Toán lớp 10

Câu 16. Để tìm số trung vị của dãy số liệu thống kê, ta thực hiện các bước sau: 1. Sắp xếp dãy số theo thứ tự tăng dần: 2; 3; 5; 7; 9; 10 2. Xác định số lượng các số trong dãy: Dãy số có 6 số. 3. Tìm số trung vị: - Vì dãy số có số lượng chẵn (6 số), nên số trung vị sẽ là trung bình cộng của hai số ở giữa. - Hai số ở giữa là 5 và 7. 4. Tính trung bình cộng của hai số ở giữa: \[ \text{Số trung vị} = \frac{5 + 7}{2} = \frac{12}{2} = 6 \] Vậy số trung vị của dãy số liệu thống kê trên là 6. Đáp án đúng là: A. 6. Câu 17. Để tìm giá trị tứ phân vị thứ 3 (Q3) của mẫu số liệu 1; 3; 5; 6; 7; 8; 9, chúng ta thực hiện các bước sau: 1. Sắp xếp dữ liệu: Mẫu số liệu đã được sắp xếp theo thứ tự tăng dần: 1; 3; 5; 6; 7; 8; 9. 2. Tìm vị trí của Q3: - Số lượng dữ liệu là 7. - Vị trí của Q3 được tính bằng công thức: \( \frac{3(n+1)}{4} \), trong đó n là số lượng dữ liệu. - Thay n = 7 vào công thức: \( \frac{3(7+1)}{4} = \frac{3 \times 8}{4} = 6 \). 3. Xác định giá trị tại vị trí này: - Vị trí thứ 6 trong dãy số là 8. Do đó, giá trị tứ phân vị thứ 3 (Q3) là 8. Đáp án đúng là: D. 8. Câu18. Để tìm khoảng biến thiên của mẫu số liệu, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong dãy số điểm kiểm tra giữa kỳ 2 của học sinh lớp 10. - Các điểm kiểm tra là: 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10. - Giá trị lớn nhất là 10. - Giá trị nhỏ nhất là 3. 2. Tính khoảng biến thiên bằng cách lấy giá trị lớn nhất trừ đi giá trị nhỏ nhất. - Khoảng biến thiên = Giá trị lớn nhất - Giá trị nhỏ nhất - Khoảng biến thiên = 10 - 3 = 7 Vậy khoảng biến thiên của mẫu số liệu là 7. Đáp án đúng là: A. 7. Câu 19. Để tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu thống kê 2, 4, 5, 7, 8, 9, 10, chúng ta thực hiện các bước sau: 1. Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự tăng dần: Mẫu số liệu đã được sắp xếp đúng là: 2, 4, 5, 7, 8, 9, 10. 2. Tìm các giá trị Q1 (tứ phân vị thứ nhất) và Q3 (tứ phân vị thứ ba): - Số lượng dữ liệu là 7, do đó ta chia mẫu số liệu thành 4 phần bằng nhau. - Q1 nằm ở vị trí $\frac{1}{4} \times 7 = 1.75$, ta làm tròn lên đến gần nhất là 2. Vậy Q1 là giá trị ở vị trí thứ 2, tức là 4. - Q3 nằm ở vị trí $\frac{3}{4} \times 7 = 5.25$, ta làm tròn lên đến gần nhất là 6. Vậy Q3 là giá trị ở vị trí thứ 6, tức là 9. 3. Tính khoảng tứ phân vị: Khoảng tứ phân vị = Q3 - Q1 = 9 - 4 = 5. Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu trên là 5. Đáp án đúng là: B. 5. Câu 20. Để chọn đáp án sai, chúng ta sẽ kiểm tra từng phát biểu một. A. Độ lệch chuẩn là căn bậc hai của phương sai. - Phát biểu này đúng vì độ lệch chuẩn được tính bằng cách lấy căn bậc hai của phương sai. B. Phương sai bằng bình phương của độ lệch chuẩn. - Phát biểu này cũng đúng vì phương sai là bình phương của độ lệch chuẩn. C. Độ lệch chuẩn là một nửa của phương sai. - Phát biểu này sai vì độ lệch chuẩn không phải là một nửa của phương sai, mà là căn bậc hai của phương sai. D. Phương sai là số không âm. - Phát biểu này đúng vì phương sai luôn là số không âm hoặc số dương. Vậy đáp án sai là: C. Độ lệch chuẩn là một nửa của phương sai. Câu 1. Trước tiên, ta cần hiểu rõ về các vectơ trong tam giác ABC, đặc biệt là khi D