Giải chi tiết

Bài 1 1. Để $$, ta cần hàm số $$ có dạng đồ thị là parabol hướng lên và không cắt trục hoành hoặc chỉ tiếp xúc với trục hoành tại một điểm. Hàm số $$ có dạng parabol hướng lên vì hệ số của $$ là dương. Để hàm số không cắt trục hoành hoặc chỉ tiếp xúc với trục hoành tại một điểm, ta cần $$. Ta tính $$: $$ Để $$, ta có: $$ Vậy $$ để $$. 2. Để $$ đồng biến trên khoảng $$, ta cần đạo hàm của $$ lớn hơn hoặc bằng 0 trên khoảng này. Ta tính đạo hàm của $$: $$ Để $$ đồng biến trên khoảng $$, ta cần $$ trên khoảng này. Ta xét $$ trên khoảng $$: $$ Để $$ trên khoảng $$, ta cần: $$ Ta xét hai đầu mút của khoảng: - Tại $$: $$. - Tại $$: $$. Vì $$ là điều kiện chặt chẽ hơn, nên ta chọn $$. Vậy $$ để $$ đồng biến trên khoảng $$. Đáp số: 1. $$. 2. $$. Bài 2 1. Điều kiện: $$ và $$, suy ra $$. Ta bình phương hai vế: $$ Vậy $$ hoặc $$. Kiểm tra lại điều kiện, ta thấy $$ không thỏa mãn, do đó nghiệm duy nhất là $$. 2. Điều kiện: $$ (luôn đúng). Ta đặt $$, suy ra $$. Phương trình trở thành: $$ Sắp xếp lại ta có: $$ Thử nghiệm các giá trị khả dĩ, ta thấy $$ là nghiệm của phương trình này. Do đó: $$ Vậy nghiệm của phương trình là $$ hoặc $$. Bài 3 Chúng ta sẽ chứng minh bài toán này bằng phương pháp quy nạp toán học. Bước 1: Kiểm tra trường hợp cơ sở Xét $$: $$ $$ Vậy, công thức đúng khi $$. Bước 2: Giả thiết quy nạp Giả sử công thức đúng cho $$, tức là: $$ Bước 3: Chứng minh cho trường hợp $$ Ta cần chứng minh: $$ Theo giả thiết quy nạp, ta có: $$ Do đó: $$ Ta cần chứng minh rằng: $$ Tính toán bên trái: $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ Vậy, ta đã chứng minh được: $$ Kết luận: Theo phương pháp quy nạp toán học, ta đã chứng minh được rằng: $$ Bài 4 1. Viết phương trình đường tròn tâm A và tiếp xúc với đường thẳng $$. Tìm tọa độ tiếp điểm. Đầu tiên, ta tính khoảng cách từ điểm $$ đến đường thẳng $$ để tìm bán kính của đường tròn. Khoảng cách từ điểm $$ đến đường thẳng $$ được tính bằng công thức: $$ Áp dụng công thức này: $$ Vậy bán kính của đường tròn là 2. Phương trình đường tròn tâm $$ và bán kính 2 là: $$ Tiếp theo, ta tìm tọa độ tiếp điểm của đường tròn với đường thẳng $$. Đường thẳng đi qua tâm $$ và vuông góc với $$ sẽ đi qua tiếp điểm. Đường thẳng $$ có dạng $$, nên đường thẳng vuông góc với nó sẽ có dạng $$. Vì đường thẳng này đi qua tâm $$, ta thay tọa độ của $$ vào phương trình này để tìm $$: $$ $$ $$ Vậy phương trình đường thẳng đi qua tâm $$ và vuông góc với $$ là: $$ Tiếp theo, ta giải hệ phương trình: $$ Nhân phương trình thứ nhất với 4 và nhân phương trình thứ hai với 3: $$ Trừ phương trình thứ hai từ phương trình thứ nhất: $$ $$ Thay $$ vào phương trình $$: $$ $$ $$ $$ $$ $$ Vậy tọa độ tiếp điểm là $$. 2. Viết phương trình đường thẳng $$ đi qua $$ và tạo với $$ một góc $$. Ta biết rằng góc giữa hai đường thẳng $$ và $$ là: $$ Đường thẳng $$ có dạng $$, tức là $$. Vậy $$. Giả sử đường thẳng $$ có phương trình $$. Ta có: $$ Tính hai trường hợp: $$ Xét trường hợp đầu tiên: $$ $$ $$ $$ $$ Xét trường hợp thứ hai: $$ $$ $$ $$ $$ $$ Vậy phương trình đường thẳng $$ là: $$ Bài 5 Ta sẽ tìm tập hợp điểm M sao cho $$. Bước 1: Xác định trọng tâm G của tam giác ABC. - Trọng tâm G của tam giác ABC là điểm chia mỗi đường trung tuyến thành tỉ số 2:1, tính từ đỉnh đến trung điểm của cạnh đối diện. Bước 2: Biểu diễn $$ thông qua trọng tâm G. - Ta biết rằng $$ (vì G là trọng tâm). - Do đó, ta có thể viết: $$ $$ Vì $$, nên: $$ Vậy: $$ Bước 3: Xác định điều kiện để $$. - Ta có: $$ - Để $$, ta cần tìm tập hợp các điểm M sao cho: $$ Bước 4: Xác định tập hợp điểm M. - Ta thấy rằng $$ là một điều kiện về khoảng cách từ M đến G và C. - Điều này tương đương với việc M nằm trên một đường tròn có bán kính 2024 và tâm là điểm G. Kết luận: Tập hợp điểm M sao cho $$ là một đường tròn có tâm là trọng tâm G của tam giác ABC và bán kính là 2024. Bài 6 Để chứng minh rằng $$ với điều kiện $$, ta sẽ sử dụng phương pháp biến đổi và bất đẳng thức Cauchy-Schwarz. Bước 1: Biến đổi biểu thức ban đầu Ta có: $$ Bước 2: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có: $$ Áp dụng vào bài toán này, ta chọn: $$ Khi đó: $$ Bước 3: Tính toán Ta có: $$ Vì $$, ta có: $$ Do đó: $$ Bước 4: Kết luận Ta cần chứng minh: $$ Tính toán: $$ Vì $$, ta có: $$ Như vậy: $$ Do đó: $$ Vậy ta đã chứng minh được điều cần chứng minh.