cho đường tròn (O,R)và điểm nằm ngoài đường tròn   sao cho OM=8/5R . Từ vẽ hai tiếp tuyến và của đường tròn (với AB   là hai tiếp điểm),  ), đường thẳng AB   cắt tại  OM tại k  . a.chứng minh klà trung...

a) Ta có \(OA \perp AM\) và \(OB \perp BM\). Do đó, \(A\) và \(B\) là các tiếp điểm của đường tròn (O) với các tiếp tuyến \(AM\) và \(BM\). Theo tính chất của tiếp tuyến, ta có \(OA = OB = R\). Xét tam giác \(OAB\), ta thấy \(OA = OB\), do đó tam giác \(OAB\) là tam giác cân tại \(O\). Đường cao hạ từ đỉnh \(O\) xuống đáy \(AB\) sẽ đồng thời là đường trung tuyến, tức là \(OK\) là đường trung tuyến của tam giác \(OAB\). Vậy \(K\) là trung điểm của \(AB\). b) Xét tam giác \(ABM\) và tam giác \(ANM\): - \(AM\) chung. - \(\angle AMB = \angle ANM = 90^\circ\) (vì \(AM\) và \(AN\) là tiếp tuyến). - \(\angle BAM = \angle NAM\) (góc giữa tiếp tuyến và dây cung). Do đó, tam giác \(ABM\) và tam giác \(ANM\) đồng dạng theo trường hợp góc - góc - góc (g-g-g). Từ đó ta có: \[ \frac{MB}{MN} = \frac{AM}{AN} \] Ta cũng có: \[ \frac{BH}{MO} = \frac{BN}{MN} \] Nhân hai tỉ lệ này lại, ta có: \[ \frac{MB}{MN} \cdot \frac{BH}{MO} = \frac{AM}{AN} \cdot \frac{BN}{MN} \] Từ đây suy ra: \[ MB \cdot BH = MN \cdot MO \] c) Ta biết \(OM = \frac{8}{5}R\). Diện tích hình quạt \(OBN\) được tính bằng công thức: \[ S_{quạt} = \frac{\theta}{360^\circ} \cdot \pi R^2 \] Trong đó \(\theta\) là góc tâm của hình quạt. Ta cần tìm góc \(\angle BON\). Vì \(K\) là trung điểm của \(AB\), ta có: \[ AK = KB = \frac{AB}{2} \] Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác \(OAK\): \[ OA^2 + AK^2 = OK^2 \] \[ R^2 + \left(\frac{AB}{2}\right)^2 = \left(\frac{8}{5}R\right)^2 \] \[ R^2 + \frac{AB^2}{4} = \frac{64}{25}R^2 \] \[ \frac{AB^2}{4} = \frac{64}{25}R^2 - R^2 \] \[ \frac{AB^2}{4} = \frac{39}{25}R^2 \] \[ AB^2 = \frac{156}{25}R^2 \] \[ AB = \frac{2\sqrt{39}}{5}R \] Vậy: \[ AK = KB = \frac{\sqrt{39}}{5}R \] Góc \(\angle BON\) là góc giữa hai bán kính \(OB\) và \(ON\). Ta có: \[ \cos(\angle BON) = \frac{OB^2 + ON^2 - BN^2}{2 \cdot OB \cdot ON} \] \[ \cos(\angle BON) = \frac{R^2 + R^2 - \left(\frac{2\sqrt{39}}{5}R\right)^2}{2 \cdot R \cdot R} \] \[ \cos(\angle BON) = \frac{2R^2 - \frac{156}{25}R^2}{2R^2} \] \[ \cos(\angle BON) = \frac{50R^2 - 156R^2}{50R^2} \] \[ \cos(\angle BON) = \frac{-106R^2}{50R^2} \] \[ \cos(\angle BON) = -\frac{53}{25} \] Do đó: \[ \angle BON = \arccos\left(-\frac{53}{25}\right) \] Diện tích hình quạt \(OBN\) là: \[ S_{quạt} = \frac{\arccos\left(-\frac{53}{25}\right)}{360^\circ} \cdot \pi R^2 \]