là trung điểm của AC. a) $\overrightarrow{AC}$ cùng hướng với $\overrightarrow{DA}$: - $\overrightarrow{AC}$ là vectơ từ A đến C. - $\overrightarrow{DA}$ là vectơ từ D đến A. - Vì D là trung điểm của AC, nên $\overrightarrow{DA}$ ngược hướng với $\overrightarrow{AC}$. Do đó, $\overrightarrow{AC}$ không cùng hướng với $\overrightarrow{DA}$. b) $|\overrightarrow{AC}| = 2|\overrightarrow{AD}|$: - Vì D là trung điểm của AC, nên đoạn thẳng AD bằng một nửa đoạn thẳng AC. - Do đó, $|\overrightarrow{AC}| = 2|\overrightarrow{AD}|$ là đúng. c) $\overrightarrow{AC} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$: - Như đã nói ở trên, $\overrightarrow{AD}$ ngược hướng với $\overrightarrow{AC}$ và có độ dài bằng một nửa của $\overrightarrow{AC}$. - Do đó, $\overrightarrow{AC} = -2\overrightarrow{AD}$, không phải $\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$. d) $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BA} + 2\overrightarrow{AD}$: - Ta có thể viết $\overrightarrow{BC}$ dưới dạng tổng của các vectơ khác nhau. - $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC}$. - Vì D là trung điểm của AC, nên $\overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AD}$. - Do đó, $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BA} + 2\overrightarrow{AD}$ là đúng. Tóm lại, các lựa chọn đúng là: - b) $|\overrightarrow{AC}| = 2|\overrightarrow{AD}|$ - d) $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BA} + 2\overrightarrow{AD}$ Đáp án: b) và d). Câu 2: a) Tích vô hướng $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$ bằng: \[ \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = 2 \cdot 3 + 1 \cdot (-5) = 6 - 5 = 1 \] b) Độ dài $|\overrightarrow{u}|$ và $|\overrightarrow{v}|$: \[ |\overrightarrow{u}| = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \] \[ |\overrightarrow{v}| = \sqrt{3^2 + (-5)^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34} \] c) $\cos(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})$: \[ \cos(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}) = \frac{\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{u}| \cdot |\overrightarrow{v}|} = \frac{1}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{34}} = \frac{1}{\sqrt{170}} \] \[ \cos(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}) \approx 0.078 \] d) Góc $(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})$: \[ (\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}) = \arccos(0.078) \] Sử dụng bảng lượng giác hoặc máy tính để tìm giá trị của góc: \[ (\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}) \approx 85^\circ 59' \] Đáp số: a) Tích vô hướng $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$ bằng: 1 b) Độ dài $|\overrightarrow{u}| = \sqrt{5}$; $|\overrightarrow{v}| = \sqrt{34}$ c) $\cos(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}) \approx 0.078$ d) $(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}) \approx 85^\circ 59'$ Câu 3: a) Số lượng mẫu số liệu (n) là 7. b) Tính số trung bình cộng của mẫu số liệu: \[ \text{Trung bình cộng} = \frac{2 + 3 + 4 + 5 + 7 + 9 + 15}{7} = \frac{45}{7} \approx 6,43 \] c) Tính phương sai của mẫu số liệu: Phương