^3}{3} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{27}{3} - \frac{1}{3} \right) = \frac{1}{2} \left( 9 - \frac{1}{3} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{27 - 1}{3} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{26}{3} = \frac{26}{6} = \frac{13}{3} \] Vậy, tích phân \( I = \frac{13}{3} \). Đáp án đúng là: \( A.~I = \frac{13}{3} \). Câu 10. Để tính tích phân $\int^1_0(e^{3x}+5x^4)dx$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính tích phân từng phần của biểu thức trong dấu tích phân. $\int^1_0(e^{3x}+5x^4)dx = \int^1_0 e^{3x} dx + \int^1_0 5x^4 dx$ Bước 2: Tính từng tích phân riêng lẻ. - Tính $\int^1_0 e^{3x} dx$: Ta biết rằng $\int e^{ax} dx = \frac{1}{a} e^{ax} + C$. Do đó, $\int^1_0 e^{3x} dx = \left[ \frac{1}{3} e^{3x} \right]^1_0 = \frac{1}{3} e^{3 \cdot 1} - \frac{1}{3} e^{3 \cdot 0} = \frac{1}{3} e^3 - \frac{1}{3} = \frac{e^3 - 1}{3}$ - Tính $\int^1_0 5x^4 dx$: Ta biết rằng $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$. Do đó, $\int^1_0 5x^4 dx = 5 \left[ \frac{x^5}{5} \right]^1_0 = 5 \left( \frac{1^5}{5} - \frac{0^5}{5} \right) = 5 \left( \frac{1}{5} - 0 \right) = 1$ Bước 3: Cộng kết quả của hai tích phân lại với nhau. $\int^1_0(e^{3x}+5x^4)dx = \frac{e^3 - 1}{3} + 1 = \frac{e^3 - 1 + 3}{3} = \frac{e^3 + 2}{3}$ Vậy đáp án đúng là $C.~\frac{e^3+2}{3}$. Câu 11. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định nguyên hàm của \( f(x) \): Biết rằng \( F(x) = x^2 \) là một nguyên hàm của \( f(x) \). Do đó, \( f(x) = F'(x) = 2x \). 2. Tính tích phân: Ta cần tính \(\int_{1}^{2} [2 + f(x)] \, dx\). 3. Thay \( f(x) \) vào biểu thức: \[ \int_{1}^{2} [2 + 2x] \, dx \] 4. Tách tích phân thành hai phần: \[ \int_{1}^{2} 2 \, dx + \int_{1}^{2} 2x \, dx \] 5. Tính từng phần riêng lẻ: - Tích phân của hằng số: \[ \int_{1}^{2} 2 \, dx = 2 \left[ x \right]_{1}^{2} = 2(2 - 1) = 2 \] - Tích phân của \( 2x \): \[ \int_{1}^{2} 2x \, dx = 2 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{1}^{2} = \left[ x^2 \right]_{1}^{2} = 2^2 - 1^2 = 4 - 1 = 3 \] 6. Cộng lại các kết quả: \[ 2 + 3 = 5 \] Vậy giá trị của \(\int_{1}^{2} [2 + f(x)] \, dx\) là 5. Đáp án đúng là: B. 5. Câu 12. Để tính $\int^3_1 f(x) dx$, ta sử dụng tính chất của tích phân: \[ \int^3_0 f(x) dx = \int^1_0 f(x) dx + \int^3_1 f(x) dx \] Biết rằng: \[ \int^1_0 f(x) dx = -1 \] \[ \int^3_0 f(x) dx = 5 \] Thay vào công thức trên, ta có: \[ 5 = -1 + \int^3_1 f(x) dx \] Giải phương trình này để tìm $\int^3_1 f(x) dx$: \[ \int^3_1 f(x) dx = 5 + 1 = 6 \] Vậy đáp án đúng là: B. 6. Câu 13. Để tính quãng đường vật đi được từ giây thứ 4 đến giây thứ 10, ta cần tính tích phân của vận tốc theo thời gian trong khoảng từ 4 đến 10. Bước 1: Xác định hàm vận tốc \( v(t) = 3t^2 + 5 \). Bước 2: Tính tích phân của hàm vận tốc từ \( t = 4 \) đến \( t = 10 \): \[ s = \int_{4}^{10} v(t) \, dt = \int_{4}^{10} (3t^2 + 5) \, dt \] Bước 3: Tính tích phân từng phần: \[ \int (3t^2 + 5) \, dt = \int 3t^2 \, dt + \int 5 \, dt \] \[ = 3 \int t^2 \, dt + 5 \int 1 \, dt \] \[ = 3 \left( \frac{t^3}{3} \right) + 5t + C \] \[ = t^3 + 5t + C \] Bước 4: Áp dụng