giúp e vs!!!

Câu 1 Để rút gọn biểu thức $\sqrt{(3-\sqrt5)^2}+\frac{5+\sqrt5}{\sqrt5}+\frac{2-\sqrt2}{1-\sqrt2}$, chúng ta sẽ thực hiện từng bước như sau: 1. Rút gọn $\sqrt{(3-\sqrt5)^2}$: \[ \sqrt{(3-\sqrt5)^2} = |3-\sqrt5| \] Vì $3 > \sqrt5$, nên $|3-\sqrt5| = 3-\sqrt5$. 2. Rút gọn $\frac{5+\sqrt5}{\sqrt5}$: \[ \frac{5+\sqrt5}{\sqrt5} = \frac{5}{\sqrt5} + \frac{\sqrt5}{\sqrt5} = \sqrt5 + 1 \] 3. Rút gọn $\frac{2-\sqrt2}{1-\sqrt2}$: Nhân tử ở tử và mẫu với $1+\sqrt2$ để có: \[ \frac{2-\sqrt2}{1-\sqrt2} \cdot \frac{1+\sqrt2}{1+\sqrt2} = \frac{(2-\sqrt2)(1+\sqrt2)}{(1-\sqrt2)(1+\sqrt2)} \] Mẫu số là: \[ (1-\sqrt2)(1+\sqrt2) = 1^2 - (\sqrt2)^2 = 1 - 2 = -1 \] Tử số là: \[ (2-\sqrt2)(1+\sqrt2) = 2 + 2\sqrt2 - \sqrt2 - 2 = \sqrt2 \] Vậy: \[ \frac{2-\sqrt2}{1-\sqrt2} = \frac{\sqrt2}{-1} = -\sqrt2 \] 4. Kết hợp tất cả các phần đã rút gọn lại: \[ \sqrt{(3-\sqrt5)^2} + \frac{5+\sqrt5}{\sqrt5} + \frac{2-\sqrt2}{1-\sqrt2} = (3-\sqrt5) + (\sqrt5 + 1) + (-\sqrt2) \] \[ = 3 - \sqrt5 + \sqrt5 + 1 - \sqrt2 \] \[ = 4 - \sqrt2 \] Vậy biểu thức đã rút gọn là: \[ 4 - \sqrt2 \] Câu 2 Để giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}l3x-2y=4\\2x+y=5\end{array}\right.$, ta sẽ sử dụng phương pháp cộng đại số. Bước 1: Nhân phương trình thứ hai với 2 để dễ dàng cộng trừ: \[ \left\{ \begin{array}{l} 3x - 2y = 4 \\ 4x + 2y = 10 \end{array} \right. \] Bước 2: Cộng hai phương trình lại với nhau để loại bỏ biến \( y \): \[ (3x - 2y) + (4x + 2y) = 4 + 10 \\ 3x + 4x = 14 \\ 7x = 14 \\ x = 2 \] Bước 3: Thay giá trị \( x = 2 \) vào phương trình thứ hai để tìm \( y \): \[ 2x + y = 5 \\ 2(2) + y = 5 \\ 4 + y = 5 \\ y = 1 \] Vậy nghiệm của hệ phương trình là \( x = 2 \) và \( y = 1 \). Đáp số: \( x = 2 \), \( y = 1 \). Câu 3 Để giải bất phương trình $\frac{2x-3}{2} < \frac{1-3x}{-5}$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Quy đồng mẫu số: Ta quy đồng mẫu số của hai phân thức để dễ dàng so sánh: \[ \frac{2x-3}{2} < \frac{1-3x}{-5} \] Nhân cả hai vế với 10 (mẫu số chung của 2 và 5): \[ 10 \cdot \frac{2x-3}{2} < 10 \cdot \frac{1-3x}{-5} \] \[ 5(2x-3) < -2(1-3x) \] 2. Bỏ mẫu số: \[ 5(2x-3) < -2(1-3x) \] \[ 10x - 15 < -2 + 6x \] 3. Chuyển các hạng tử: Chuyển các hạng tử liên quan đến \(x\) sang một vế và các hằng số sang vế còn lại: \[ 10x - 6x < -2 + 15 \] \[ 4x < 13 \] 4. Chia cả hai vế cho 4: \[ x < \frac{13}{4} \] Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là: \[ x < \frac{13}{4} \] Đáp số: \(x < \frac{13}{4}\). Câu 4 Để giải phương trình $(x-2)(3x+5)=x^2-4x+4$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Mở ngoặc và sắp xếp các hạng tử: \[ (x-2)(3x+5) = x^2 - 4x + 4 \] \[ x(3x + 5) - 2(3x + 5) = x^2 - 4x + 4 \] \[ 3x^2 + 5x - 6x - 10 = x^2 - 4x + 4 \] \[ 3x^2 - x - 10 = x^2 - 4x + 4 \] Bước 2: Chuyển tất cả các