cú em với ak Bài 2: Giải các phương trình sau:,$a)~3x^2-7x-10=0$ $b)~x^2-3x+2=0$ $c)~3x^2-2\sqrt3x-3=0$,$d)~x^2-(1+\sqrt2)x+\sqrt2=0~e)\sqrt3x^2-(1-\sqrt3)x-1=0$ $f)~x^2-4x-5=0$,$g)~(2+\sqrt3)x^2-2\sqrt3x-2+\sqrt3=0$ $h)~x^2-|x|-6=0$,DẠNG 2: TÌM HAI SỐ KHI BIẾT TỔNG VÀ TÍCH:.,Bài 1: Tìm hai số u và v biết: $u+v=42$ và $u.v=441$,Giải,Ta có: $u+v=42$ và $u.v=441$ nên u và v có thể là nghiệm của phương trình bậc hai:,$x^2-42x+441=0$ (*),Ta có: $\Delta^\prime=(-21)^2-441=0$,Phương trình (*) có nghiệm $x_1=x_2=21$,Vậy $u=v=21$,Bài 2: Tìm hai số u và v biết:,$a)~u+v=-42$ và $u.v=-400$ $b)~u-v=5$ và $u.v=24$,$c)~u+v=3$ và $u.v=-8$ $d)~u-v=-5$ và $u.v=-10$,Bài 3: Tìm kích thước mảnh vườn hình chữ nhật biết chu vi bằng 22m và diện tích bằng $30~m^2$

Question

Accepted Answer

Bài 2:
a) $3x^2 - 7x - 10 = 0$

Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:
$$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$

Ở đây, $a = 3$, $b = -7$, $c = -10$:
$$ x = \frac{7 \pm \sqrt{(-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-10)}}{2 \cdot 3} $$
$$ x = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 120}}{6} $$
$$ x = \frac{7 \pm \sqrt{169}}{6} $$
$$ x = \frac{7 \pm 13}{6} $$

Ta có hai nghiệm:
$$ x_1 = \frac{7 + 13}{6} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3} $$
$$ x_2 = \frac{7 - 13}{6} = \frac{-6}{6} = -1 $$

Vậy nghiệm của phương trình là $x = \frac{10}{3}$ hoặc $x = -1$.

b) $x^2 - 3x + 2 = 0$

Phương trình này có thể phân tích thành:
$$ (x - 1)(x - 2) = 0 $$

Vậy nghiệm của phương trình là $x = 1$ hoặc $x = 2$.

c) $3x^2 - 2\sqrt{3}x - 3 = 0$

Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:
$$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$

Ở đây, $a = 3$, $b = -2\sqrt{3}$, $c = -3$:
$$ x = \frac{2\sqrt{3} \pm \sqrt{(-2\sqrt{3})^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3)}}{2 \cdot 3} $$
$$ x = \frac{2\sqrt{3} \pm \sqrt{12 + 36}}{6} $$
$$ x = \frac{2\sqrt{3} \pm \sqrt{48}}{6} $$
$$ x = \frac{2\sqrt{3} \pm 4\sqrt{3}}{6} $$

Ta có hai nghiệm:
$$ x_1 = \frac{2\sqrt{3} + 4\sqrt{3}}{6} = \frac{6\sqrt{3}}{6} = \sqrt{3} $$
$$ x_2 = \frac{2\sqrt{3} - 4\sqrt{3}}{6} = \frac{-2\sqrt{3}}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{3} $$

Vậy nghiệm của phương trình là $x = \sqrt{3}$ hoặc $x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

d) $x^2 - (1 + \sqrt{2})x + \sqrt{2} = 0$

Phương trình này có thể phân tích thành:
$$ (x - 1)(x - \sqrt{2}) = 0 $$

Vậy nghiệm của phương trình là $x = 1$ hoặc $x = \sqrt{2}$.

e) $\sqrt{3}x^2 - (1 - \sqrt{3})x - 1 = 0$

Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:
$$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$

