Giuppppppp toán

Câu 9: a) Rút gọn biểu thức \(3\sqrt{50} - 2\sqrt{75} - 4\frac{\sqrt{54}}{\sqrt{3}} - 3\sqrt{\frac{1}{3}}\): \[ 3\sqrt{50} = 3\sqrt{25 \times 2} = 3 \times 5\sqrt{2} = 15\sqrt{2} \] \[ 2\sqrt{75} = 2\sqrt{25 \times 3} = 2 \times 5\sqrt{3} = 10\sqrt{3} \] \[ 4\frac{\sqrt{54}}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{\frac{54}{3}} = 4\sqrt{18} = 4\sqrt{9 \times 2} = 4 \times 3\sqrt{2} = 12\sqrt{2} \] \[ 3\sqrt{\frac{1}{3}} = 3 \times \frac{\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3} \] Vậy biểu thức trở thành: \[ 15\sqrt{2} - 10\sqrt{3} - 12\sqrt{2} - \sqrt{3} = (15\sqrt{2} - 12\sqrt{2}) - (10\sqrt{3} + \sqrt{3}) = 3\sqrt{2} - 11\sqrt{3} \] b) Rút gọn biểu thức \(\sqrt{3 + 2\sqrt{2}} - \sqrt{6 - 4\sqrt{2}}\): \[ \sqrt{3 + 2\sqrt{2}} = \sqrt{(1 + \sqrt{2})^2} = 1 + \sqrt{2} \] \[ \sqrt{6 - 4\sqrt{2}} = \sqrt{(2 - \sqrt{2})^2} = 2 - \sqrt{2} \] Vậy biểu thức trở thành: \[ (1 + \sqrt{2}) - (2 - \sqrt{2}) = 1 + \sqrt{2} - 2 + \sqrt{2} = 2\sqrt{2} - 1 \] c) Rút gọn biểu thức \(3\sqrt{2x} - 5\sqrt{8x} + 7\sqrt{18x}\): \[ 3\sqrt{2x} = 3\sqrt{2x} \] \[ 5\sqrt{8x} = 5\sqrt{4 \times 2x} = 5 \times 2\sqrt{2x} = 10\sqrt{2x} \] \[ 7\sqrt{18x} = 7\sqrt{9 \times 2x} = 7 \times 3\sqrt{2x} = 21\sqrt{2x} \] Vậy biểu thức trở thành: \[ 3\sqrt{2x} - 10\sqrt{2x} + 21\sqrt{2x} = (3 - 10 + 21)\sqrt{2x} = 14\sqrt{2x} \] d) Rút gọn biểu thức \(P = \left(\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 3} + \frac{3x + 3}{9 - x}\right) \left(\frac{\sqrt{x} - 7}{\sqrt{x} + 1} + 1\right)\) (với \(x \geq 0, x \neq 9\)): \[ \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 3} + \frac{3x + 3}{9 - x} = \frac{2\sqrt{x}(\sqrt{x} - 3) + \sqrt{x}(\sqrt{x} + 3) + (3x + 3)}{(\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} - 3)} \] \[ = \frac{2x - 6\sqrt{x} + x + 3\sqrt{x} + 3x + 3}{x - 9} = \frac{6x - 3\sqrt{x} + 3}{x - 9} \] \[ \frac{\sqrt{x} - 7}{\sqrt{x} + 1} + 1 = \frac{\sqrt{x} - 7 + \sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 1} = \frac{2\sqrt{x} - 6}{\sqrt{x} + 1} \] Vậy biểu thức trở thành: \[ P = \left(\frac{6x - 3\sqrt{x} + 3}{x - 9}\right) \left(\frac{2\sqrt{x} - 6}{\sqrt{x} + 1}\right) \] Đáp số: a) \(3\sqrt{2} - 11\sqrt{3}\) b) \(2\sqrt{2} - 1\) c) \(14\sqrt{2x}\) d) \(P = \left(\frac{6x - 3\sqrt{x} + 3}{x - 9}\right) \left(\frac{2\sqrt{x} - 6}{\sqrt{x} + 1}\right)\) Câu 10: Câu 1: a) Giải hệ phương trình: \[ \left\{ \begin{array}{l} 3x - y = 4 \\ x + 2y = -15 \end{array} \right. \] Bước 1: Nhân phương trình thứ nhất với 2 để dễ dàng trừ phương trình thứ hai: \[ \left\{ \begin{array}{l} 6x - 2y = 8 \\ x + 2y = -15 \end{array} \right. \] Bước 2: Cộng hai phương trình: \[ (6x - 2y) + (x + 2y) = 8 + (-15) \] \[ 7x = -7 \] \[ x = -1 \] Bước 3: Thay \( x = -1 \) vào phương trình \( 3x - y = 4 \): \[ 3(-1) - y = 4 \] \[ -3 - y = 4 \] \[ y = -7 \] Kết luận: Nghiệm của hệ phương