Giải phương trình gọi điểm toán của Nga là x, giải pt:,$\log_2(x^2+7)+\surd(3x-2)=5$

Question

Accepted Answer

$\displaystyle log_{2}\left( x^{2} +7 ight) +\sqrt{3x-2} =5$

ĐKXĐ:
$\displaystyle \begin{cases}
x^{2} +7 >0 & \forall x\
3x-2\geqslant 0 &
\end{cases} \Leftrightarrow x\geqslant \frac{2}{3}$

Đặt $\displaystyle y=\sqrt{3x-2} \Longrightarrow x=\frac{y^{2} +2}{3}$
Thay vào phương trình, ta có:
$\displaystyle log_{2}\left[\left(\frac{y^{2} +2}{3} ight)^{2} +7 ight] +y=5$

Đặt:
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
f( y) =log_{2}\left[\left(\frac{y^{2} +2}{3} ight)^{2} +7 ight] +y\
\
\Longrightarrow f'( y) =\frac{2\left( y^{2} +2 ight)\left(\frac{2y}{3} ight)}{ln2.\left[\frac{\left( y^{2} +2 ight)^{2}}{9} +7 ight]} +1=\frac{4y\left( y^{2} +2 ight)}{ln2\left[\left( y^{2} +2 ight)^{2} +63 ight]} +1
\end{array}$

Ta thấy, với $\displaystyle x\geqslant \frac{2}{3} \Longrightarrow y\geqslant 0,\ f'( y) >0\ \ \forall y >0$
⟹ Hàm số đơn điệu (đồng biến) trên khoảng xác định của nó.
⟹ Phương trình $\displaystyle f( y) =C$ có nhiều nhất 1 nghiệm.

Nhẩm nghiệm hoặc dùng máy tính bỏ túi, ta có $\displaystyle x\approx 1,65$ là nghiệm của phương trình
$\displaystyle log_{2}\left( x^{2} +7 ight) +\sqrt{3x-2} =5$

⟹ Đây là nghiệm duy nhất.

Vậy, $\displaystyle x\approx 1,65$