sai được tính theo công thức: \[ s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n} \] Trong đó, \( \bar{x} \) là trung bình cộng của mẫu số liệu. Tính các giá trị \( (x_i - \bar{x})^2 \): \[ (2 - 6,43)^2 \approx 19,62 \] \[ (3 - 6,43)^2 \approx 11,76 \] \[ (4 - 6,43)^2 \approx 5,88 \] \[ (5 - 6,43)^2 \approx 1,84 \] \[ (7 - 6,43)^2 \approx 0,32 \] \[ (9 - 6,43)^2 \approx 6,76 \] \[ (15 - 6,43)^2 \approx 73,96 \] Tổng các giá trị này: \[ 19,62 + 11,76 + 5,88 + 1,84 + 0,32 + 6,76 + 73,96 = 119,14 \] Phương sai: \[ s^2 = \frac{119,14}{7} \approx 17,02 \] d) Tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu: Độ lệch chuẩn là căn bậc hai của phương sai: \[ s = \sqrt{s^2} = \sqrt{17,02} \approx 4,12 \] Kết luận: a) Số lượng mẫu số liệu (n) là 7. b) Số trung bình cộng của mẫu số liệu là khoảng 6,43. c) Phương sai của mẫu số liệu là khoảng 17,02. d) Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là khoảng 4,12. Câu 5. Để tính diện tích hình chữ nhật, ta sử dụng công thức diện tích hình chữ nhật là \( S = a \times b \). Trước tiên, ta cần biết chiều dài \( a \) và chiều rộng \( b \): - Chiều dài \( a = 14 \text{ cm} + 0,1 \text{ cm} = 14,1 \text{ cm} \) - Chiều rộng \( b = 11 \text{ cm} + 10,1 \text{ cm} = 21,1 \text{ cm} \) Bây giờ, ta tính diện tích: \[ S = a \times b = 14,1 \text{ cm} \times 21,1 \text{ cm} \] Ta thực hiện phép nhân: \[ 14,1 \times 21,1 = 14,1 \times (20 + 1,1) = 14,1 \times 20 + 14,1 \times 1,1 \] \[ = 282 + 15,51 = 297,51 \text{ cm}^2 \] Vậy diện tích hình chữ nhật là: \[ \boxed{297,51 \text{ cm}^2} \] Câu 6. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một. Bước 1: Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn \(2\overrightarrow{AM} = 3\overrightarrow{AB}\) - Tọa độ của điểm \(A\) là \((1, 2)\) - Tọa độ của điểm \(B\) là \((4, 3)\) Tính vectơ \(\overrightarrow{AB}\): \[ \overrightarrow{AB} = (4 - 1, 3 - 2) = (3, 1) \] Giả sử tọa độ của điểm \(M\) là \((x, y)\). Tính vectơ \(\overrightarrow{AM}\): \[ \overrightarrow{AM} = (x - 1, y - 2) \] Theo đề bài, ta có: \[ 2\overrightarrow{AM} = 3\overrightarrow{AB} \] Thay các giá trị vào: \[ 2(x - 1, y - 2) = 3(3, 1) \] Phân tích từng thành phần: \[ 2(x - 1) = 9 \quad \text{và} \quad 2(y - 2) = 3 \] Giải các phương trình này: \[ 2(x - 1) = 9 \implies x - 1 = \frac{9}{2} \implies x = \frac{9}{2} + 1 = \frac{11}{2} \] \[ 2(y - 2) = 3 \implies y - 2 = \frac{3}{2} \implies y = \frac{3}{2} + 2 = \frac{7}{2} \] Vậy tọa độ của điểm \(M\) là: \[ M\left(\frac{11}{2}, \frac{7}{2}\right) \] Bước 2: Lập luận về kế hoạch đầu tư của bác Minh Bác Minh có kế hoạch đầu tư không quá 240 triệu đồng vào hai khoản X và Y. Để đạt được lợi nhuận, khoản Y phải đầu tư ít nhất 40 triệu đồng và số tiền đầu tư cho khoản X phải ít nhất gấp ba lần số tiền cho khoản Y. Gọi số tiền đầu tư vào khoản X là \(x\) (triệu đồng) và số tiền đầu tư vào khoản Y là \(y\) (triệu đồng). Ta có các điều kiện: 1. Tổng số tiền đầu tư không quá 240 triệu đồng: \[ x + y \leq 240 \] 2. Số tiền đầu tư vào khoản Y ít nhất 40 triệu đồng: \[ y \geq 40 \] 3. Số tiền đầu tư cho khoản X ít nhất gấp ba lần số tiền cho khoản Y: \[ x \geq 3y \] Kết luận Tọa độ của điểm \(M\) là: \[ M\left(\frac{11}{2}, \frac{7}{2}\right) \] Điều kiện đầu tư của bác Minh: 1. \(x + y \leq 240\) 2. \(y \geq 40\) 3. \(x \geq 3y\) Câu 7. Trước tiên, ta sẽ xác định các vectơ liên quan trong hình bình hành ABCD. 1. Ta biết rằng trong hình bình hành, $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ và $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$. 