Toán lớp 10

Câu 6. Để xác định mệnh đề sai trong các mệnh đề đã cho, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một. A. \( S = \frac{1}{2} ab \sin C \) - Đây là công thức tính diện tích tam giác ABC dựa trên hai cạnh và sin của góc giữa chúng. Mệnh đề này đúng. B. \( S = \frac{1}{2} ab \sin A \) - Đây cũng là công thức tính diện tích tam giác ABC dựa trên hai cạnh và sin của góc giữa chúng. Tuy nhiên, ở đây là \( \sin A \), nên mệnh đề này sai vì nó không đúng theo công thức chuẩn. C. \( \frac{a}{a+1} = \frac{b}{c+1} = \frac{c}{c+1} = 2R \) - Mệnh đề này không liên quan đến bất kỳ công thức nào về tam giác hoặc đường tròn ngoại tiếp. Do đó, mệnh đề này sai. D. \( \frac{2}{\sqrt{10} - 4} = \frac{6}{\sqrt{20} - 2} = \frac{6}{\sqrt{20} - 6} \) - Mệnh đề này liên quan đến các phân số và căn thức, nhưng không liên quan đến tam giác hoặc đường tròn ngoại tiếp. Do đó, mệnh đề này sai. Từ các phân tích trên, chúng ta thấy rằng mệnh đề B là sai vì nó không đúng theo công thức chuẩn để tính diện tích tam giác. Vậy, đáp án là: B. \( S = \frac{1}{2} ab \sin A \) Câu 7. Trong hình bình hành ABCD, tâm O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Ta cần tìm véctơ ngược hướng với OD. Bước 1: Xác định véctơ OD. - Véctơ OD là đoạn thẳng từ O đến D. Bước 2: Tìm véctơ ngược hướng với OD. - Véctơ ngược hướng với OD sẽ là đoạn thẳng từ D đến O, tức là véctơ DO. Bước 3: Kiểm tra các đáp án: - Đáp án A: OA (đoạn thẳng từ O đến A) - Đáp án B: AO (đoạn thẳng từ A đến O) - Đáp án C: B5 (không có trong hình) - Đáp án D: DS (không có trong hình) Trong các đáp án, chỉ có AO là đoạn thẳng ngược hướng với OD. Vậy, véctơ ngược hướng với OD là AO. Đáp án đúng là: B. AO. Câu 8. Để giải bài toán này, chúng ta cần xác định số lượng các véc tơ có điểm đầu là A và điểm cuối là các đỉnh còn lại của tứ giác ABCD. Các đỉnh của tứ giác ABCD là A, B, C, và D. Điểm đầu của véc tơ là A, vậy điểm cuối của véc tơ có thể là B, C hoặc D. Do đó, các véc tơ có thể hình thành là: - Véc tơ từ A đến B: $\overrightarrow{AB}$ - Véc tơ từ A đến C: $\overrightarrow{AC}$ - Véc tơ từ A đến D: $\overrightarrow{AD}$ Như vậy, tổng cộng có 3 véc tơ có điểm đầu là A và điểm cuối là các đỉnh còn lại của tứ giác. Đáp án đúng là: B. 3 Câu 9 Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của vectơ và quy tắc cộng vectơ. Bước 1: Xác định các vectơ đã cho: - $\overrightarrow{FQ}$ - $\overrightarrow{RP}$ Bước 2: Áp dụng quy tắc cộng vectơ: $\overrightarrow{FQ} + \overrightarrow{RP}$ Bước 3: Ta cần tìm vectơ nào trong các lựa chọn A, B, C, D sao cho khi cộng với $\overrightarrow{FQ}$ và $\overrightarrow{RP}$ sẽ cho kết quả là một trong các vectơ đã cho. Ta thấy rằng: $\overrightarrow{FQ} + \overrightarrow{RP} = \overrightarrow{RQ}$ Vậy đáp án đúng là: C. $\overrightarrow{RQ}$ Lập luận: - Ta có $\overrightarrow{FQ} + \overrightarrow{RP} = \overrightarrow{RQ}$ vì khi ta dịch chuyển $\overrightarrow{RP}$ sao cho điểm R trùng với điểm Q thì ta sẽ có $\overrightarrow{RQ}$. Đáp án: C. $\overrightarrow{RQ}$ Câu 10. Trong hình bình hành MNPQ, ta có các vectơ $\overrightarrow{MN}$, $\overrightarrow{MP}$, $\overrightarrow{MQ}$ và $\overrightarrow{PN}$. Theo quy tắc hình bình hành trong đại lượng vectơ, ta có: \[ \overrightarrow{MN} + \overrightarrow{MP} = \overrightarrow{MQ} \] Tuy nhiên, ta cần kiểm tra lại các đáp án đã cho: A. $\overrightarrow{MN} + \overrightarrow{MP} = \overrightarrow{MN}$: Điều này không đúng vì theo quy tắc hình bình hành, tổng của hai vectơ từ một đỉnh sẽ tạo thành vectơ từ đỉnh đó đến đỉnh đối diện. B. $\overrightarrow{MN} + \overrightarrow{MQ} = \overrightarrow{MP}$: Điều này cũng không đúng vì $\overrightarrow{MQ}$ không phải là vectơ từ M đến P. C. $\overrightarrow{MN} + \overrightarrow{MP} = \overrightarrow{PN}$: Điều này không đúng vì $\overrightarrow{PN}$ không phải là vectơ từ M đến Q. D. $\overrightarrow{MN} + \overrightarrow{MP} = \overrightarrow{MP}$: Điều này không đúng vì $\overrightarrow{MP}$ không phải là tổng của $\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{MP}$. Do đó, đáp án đúng là: \[ \overrightarrow{MN} + \overrightarrow{MP} = \overrightarrow{MQ} \] Nhưng trong các lựa chọn đã cho, không có đáp án đúng. Vì vậy, câu hỏi này có thể có lỗi hoặc thiếu thông tin. Câu 11 Trước tiên, ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một để xác định mệnh đề nào là mệnh đề sai. A. $\overrightarrow{MN} - \overrightarrow{MP} = \overrightarrow{PN}$ - Ta có $\overrightarrow{MN} - \overrightarrow{MP} = \overrightarrow{PN}$ vì theo quy tắc trừ vectơ, $\overrightarrow{MN} - \overrightarrow{MP} = \overrightarrow{PN}$ đúng. B. $\overrightarrow{QN} - \overrightarrow{QM} = \overrightarrow{MN}$ - Ta có $\overrightarrow{QN} - \overrightarrow{QM} = \overrightarrow{MN}$ vì theo quy tắc trừ vectơ, $\overrightarrow{QN} - \overrightarrow{QM} = \overrightarrow{MN}$ đúng. C. $\overrightarrow{ON} - \overrightarrow{OQ} = \overrightarrow{ON}$ - Ta có $\overrightarrow{ON} - \overrightarrow{OQ} = \overrightarrow{QN}$, không phải là $\overrightarrow{ON}$. Do đó, mệnh đề này sai. D. $\overrightarrow{IM} - \overrightarrow{IP} = \overrightarrow{MP}$ - Ta có $\overrightarrow{IM} - \overrightarrow{IP} = \overrightarrow{PM}$, nhưng vì tâm I của hình bình hành MNPQ, nên $\overrightarrow{IM} = -\overrightarrow{IP}$, do đó $\overrightarrow{IM} - \overrightarrow{IP} = \overrightarrow{MP}$ đúng. Như vậy, mệnh đề sai là: C. $\overrightarrow{ON} - \overrightarrow{OQ} = \overrightarrow{ON}$ Đáp án: C. Câu 12. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, vectơ $\overrightarrow{a}$ được cho dưới dạng $a = 2\overline{i} - 4\overline{j}$. Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{a}$ sẽ là $(2, -4)$ vì: - Phần thành phần theo hướng $\overline{i}$ là 2. - Phần thành phần theo hướng $\overline{j}$ là -4. Do đó, tọa độ của vectơ $\overrightarrow{a}$ là $(2, -4)$. Đáp án đúng là: C. $\overrightarrow{a} = (2, -4)$. Câu 13. Để tìm tọa độ của véc tơ $\overrightarrow{AB}$, ta thực hiện phép trừ tọa độ của điểm $B$ từ tọa độ của điểm $A$. Tọa độ của điểm $A$ là $(2; -3)$. Tọa độ của điểm $B$ là $(1; -2)$. Ta có: \[ \overrightarrow{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A) \] Thay tọa độ của các điểm vào công thức trên: \[ \overrightarrow{AB} = (1 - 2, -2 - (-3)) = (1 - 2, -2 + 3) = (-1, 1) \] Vậy tọa độ của véc tơ $\overrightarrow{AB}$ là $(-1, 1)$. Đáp án đúng là: A. $(-1, 1)$. Câu 14. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một. A. $\overrightarrow{B} \cdot \overrightarrow{B} = [\overrightarrow{B} \cdot \overrightarrow{B}] \cos(\overrightarrow{B}, \overrightarrow{B})$ - Ta biết rằng $\cos(\overrightarrow{B}, \overrightarrow{B}) = \cos(0) = 1$. Do đó: \[ \overrightarrow{B} \cdot \overrightarrow{B} = |\overrightarrow{B}|^2 \] \[ [\overrightarrow{B} \cdot \overrightarrow{B}] \cos(\overrightarrow{B}, \overrightarrow{B}) = |\overrightarrow{B}|^2 \cdot 1 = |\overrightarrow{B}|^2 \] Như vậy, mệnh đề A đúng. B. $\overrightarrow{B} = [\overrightarrow{B} \cdot \overrightarrow{B}] \cos(\overrightarrow{B}, \overrightarrow{B})$ - Ta đã biết $\overrightarrow{B} \cdot \overrightarrow{B} = |\overrightarrow{B}|^2$ và $\cos(\overrightarrow{B}, \overrightarrow{B}) = 1$. Do đó: \[ [\overrightarrow{B} \cdot \overrightarrow{B}] \cos(\overrightarrow{B}, \overrightarrow{B}) = |\overrightarrow{B}|^2 \cdot 1 = |\overrightarrow{B}|^2 \] Tuy nhiên, $\overrightarrow{B}$ là một vectơ, trong khi $|\overrightarrow{B}|^2$ là một số thực. Như vậy, mệnh đề B sai. C. $\overrightarrow{z} \cdot \overrightarrow{b} = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow{z} \perp \overrightarrow{b}$ - Đây là định nghĩa của hai vectơ vuông góc với nhau. Nếu tích vô hướng của hai vectơ bằng 0 thì hai vectơ đó vuông góc với nhau và ngược lại. Như vậy, mệnh đề C đúng. D. $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 0 \Rightarrow (\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}) = 90^\circ$ - Nếu tích vô hướng của hai vectơ bằng 0 thì góc giữa hai vectơ đó là 90°. Như vậy, mệnh đề D đúng. Kết luận: Mệnh đề sai là B. Câu 15. Để tính mốt \( M_0 \) của dữ liệu, chúng ta cần xác định giá trị xuất hiện nhiều nhất trong tập dữ liệu. Bảng tiền thưởng và số lượng cán bộ/nhân viên: - Tiền thưởng 4 triệu đồng: 5 người - Tiền thưởng 5 triệu đồng: 12 người - Tiền thưởng 6 triệu đồng: 7 người - Tiền thưởng 7 triệu đồng: 6 người - Tiền thưởng 8 triệu đồng: 4 người Trong bảng trên, giá trị tiền thưởng xuất hiện nhiều nhất là 5 triệu đồng, với 12 người nhận mức thưởng này. Do đó, mốt \( M_0 \) của dữ liệu là 5 triệu đồng. Đáp số: \( M_0 = 5 \) triệu đồng.