trình là \( x = -1 \) và \( y = -7 \). b) Giải phương trình: \[ 3\sqrt{2x} + 5\sqrt{8x} - 20 - \sqrt{18x} = 0 \] Bước 1: Rút gọn các căn thức: \[ 3\sqrt{2x} + 5\sqrt{4 \cdot 2x} - 20 - \sqrt{9 \cdot 2x} = 0 \] \[ 3\sqrt{2x} + 5 \cdot 2\sqrt{2x} - 20 - 3\sqrt{2x} = 0 \] \[ 3\sqrt{2x} + 10\sqrt{2x} - 3\sqrt{2x} - 20 = 0 \] \[ 10\sqrt{2x} - 20 = 0 \] Bước 2: Chia cả hai vế cho 10: \[ \sqrt{2x} - 2 = 0 \] \[ \sqrt{2x} = 2 \] Bước 3: Bình phương cả hai vế: \[ 2x = 4 \] \[ x = 2 \] Kết luận: Nghiệm của phương trình là \( x = 2 \). c) Giải bất phương trình: \[ 5x - (2x - 3) < 4(x - 2) \] Bước 1: Mở ngoặc và rút gọn: \[ 5x - 2x + 3 < 4x - 8 \] \[ 3x + 3 < 4x - 8 \] Bước 2: Chuyển các hạng tử: \[ 3x - 4x < -8 - 3 \] \[ -x < -11 \] Bước 3: Nhân cả hai vế với -1 (đảo chiều bất phương trình): \[ x > 11 \] Kết luận: Nghiệm của bất phương trình là \( x > 11 \). Câu 2: a) Chứng minh: \[ a \geq b \Rightarrow 1 - 4a \leq 1 - 4b \] Bước 1: Giả sử \( a \geq b \). Bước 2: Nhân cả hai vế với -4 (đảo chiều bất đẳng thức): \[ -4a \leq -4b \] Bước 3: Cộng 1 vào cả hai vế: \[ 1 - 4a \leq 1 - 4b \] Kết luận: Đã chứng minh \( 1 - 4a \leq 1 - 4b \). Câu 3: a) Tìm số dãy ghế ban đầu: Gọi số dãy ghế ban đầu là \( x \). Bước 1: Số ghế ban đầu là \( 10x \). Bước 2: Số ghế sau khi thêm là \( 10(x + 2) \). Bước 3: Số người ngồi mỗi dãy sau khi thêm là \( \frac{144}{10(x + 2)} \). Bước 4: Biết mỗi dãy thêm 2 người ngồi: \[ \frac{144}{10(x + 2)} = \frac{100}{10x} + 2 \] Bước 5: Giải phương trình: \[ \frac{144}{10(x + 2)} = \frac{100}{10x} + 2 \] \[ \frac{144}{10(x + 2)} = \frac{100 + 20x}{10x} \] \[ 144x = 100(x + 2) + 20x(x + 2) \] \[ 144x = 100x + 200 + 20x^2 + 40x \] \[ 20x^2 + 40x - 144x + 100x + 200 = 0 \] \[ 20x^2 - 4x + 200 = 0 \] \[ x^2 - 2x + 10 = 0 \] Kết luận: Số dãy ghế ban đầu là \( x = 10 \). b) Tính vận tốc của tàu tuần tra: Gọi vận tốc của tàu tuần tra khi nước yên lặng là \( v \) (km/h). Bước 1: Vận tốc ngược dòng là \( v - 2 \) (km/h). Bước 2: Vận tốc xuôi dòng là \( v + 2 \) (km/h). Bước 3: Thời gian ngược dòng là \( \frac{60}{v - 2} \) (giờ). Bước 4: Thời gian xuôi dòng là \( \frac{48}{v + 2} \) (giờ). Bước 5: Biết thời gian xuôi dòng ít hơn thời gian ngược dòng 1 giờ: \[ \frac{60}{v - 2} - \frac{48}{v + 2} = 1 \] Bước 6: Giải phương trình: \[ 60(v + 2) - 48(v - 2) = (v - 2)(v + 2) \] \[ 60v + 120 - 48v + 96 = v^2 - 4 \] \[ 12v + 216 = v^2 - 4 \] \[ v^2 - 12v - 220 = 0 \] Kết luận: Vận tốc của tàu tuần tra khi nước yên lặng là \( v = 22 \) (km/h). c) Tính số tiền phải gửi tiết kiệm: Gọi số tiền phải gửi tiết kiệm là \( P \) (triệu đồng). Bước 1: Lãi suất hàng tháng là 0,7%. Bước 2: Số tiền lãi hàng tháng là \( 0,007P \). Bước 3: Biết số tiền lãi hàng tháng ít nhất là 2 triệu đồng: \[ 0,007P \geq 2 \] Bước 4: Giải bất phương trình: \[ P \geq \frac{2}{0,007} \] \[ P \geq 285,71 \] Kết luận: Số tiền phải gửi tiết kiệm ít nhất là 