hạng tử sang một vế để tạo thành phương trình bậc hai: \[ 3x^2 - x - 10 - x^2 + 4x - 4 = 0 \] \[ 2x^2 + 3x - 14 = 0 \] Bước 3: Giải phương trình bậc hai \(2x^2 + 3x - 14 = 0\) bằng công thức nghiệm: \[ a = 2, \quad b = 3, \quad c = -14 \] \[ \Delta = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-14) = 9 + 112 = 121 \] \[ \sqrt{\Delta} = \sqrt{121} = 11 \] \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-3 + 11}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2 \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-3 - 11}{2 \cdot 2} = \frac{-14}{4} = -\frac{7}{2} \] Vậy phương trình có hai nghiệm là: \[ x = 2 \quad \text{hoặc} \quad x = -\frac{7}{2} \] Câu 5 Gọi vận tốc dự định của ô tô là $v$ (km/h, điều kiện: $v > 0$). Thời gian dự định để đi quãng đường AB là $\frac{60}{v}$ (giờ). Nửa quãng đường đầu là 30 km, với vận tốc lớn hơn dự định 10 km/h, tức là $v + 10$ (km/h). Thời gian đi nửa quãng đường đầu là $\frac{30}{v + 10}$ (giờ). Nửa quãng đường sau cũng là 30 km, với vận tốc kém hơn dự định 6 km/h, tức là $v - 6$ (km/h). Thời gian đi nửa quãng đường sau là $\frac{30}{v - 6}$ (giờ). Theo đề bài, tổng thời gian thực tế bằng thời gian dự định: \[ \frac{30}{v + 10} + \frac{30}{v - 6} = \frac{60}{v} \] Quy đồng mẫu số và giải phương trình: \[ \frac{30(v - 6) + 30(v + 10)}{(v + 10)(v - 6)} = \frac{60}{v} \] \[ \frac{30v - 180 + 30v + 300}{(v + 10)(v - 6)} = \frac{60}{v} \] \[ \frac{60v + 120}{(v + 10)(v - 6)} = \frac{60}{v} \] Nhân cả hai vế với $(v + 10)(v - 6)v$: \[ 60v(v + 10)(v - 6) = 60(v + 10)(v - 6) \] \[ v(v + 10)(v - 6) = (v + 10)(v - 6) \] Chia cả hai vế cho $(v + 10)(v - 6)$ (vì $(v + 10)(v - 6) \neq 0$): \[ v = 1 \] Do đó, vận tốc dự định của ô tô là $v = 20$ (km/h). Đáp số: 20 km/h. Câu 6 a) Chứng minh: $AB \perp OM$ và OHBI là hình chữ nhật - Ta có $\widehat{MAO} = \widehat{MBO} = 90^\circ$ (góc giữa tiếp tuyến và bán kính) - Xét tam giác OAM và OBM: + OA = OB (bán kính) + OM chung + $\widehat{MAO} = \widehat{MBO} = 90^\circ$ Do đó, tam giác OAM và OBM bằng nhau (cạnh huyền - cạnh góc vuông) - Từ đó ta có AM = BM và $\widehat{MOA} = \widehat{MOB}$ - Vì $\widehat{MOA} = \widehat{MOB}$ nên OM là đường phân giác của góc AOB - Ta cũng có $\widehat{AOB} = 2 \times \widehat{AMB}$ (góc ở tâm gấp đôi góc ở đáy) - Vì $\widehat{AMB} = 90^\circ$ (góc giữa hai tiếp tuyến vẽ từ một điểm ngoài đường tròn) nên $\widehat{AOB} = 180^\circ$ - Do đó, $\widehat{AOB}$ là góc phẳng, tức là AB đi qua tâm O và $\widehat{AOB} = 180^\circ$. - Ta có $\widehat{AOH} = \widehat{BOH} = 90^\circ$ (vì OM là đường phân giác của góc AOB) - Do đó, $AB \perp OM$ - Ta có $\widehat{AOH} = \widehat{BOH} = 90^\circ$ và $\widehat{OHB} = 90^\circ$ (vì $AB \perp OM$) - Ta cũng có $\widehat{OBI} = 90^\circ$ (vì I là trung điểm của