cho hình vuông ABCD cạnh bằng 4a. TÍNH vectow BA.BC ,CA.CB

Question

Accepted Answer

Trước tiên, ta xác định các vectơ cần thiết trong hình vuông ABCD.

1. Tính vectơ $ \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} $:
   - Trong hình vuông ABCD, cạnh AB và BC vuông góc với nhau.
   - Do đó, góc giữa $ \overrightarrow{BA} $ và $ \overrightarrow{BC} $ là 90°.
   - Công thức tính tích vô hướng của hai vectơ $ \overrightarrow{u} $ và $ \overrightarrow{v} $ là:
     $$
     \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = |\overrightarrow{u}| \cdot |\overrightarrow{v}| \cdot \cos(\theta)
     $$
   - Ở đây, $ |\overrightarrow{BA}| = 4a $ và $ |\overrightarrow{BC}| = 4a $, và $ \cos(90^\circ) = 0 $.

Vậy:
   $$
   \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = 4a \cdot 4a \cdot \cos(90^\circ) = 4a \cdot 4a \cdot 0 = 0
   $$

2. Tính vectơ $ \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} $:
   - Ta xác định các vectơ $ \overrightarrow{CA} $ và $ \overrightarrow{CB} $:
     - $ \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA} $
     - $ \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DB} $

- Trong hình vuông, $ \overrightarrow{DA} $ và $ \overrightarrow{DB} $ đều là các vectơ chỉ về các cạnh vuông góc với $ \overrightarrow{CD} $.

- Ta có thể viết:
     $$
     \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA}
     $$
     $$
     \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DB}
     $$

- Tích vô hướng $ \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} $ sẽ là:
     $$
     \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = (\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA}) \cdot (\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DB})
     $$

- Ta mở rộng biểu thức này:
     $$
     \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{CD} \cdot \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{CD} \cdot \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{DA} \cdot \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA} \cdot \overrightarrow{DB}
     $$

- Trong đó:
     - $ \overrightarrow{CD} \cdot \overrightarrow{CD} = |\overrightarrow{CD}|^2 = (4a)^2 = 16a^2 $
     - $ \overrightarrow{CD} \cdot \overrightarrow{DB} = 0 $ vì $ \overrightarrow{CD} $ và $ \overrightarrow{DB} $ vuông góc.
     - $ \overrightarrow{DA} \cdot \overrightarrow{CD} = 0 $ vì $ \overrightarrow{DA} $ và $ \overrightarrow{CD} $ vuông góc.
     - $ \overrightarrow{DA} \cdot \overrightarrow{DB} = 0 $ vì $ \overrightarrow{DA} $ và $ \overrightarrow{DB} $ vuông góc.

Vậy:
   $$
   \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = 16a^2 + 0 + 0 + 0 = 16a^2
   $$

Kết luận:
- $ \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = 0 $
- $ \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = 16a^2 $