Cho đường trong (O;R), đường kính AD, có dây AB không là đường kính. Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với AB, cắt tiếp tuyến tại A của (o) ở điểm C. Trên đường tròn lấy điểm E thuộc cung lớn AB sao cho BED=30°.

a, tính BOD và BAD.
b, chứng minh CB là tiếp tuyến của (O) c, cho bán kính của (O) bằng 15cm và dây AB=24cm. Tính độ dài đoạn thẳng OC và chứng minh AD

Question

Cho đường trong (O;R), đường kính AD, có dây AB không là đường kính. Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với AB, cắt tiếp tuyến tại A của (o) ở điểm C. Trên đường tròn lấy điểm E thuộc cung lớn AB sao cho BED=30°.

a, tính BOD và BAD.
b, chứng minh CB là tiếp tuyến của (O)        c, cho bán kính của (O) bằng 15cm và dây AB=24cm. Tính độ dài đoạn thẳng OC và chứng minh AD<AB+BD<2AD.   
Giúp em vs ạ

Accepted Answer

a. Do $\displaystyle \widehat{BAO} ,\ \widehat{BED}$ là 2 góc nội tiếp đường tròn (O) đường kính AD cùng chắn cung BD
$\displaystyle \Rightarrow \widehat{BAO} =\widehat{BED} =\frac{1}{2} \ sd\ \hat{BD}$
$\displaystyle \Rightarrow \widehat{BAO} =\widehat{BED} =30^{0}$
Do $\displaystyle \widehat{BOD}$ là góc ở tâm O đường tròn (O) đường kính AD chắn cung BD nên
$\displaystyle \widehat{BOD} =sd\hat{BD}$
Ta có $\displaystyle \widehat{BED} =\frac{1}{2} \ sd\ \hat{BD} \Rightarrow sd\ \hat{BD} =2\ \widehat{BED}$
Do đó $\displaystyle \widehat{BOD} =2\ \widehat{BED} =2 imes 30^{0} =60^{0}$
b. Do A, B thuộc đường tròn (O) nên $\displaystyle OA=OB$ (bán kính đường tròn)
$\displaystyle \Rightarrow \vartriangle OAB$ cân tại O
Do $\displaystyle \vartriangle OAB$ cân tại O có OC là đường cao nên OC đồng thời là tia phân giác $\displaystyle \widehat{AOB}$
$\displaystyle \Rightarrow \widehat{AOC} =\widehat{BOC}$
Xét $\displaystyle \vartriangle AOC$ và $\displaystyle \vartriangle BOC$ có
$\displaystyle AO=BO,\ \widehat{AOC} =\widehat{BOC}$, chung cạnh OC
Suy ra $\displaystyle \vartriangle AOC\ =\ \vartriangle BOC$ (cạnh - góc - cạnh)
$\displaystyle \Rightarrow \widehat{OAC} =\widehat{OBC}$
Do AC là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A nên
$\displaystyle AC\perp OA\Rightarrow \widehat{OAC} =90^{0}$
Do đó $\displaystyle \widehat{OBC} =\widehat{OAC} =90^{0}$
Ta có $\displaystyle \widehat{OBC} =90^{0} \Rightarrow OB\perp BC$ tại B
Do $\displaystyle OB\perp BC$ tại B mà B thuộc đường tròn (O) và OB là bán kính đường tròn (O)
$\displaystyle \Rightarrow $CB là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B
c. Gọi I là giao điểm của OC và AB
Do $\displaystyle \vartriangle OAB$ cân tại O có OC là đường cao nên OC đồng thời là đường trung trực của AB và cắt AB tại I
$\displaystyle \Rightarrow AI=IB=\frac{1}{2} AB=\frac{1}{2} imes 24=12$ cm
Áp dụng định lý Pytago vào $\displaystyle \vartriangle OIA$ vuông tại I có
$\displaystyle AO^{2} =AI^{2} +IO^{2} \Rightarrow 15^{2} =12^{2} +IO^{2} \Rightarrow IO^{2} =81$
$\displaystyle \Rightarrow IO=9$cm
Áp dụng hệ thức lượng vào $\displaystyle \vartriangle ACO\ $vuộng tại A có $\displaystyle AI\perp OC$
$\displaystyle AI^{2} =IO imes IC\Rightarrow 12^{2} =9 imes IC\Rightarrow IC=16$cm
Ta có $\displaystyle OC=OI+IC=9+16=25\ $cm
Do AD là đường kính nên $\displaystyle AD=2 imes 15=30$ cm
$\displaystyle \Rightarrow 2AD=2 imes 30=60$cm
Do $\displaystyle \widehat{ABD} \ $là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O), B thuộc đường tròn (O) nên
$\displaystyle \widehat{ABD} =90^{0}$
Áp dụng định lý Pytago vào $\displaystyle \vartriangle ABD$ vuông tại B có
$\displaystyle AD^{2} =AB^{2} +BD^{2} \Rightarrow 30^{2} =24^{2} +BD^{2} \Rightarrow BD^{2} =324$
$\displaystyle \Rightarrow BD=18$cm
Ta có $\displaystyle AB+BD=24+18=42$cm
Do đó
$\displaystyle AD< AB+BD< 2AD$ (do 30cm<42cm<60cm)

Cho đường trong (O;R), đường kính AD, có dây AB không là đường kính. Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với AB, cắt tiếp tuyến tại A của (o) ở điểm C. Trên đường tròn lấy điểm E thuộc cung lớn AB sao cho B...