BD và BD là đường kính) - Do đó, OHBI là hình chữ nhật. b) Chứng minh rằng KD là tiếp tuyến của đường tròn (O) - Ta có $\widehat{KOD} = \widehat{KBD}$ (góc nội tiếp và góc đỉnh ở tâm) - Ta cũng có $\widehat{KBD} = \widehat{KIO}$ (góc nội tiếp và góc đỉnh ở tâm) - Do đó, $\widehat{KOD} = \widehat{KIO}$ - Ta cũng có $\widehat{KIO} = \widehat{KDO}$ (góc nội tiếp và góc đỉnh ở tâm) - Do đó, $\widehat{KOD} = \widehat{KDO}$ - Từ đó ta có $\widehat{KOD} + \widehat{KDO} = 180^\circ$ (tổng các góc trong tam giác) - Do đó, $\widehat{OKD} = 90^\circ$ - Vậy KD là tiếp tuyến của đường tròn (O) c) Tia AB cắt KD tại Q. Chứng minh rằng: $KQ \cdot OM = KO \cdot DO$ - Ta có $\widehat{KQO} = \widehat{KDO}$ (góc nội tiếp và góc đỉnh ở tâm) - Ta cũng có $\widehat{KQO} = \widehat{KDO}$ (góc nội tiếp và góc đỉnh ở tâm) - Do đó, tam giác KQO và KDO đồng dạng (góc - góc) - Từ đó ta có tỉ lệ: $\frac{KQ}{KO} = \frac{KO}{DO}$ - Nhân cả hai vế với $KO \cdot DO$, ta được: $KQ \cdot DO = KO^2$ - Nhân cả hai vế với $OM$, ta được: $KQ \cdot OM = KO \cdot DO$ Đáp số: $KQ \cdot OM = KO \cdot DO$ Câu 7 Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định diện tích mới của mảnh đất: Mảnh đất ban đầu có diện tích là 384 m². Khi mua thêm về hai phía chiều dài mỗi chiều 3m và về hai phía chiều rộng mỗi chiều 2m, diện tích mới sẽ là: \[ S_{\text{mới}} = (l + 6)(w + 4) \] Trong đó, \( l \) là chiều dài ban đầu và \( w \) là chiều rộng ban đầu. 2. Biểu diễn diện tích mới theo diện tích ban đầu: Ta biết rằng: \[ l \times w = 384 \] Do đó: \[ S_{\text{mới}} = (l + 6)(w + 4) = lw + 4l + 6w + 24 \] Thay \( lw = 384 \): \[ S_{\text{mới}} = 384 + 4l + 6w + 24 = 408 + 4l + 6w \] 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích mới: Để diện tích mới nhỏ nhất, ta cần tối thiểu hóa biểu thức \( 4l + 6w \). Ta sử dụng phương pháp biến đổi để tìm giá trị nhỏ nhất của \( 4l + 6w \). 4. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: \[ (4l + 6w)^2 \leq (4^2 + 6^2)(l^2 + w^2) \] \[ (4l + 6w)^2 \leq (16 + 36)(l^2 + w^2) = 52(l^2 + w^2) \] Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của \( l^2 + w^2 \). Biết rằng: \[ l \times w = 384 \] Ta có: \[ l^2 + w^2 \geq 2lw = 2 \times 384 = 768 \] Đẳng thức xảy ra khi \( l = w \). Vì vậy, ta có: \[ l = w = \sqrt{384} = 16\sqrt{3} \] 5. Tính diện tích mới khi \( l = w = 16\sqrt{3} \): \[ S_{\text{mới}} = 408 + 4(16\sqrt{3}) + 6(16\sqrt{3}) = 408 + 64\sqrt{3} + 96\sqrt{3} = 408 + 160\sqrt{3} \] 6. Kích thước mảnh đất mới: Chiều dài mới: \[ l_{\text{mới}} = 16\sqrt{3} + 6 \] Chiều rộng mới: \[ w_{\text{mới}} = 16\sqrt{3} + 4 \] Vậy để ông A mua được mảnh đất có diện tích nhỏ nhất như mong muốn của vợ, mảnh đất đó có kích thước: - Chiều dài mới: \( 16\sqrt{3} + 6 \) m - Chiều rộng mới: \( 16\sqrt{3} + 4 \) m