Ở đây, $a = \sqrt{3}$, $b = -(1 - \sqrt{3})$, $c = -1$:
$$ x = \frac{1 - \sqrt{3} \pm \sqrt{(1 - \sqrt{3})^2 - 4 \cdot \sqrt{3} \cdot (-1)}}{2 \cdot \sqrt{3}} $$
$$ x = \frac{1 - \sqrt{3} \pm \sqrt{1 - 2\sqrt{3} + 3 + 4\sqrt{3}}}{2\sqrt{3}} $$
$$ x = \frac{1 - \sqrt{3} \pm \sqrt{4 + 2\sqrt{3}}}{2\sqrt{3}} $$
$$ x = \frac{1 - \sqrt{3} \pm (\sqrt{3} + 1)}{2\sqrt{3}} $$

Ta có hai nghiệm:
$$ x_1 = \frac{1 - \sqrt{3} + \sqrt{3} + 1}{2\sqrt{3}} = \frac{2}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} $$
$$ x_2 = \frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} - 1}{2\sqrt{3}} = \frac{-2\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = -1 $$

Vậy nghiệm của phương trình là $x = \frac{\sqrt{3}}{3}$ hoặc $x = -1$.

f) $x^2 - 4x - 5 = 0$

Phương trình này có thể phân tích thành:
$$ (x - 5)(x + 1) = 0 $$

Vậy nghiệm của phương trình là $x = 5$ hoặc $x = -1$.

g) $(2 + \sqrt{3})x^2 - 2\sqrt{3}x - 2 + \sqrt{3} = 0$

Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:
$$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$

Ở đây, $a = 2 + \sqrt{3}$, $b = -2\sqrt{3}$, $c = -2 + \sqrt{3}$:
$$ x = \frac{2\sqrt{3} \pm \sqrt{(-2\sqrt{3})^2 - 4 \cdot (2 + \sqrt{3}) \cdot (-2 + \sqrt{3})}}{2 \cdot (2 + \sqrt{3})} $$
$$ x = \frac{2\sqrt{3} \pm \sqrt{12 + 4(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})}}{2(2 + \sqrt{3})} $$
$$ x = \frac{2\sqrt{3} \pm \sqrt{12 + 4(4 - 3)}}{2(2 + \sqrt{3})} $$
$$ x = \frac{2\sqrt{3} \pm \sqrt{12 + 4}}{2(2 + \sqrt{3})} $$
$$ x = \frac{2\sqrt{3} \pm \sqrt{16}}{2(2 + \sqrt{3})} $$
$$ x = \frac{2\sqrt{3} \pm 4}{2(2 + \sqrt{3})} $$

Ta có hai nghiệm:
$$ x_1 = \frac{2\sqrt{3} + 4}{2(2 + \sqrt{3})} = \frac{2(\sqrt{3} + 2)}{2(2 + \sqrt{3})} = 1 $$
$$ x_2 = \frac{2\sqrt{3} - 4}{2(2 + \sqrt{3})} = \frac{2(\sqrt{3} - 2)}{2(2 + \sqrt{3})} = \frac{\sqrt{3} - 2}{2 + \sqrt{3}} $$

Vậy nghiệm của phương trình là $x = 1$ hoặc $x = \frac{\sqrt{3} - 2}{2 + \sqrt{3}}$.

h) $x^2 - |x| - 6 = 0$

Xét hai trường hợp:
1. $x \geq 0$: Phương trình trở thành $x^2 - x - 6 = 0$
   $$ (x - 3)(x + 2) = 0 $$
   Nghiệm: $x = 3$ hoặc $x = -2$ (loại vì $x \geq 0$)

2. $x < 0$: Phương trình trở thành $x^2 + x - 6 = 0$
   $$ (x + 3)(x - 2) = 0 $$
   Nghiệm: $x = -3$ hoặc $x = 2$ (loại vì $x < 0$)

Vậy nghiệm của phương trình là $x = 3$ hoặc $x = -3$.

DẠNG 2: TÌM HAI SỐ KHI BIẾT TỔNG VÀ TÍCH:
- Để tìm hai số khi biết tổng và tích, ta sử dụng phương pháp lập phương trình bậc hai dựa trên tổng và tích đã cho.

