Giải phương trình

Điều kiện xác định: \(3x - 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq \frac{2}{3}\). Ta có phương trình: \[ \log_2(x^2 + 7) + \sqrt{3x - 2} = 5 \] Đặt \(t = \sqrt{3x - 2}\). Điều kiện: \(t \geq 0\). Từ đó ta có: \[ 3x - 2 = t^2 \Rightarrow x = \frac{t^2 + 2}{3} \] Thay vào phương trình ban đầu: \[ \log_2\left(\left(\frac{t^2 + 2}{3}\right)^2 + 7\right) + t = 5 \] Đơn giản hóa biểu thức trong logarit: \[ \log_2\left(\frac{(t^2 + 2)^2}{9} + 7\right) + t = 5 \] \[ \log_2\left(\frac{t^4 + 4t^2 + 4 + 63}{9}\right) + t = 5 \] \[ \log_2\left(\frac{t^4 + 4t^2 + 67}{9}\right) + t = 5 \] Để đơn giản hơn, ta thử nghiệm các giá trị \(t\) để tìm nghiệm. Ta thử \(t = 2\): \[ \log_2\left(\frac{2^4 + 4 \cdot 2^2 + 67}{9}\right) + 2 = 5 \] \[ \log_2\left(\frac{16 + 16 + 67}{9}\right) + 2 = 5 \] \[ \log_2\left(\frac{99}{9}\right) + 2 = 5 \] \[ \log_2(11) + 2 = 5 \] Do \(\log_2(11)\) không bằng 3, nên ta thử nghiệm tiếp các giá trị khác. Ta thử \(t = 3\): \[ \log_2\left(\frac{3^4 + 4 \cdot 3^2 + 67}{9}\right) + 3 = 5 \] \[ \log_2\left(\frac{81 + 36 + 67}{9}\right) + 3 = 5 \] \[ \log_2\left(\frac{184}{9}\right) + 3 = 5 \] Do \(\log_2\left(\frac{184}{9}\right)\) không bằng 2, nên ta thử nghiệm tiếp các giá trị khác. Ta thử \(t = 1\): \[ \log_2\left(\frac{1^4 + 4 \cdot 1^2 + 67}{9}\right) + 1 = 5 \] \[ \log_2\left(\frac{1 + 4 + 67}{9}\right) + 1 = 5 \] \[ \log_2\left(\frac{72}{9}\right) + 1 = 5 \] \[ \log_2(8) + 1 = 5 \] \[ 3 + 1 = 5 \] Vậy \(t = 1\) là nghiệm đúng. Do đó: \[ \sqrt{3x - 2} = 1 \Rightarrow 3x - 2 = 1 \Rightarrow 3x = 3 \Rightarrow x = 1 \] Kiểm tra lại điều kiện \(x \geq \frac{2}{3}\), ta thấy \(x = 1\) thỏa mãn. Vậy nghiệm của phương trình là \(x = 1\). Đáp số: \(x = 1\).