cận trên và cận dưới vào kết quả tích phân: \[ s = \left[ t^3 + 5t \right]_{4}^{10} \] \[ = \left( 10^3 + 5 \cdot 10 \right) - \left( 4^3 + 5 \cdot 4 \right) \] \[ = (1000 + 50) - (64 + 20) \] \[ = 1050 - 84 \] \[ = 966 \text{ m} \] Vậy quãng đường vật đi được từ giây thứ 4 đến giây thứ 10 là 966 m. Đáp án đúng là: D. 966 m. Câu 14. Để tính sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ 100 lên 125 đơn vị sản phẩm, ta cần tính tích phân của hàm lợi nhuận biên \( P'(x) \) từ 100 đến 125. Bước 1: Tính tích phân của \( P'(x) \). \[ P(x) = \int_{100}^{125} (-0,0004x + 9,3) \, dx \] Bước 2: Tính tích phân từng phần. \[ \int (-0,0004x + 9,3) \, dx = -0,0004 \int x \, dx + 9,3 \int 1 \, dx \] \[ = -0,0004 \left( \frac{x^2}{2} \right) + 9,3x + C \] \[ = -0,0002x^2 + 9,3x + C \] Bước 3: Áp dụng cận trên và cận dưới vào tích phân. \[ P(125) - P(100) = \left[ -0,0002x^2 + 9,3x \right]_{100}^{125} \] \[ = \left( -0,0002(125)^2 + 9,3(125) \right) - \left( -0,0002(100)^2 + 9,3(100) \right) \] \[ = \left( -0,0002 \times 15625 + 9,3 \times 125 \right) - \left( -0,0002 \times 10000 + 9,3 \times 100 \right) \] \[ = \left( -3,125 + 1162,5 \right) - \left( -2 + 930 \right) \] \[ = 1159,375 - 928 \] \[ = 231,375 \] Vậy sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ 100 lên 125 đơn vị sản phẩm là 231,375 triệu đồng. Đáp án đúng là: D. 231,375 triệu đồng. Câu 15. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm vận tốc ban đầu của ô tô: - Vận tốc ban đầu của ô tô là 72 km/h. Chuyển đổi vận tốc này sang đơn vị m/s: \[ v_0 = 72 \times \frac{1000}{3600} = 20 \text{ m/s} \] 2. Xác định phương trình vận tốc theo thời gian: - Gia tốc của ô tô là \( a(t) = -\frac{8}{5}t \). - Vận tốc \( v(t) \) của ô tô theo thời gian \( t \) được xác định bằng cách tích phân gia tốc: \[ v(t) = \int a(t) \, dt = \int -\frac{8}{5}t \, dt = -\frac{8}{5} \cdot \frac{t^2}{2} + C = -\frac{4}{5}t^2 + C \] - Tại thời điểm \( t = 0 \), vận tốc ban đầu \( v(0) = 20 \text{ m/s} \): \[ 20 = -\frac{4}{5}(0)^2 + C \implies C = 20 \] - Vậy phương trình vận tốc là: \[ v(t) = -\frac{4}{5}t^2 + 20 \] 3. Xác định thời gian để ô tô dừng hẳn: - Ô tô dừng hẳn khi vận tốc \( v(t) = 0 \): \[ -\frac{4}{5}t^2 + 20 = 0 \implies \frac{4}{5}t^2 = 20 \implies t^2 = 25 \implies t = 5 \text{ s} \] 4. Tính quãng đường ô tô di chuyển từ khi đạp phanh đến khi dừng hẳn: - Quãng đường \( s(t) \) được xác định bằng cách tích phân vận tốc: \[ s(t) = \int v(t) \, dt = \int \left(-\frac{4}{5}t^2 + 20\right) \, dt = -\frac{4}{5} \cdot \frac{t^3}{3} + 20t + D = -\frac{4}{15}t^3 + 20t + D \] - Tại thời điểm \( t = 0 \), quãng đường ban đầu \( s(0) = 0 \): \[ 0 = -\frac{4}{15}(0)^3 + 20(0) + D \implies D = 0 \] - Vậy phương trình quãng đường là: \[ s(t) = -\frac{4}{15}t^3 + 20t \] - Tính quãng đường khi \( t = 5 \text{ s} \): \[ s(5) = -\frac{4}{15}(5)^3 + 20(5) = -\frac{4}{15} \cdot 125 + 100 = -\frac{500}{15} + 100 = -\frac{100}{3} + 100 = \frac{200}{3} \text{ m} \] Vậy, kể từ khi đạp phanh đến khi ô tô dừng hẳn, ô tô di chuyển được $\frac{200}{3}$ mét. Đáp án đúng là: \( C.~\frac{200}{3}~(m) \).