Bài 1:
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Xác định phương trình bậc hai: 
   Ta có hai số $ u $ và $ v $ thỏa mãn:
   $$
   u + v = 42 \quad \text{và} \quad u \cdot v = 441
   $$
   Do đó, $ u $ và $ v $ có thể là nghiệm của phương trình bậc hai:
   $$
   x^2 - (u + v)x + uv = 0
   $$
   Thay $ u + v = 42 $ và $ uv = 441 $ vào phương trình trên, ta được:
   $$
   x^2 - 42x + 441 = 0
   $$

2. Giải phương trình bậc hai:
   Ta xét phương trình:
   $$
   x^2 - 42x + 441 = 0
   $$
   Để giải phương trình này, ta tính delta ($ \Delta' $):
   $$
   \Delta' = \left( \frac{-42}{2} \right)^2 - 441 = (-21)^2 - 441 = 441 - 441 = 0
   $$
   Vì $ \Delta' = 0 $, phương trình có nghiệm kép:
   $$
   x = \frac{42}{2} = 21
   $$

3. Kết luận:
   Vậy $ u = v = 21 $.

Đáp số: $ u = 21 $ và $ v = 21 $.

Bài 2:
a) Ta có: $u + v = -42$ và $u.v = -400$. 
Ta nhận thấy rằng $-42 = -40 + (-2)$ và $-400 = (-40) \times (-2)$. 
Do đó, ta có thể suy ra $u = -40$ và $v = -2$ hoặc ngược lại $u = -2$ và $v = -40$.

b) Ta có: $u - v = 5$ và $u.v = 24$. 
Ta nhận thấy rằng $5 = 8 - 3$ và $24 = 8 \times 3$. 
Do đó, ta có thể suy ra $u = 8$ và $v = 3$ hoặc ngược lại $u = 3$ và $v = 8$.

c) Ta có: $u + v = 3$ và $u.v = -8$. 
Ta nhận thấy rằng $3 = 4 + (-1)$ và $-8 = 4 \times (-1)$. 
Do đó, ta có thể suy ra $u = 4$ và $v = -1$ hoặc ngược lại $u = -1$ và $v = 4$.

d) Ta có: $u - v = -5$ và $u.v = -10$. 
Ta nhận thấy rằng $-5 = -2 - 3$ và $-10 = (-2) \times 5$. 
Do đó, ta có thể suy ra $u = -2$ và $v = 5$ hoặc ngược lại $u = 5$ và $v = -2$.

Đáp số:
a) $u = -40$, $v = -2$ hoặc $u = -2$, $v = -40$
b) $u = 8$, $v = 3$ hoặc $u = 3$, $v = 8$
c) $u = 4$, $v = -1$ hoặc $u = -1$, $v = 4$
d) $u = -2$, $v = 5$ hoặc $u = 5$, $v = -2$

Bài 3:
Để tìm kích thước của mảnh vườn hình chữ nhật, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định các đại lượng:
   - Gọi chiều dài của mảnh vườn là $ l $ (m)
   - Gọi chiều rộng của mảnh vườn là $ w $ (m)

2. Áp dụng công thức chu vi và diện tích:
   - Chu vi của hình chữ nhật: $ P = 2(l + w) $
   - Diện tích của hình chữ nhật: $ S = l \times w $

3. Thay các giá trị đã biết vào các công thức:
   - Chu vi: $ 2(l + w) = 22 $
   - Diện tích: $ l \times w = 30 $

4. Giải phương trình để tìm $ l $ và $ w $:
   - Từ phương trình chu vi: $ l + w = 11 $
   - Từ phương trình diện tích: $ l \times w = 30 $

5. Lập phương trình bậc hai:
   - Ta có $ l = 11 - w $
   - Thay vào phương trình diện tích: $ (11 - w) \times w = 30 $
   - Điều này dẫn đến phương trình bậc hai: $ w^2 - 11w + 30 = 0 $

6. Giải phương trình bậc hai:
   - Phương trình $ w^2 - 11w + 30 = 0 $ có thể được giải bằng cách phân tích thành nhân tử:
     $$
     w^2 - 11w + 30 = (w - 5)(w - 6) = 0
     $$
   - Vậy $ w = 5 $ hoặc $ w = 6 $

7. Tìm giá trị của $ l $:
   - Nếu $ w = 5 $, thì $ l = 11 - 5 = 6 $
   - Nếu $ w = 6 $, thì $ l = 11 - 6 = 5 $

Như vậy, kích thước của mảnh vườn hình chữ nhật là 5m và 6m.