285,71 triệu đồng. Câu 11: Câu 1: a) Chứng minh $\Delta ABC$ vuông tại C và AM là tiếp tuyến của đường tròn (B; BM) - Vì AB là đường kính của đường tròn (O), nên $\angle ACB = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). - Xét đường tròn (B; BM), ta có BM là bán kính. Để chứng minh AM là tiếp tuyến của đường tròn này, ta cần chứng minh $\angle AMB = 90^\circ$. - Vì $\angle AMB = \angle ACB = 90^\circ$, nên AM là tiếp tuyến của đường tròn (B; BM). b) Gọi Q là trung điểm của KB. Chứng minh I, K, B, M cùng thuộc đường tròn đường kính KB. - Vì Q là trung điểm của KB, nên Q là tâm của đường tròn đường kính KB. - Ta cần chứng minh I, K, B, M cùng thuộc đường tròn này. - Vì CD vuông góc với AB tại I, nên $\angle CIK = 90^\circ$. Do đó, I thuộc đường tròn đường kính KB. - Vì $\angle AMB = 90^\circ$, nên M cũng thuộc đường tròn đường kính KB. - Vậy I, K, B, M cùng thuộc đường tròn đường kính KB. c) Chứng minh AK $AM=Al.AB$ và $AC^2=AK.AM$ - Ta có $\angle AKM = \angle ABM$ (cùng chắn cung AM). - Xét $\Delta AKM$ và $\Delta ABM$, ta có: - $\angle AKM = \angle ABM$ - $\angle AMK = \angle AMB = 90^\circ$ - Nên $\Delta AKM \sim \Delta ABM$ (góc-góc). - Từ đó ta có tỉ lệ: $\frac{AK}{AM} = \frac{AM}{AB}$, suy ra $AK \cdot AM = AM \cdot AB$. - Mặt khác, ta có $\angle ACB = 90^\circ$, nên $AC^2 = AB \cdot AK$ (tính chất đường cao hạ từ đỉnh góc vuông của tam giác vuông). Câu 2: a) Chứng minh $\Delta ABC$ là tam giác vuông và tính độ dài AC theo R. - Vì AB là đường kính của đường tròn (O), nên $\angle ACB = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). - Ta có $AB = R$, nên $\Delta ABC$ là tam giác vuông cân tại C. - Độ dài AC là: $AC = \frac{AB}{\sqrt{2}} = \frac{R}{\sqrt{2}} = \frac{R\sqrt{2}}{2}$. b) Tiếp tuyến tại A của (O) cắt đường thẳng BC tại M. Trên (O) lấy điểm D sao cho $MD = MA$. Chứng minh MD là tiếp tuyến của (O). - Vì MA là tiếp tuyến của (O) tại A, nên $\angle OAM = 90^\circ$. - Ta có $MD = MA$, nên $\Delta MAD$ là tam giác cân tại M. - Vì $\angle OAM = 90^\circ$, nên $\angle DAM = 90^\circ$. - Do đó, MD là tiếp tuyến của (O) tại D. c) Vẽ đường kính AK của (O), MK cắt (O) tại E $(E \ne K)$. Gọi H là giao điểm của AD và MO. Chứng minh $ME \cdot MK = MH \cdot MO$. - Ta có $AK$ là đường kính của (O), nên $\angle AEK = 90^\circ$. - Xét $\Delta MEK$ và $\Delta MOH$, ta có: - $\angle MEK = \angle MOH$ (cùng chắn cung MK). - $\angle EKM = \angle OHM$ (góc ngoài bằng tổng hai góc trong không kề). - Nên $\Delta MEK \sim \Delta MOH$ (góc-góc). - Từ đó ta có tỉ lệ: $\frac{ME}{MK} = \frac{MH}{MO}$, suy ra $ME \cdot MO = MH \cdot MK$. Đáp số: - Câu 1: a) Chứng minh $\Delta ABC$ vuông tại C và AM là tiếp tuyến của đường tròn (B; BM). - Câu 2: a) Chứng minh $\Delta ABC$ là tam giác vuông và tính độ dài AC theo R. - Câu 2: b) Chứng minh MD là tiếp tuyến của (O). - Câu 2: c) Chứng minh $ME \cdot MK = MH \cdot MO$.