2. Xác định $\overrightarrow{BE}$: \[ \overrightarrow{BE} = \frac{1}{3} \overrightarrow{BC} \] Do đó: \[ \overrightarrow{CE} = \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BE} = -\overrightarrow{BC} + \frac{1}{3} \overrightarrow{BC} = -\frac{2}{3} \overrightarrow{BC} \] 3. Xác định $\overrightarrow{BF}$: \[ \overrightarrow{BF} = \frac{1}{4} \overrightarrow{BD} \] Do đó: \[ \overrightarrow{FD} = \overrightarrow{FB} + \overrightarrow{BD} = -\overrightarrow{BF} + \overrightarrow{BD} = -\frac{1}{4} \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{BD} = \frac{3}{4} \overrightarrow{BD} \] 4. Xác định $\overrightarrow{AE}$: \[ \overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BE} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{3} \overrightarrow{BC} \] Vì $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ và $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}$, ta có: \[ \overrightarrow{AE} = \overrightarrow{DC} + \frac{1}{3} \overrightarrow{AD} \] 5. Xác định $\overrightarrow{AF}$: \[ \overrightarrow{AF} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BF} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{4} \overrightarrow{BD} \] Vì $\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD} = -\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$, ta có: \[ \overrightarrow{AF} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{4} (-\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}) = \overrightarrow{AB} - \frac{1}{4} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{4} \overrightarrow{AD} = \frac{3}{4} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{4} \overrightarrow{AD} \] 6. Tìm $k$ sao cho $\overrightarrow{AE} = k \overrightarrow{AF}$: \[ \overrightarrow{AE} = \overrightarrow{DC} + \frac{1}{3} \overrightarrow{AD} \] \[ \overrightarrow{AF} = \frac{3}{4} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{4} \overrightarrow{AD} \] Vì $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$, ta có: \[ \overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{3} \overrightarrow{AD} \] \[ \overrightarrow{AF} = \frac{3}{4} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{4} \overrightarrow{AD} \] Để $\overrightarrow{AE} = k \overrightarrow{AF}$, ta cần: \[ \overrightarrow{AB} + \frac{1}{3} \overrightarrow{AD} = k \left( \frac{3}{4} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{4} \overrightarrow{AD} \right) \] So sánh các thành phần: \[ \overrightarrow{AB} = k \cdot \frac{3}{4} \overrightarrow{AB} \] \[ \frac{1}{3} \overrightarrow{AD} = k \cdot \frac{1}{4} \overrightarrow{AD} \] Từ đó suy ra: \[ 1 = k \cdot \frac{3}{4} \quad \Rightarrow \quad k = \frac{4}{3} \] \[ \frac{1}{3} = k \cdot \frac{1}{4} \quad \Rightarrow \quad k = \frac{4}{3} \] Vậy $k = \frac{4}{3}$. Đáp số: $k = \frac{4}{3}$.