*TÌm các số nguyên dương a,b,c,k thoả mãn: a+b+c=3k+1; ab+bc+ca=3k^2+2k

Để tìm các số nguyên dương \(a, b, c, k\) thỏa mãn: \[ a + b + c = 3k + 1 \] \[ ab + bc + ca = 3k^2 + 2k \] Chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm \(a, b, c\) theo \(k\): Ta có: \[ a + b + c = 3k + 1 \] \[ ab + bc + ca = 3k^2 + 2k \] 2. Kiểm tra các trường hợp nhỏ: Giả sử \(a = b = c\), ta có: \[ 3a = 3k + 1 \] \[ a = k + \frac{1}{3} \] Điều này không thể xảy ra vì \(a\) phải là số nguyên dương. 3. Giả sử \(a = 1\): Thay \(a = 1\) vào các phương trình: \[ 1 + b + c = 3k + 1 \] \[ b + c = 3k \] \[ 1 \cdot b + b \cdot c + c \cdot 1 = 3k^2 + 2k \] \[ b + c + bc = 3k^2 + 2k \] Thay \(b + c = 3k\) vào: \[ 3k + bc = 3k^2 + 2k \] \[ bc = 3k^2 - k \] 4. Giải phương trình \(b + c = 3k\) và \(bc = 3k^2 - k\): Xét phương trình bậc hai: \[ t^2 - (3k)t + (3k^2 - k) = 0 \] Ta có: \[ t = \frac{3k \pm \sqrt{(3k)^2 - 4(3k^2 - k)}}{2} \] \[ t = \frac{3k \pm \sqrt{9k^2 - 12k^2 + 4k}}{2} \] \[ t = \frac{3k \pm \sqrt{-3k^2 + 4k}}{2} \] Để \(t\) là số nguyên, \(-3k^2 + 4k\) phải là số chính phương. Ta thử các giá trị \(k\) nhỏ: - \(k = 1\): \[ -3(1)^2 + 4(1) = 1 \] (là số chính phương) \[ t = \frac{3 \pm 1}{2} \] \[ t = 2 \text{ hoặc } t = 1 \] Vậy \(b = 2, c = 1\) hoặc \(b = 1, c = 2\). 5. Kết luận: Các số nguyên dương \(a, b, c, k\) thỏa mãn là: \[ a = 1, b = 2, c = 1, k = 1 \] hoặc \[ a = 1, b = 1, c = 2, k = 1 \] Đáp số: \(a = 1, b = 2, c = 1, k = 1\) hoặc \(a = 1, b = 1, c = 2, k = 1\).