cú em với ak

Bài 2: a) \(3x^2 - 7x - 10 = 0\) Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Ở đây, \(a = 3\), \(b = -7\), \(c = -10\): \[ x = \frac{7 \pm \sqrt{(-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-10)}}{2 \cdot 3} \] \[ x = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 120}}{6} \] \[ x = \frac{7 \pm \sqrt{169}}{6} \] \[ x = \frac{7 \pm 13}{6} \] Ta có hai nghiệm: \[ x_1 = \frac{7 + 13}{6} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3} \] \[ x_2 = \frac{7 - 13}{6} = \frac{-6}{6} = -1 \] Vậy nghiệm của phương trình là \(x = \frac{10}{3}\) hoặc \(x = -1\). b) \(x^2 - 3x + 2 = 0\) Phương trình này có thể phân tích thành: \[ (x - 1)(x - 2) = 0 \] Vậy nghiệm của phương trình là \(x = 1\) hoặc \(x = 2\). c) \(3x^2 - 2\sqrt{3}x - 3 = 0\) Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Ở đây, \(a = 3\), \(b = -2\sqrt{3}\), \(c = -3\): \[ x = \frac{2\sqrt{3} \pm \sqrt{(-2\sqrt{3})^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3)}}{2 \cdot 3} \] \[ x = \frac{2\sqrt{3} \pm \sqrt{12 + 36}}{6} \] \[ x = \frac{2\sqrt{3} \pm \sqrt{48}}{6} \] \[ x = \frac{2\sqrt{3} \pm 4\sqrt{3}}{6} \] Ta có hai nghiệm: \[ x_1 = \frac{2\sqrt{3} + 4\sqrt{3}}{6} = \frac{6\sqrt{3}}{6} = \sqrt{3} \] \[ x_2 = \frac{2\sqrt{3} - 4\sqrt{3}}{6} = \frac{-2\sqrt{3}}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{3} \] Vậy nghiệm của phương trình là \(x = \sqrt{3}\) hoặc \(x = -\frac{\sqrt{3}}{3}\). d) \(x^2 - (1 + \sqrt{2})x + \sqrt{2} = 0\) Phương trình này có thể phân tích thành: \[ (x - 1)(x - \sqrt{2}) = 0 \] Vậy nghiệm của phương trình là \(x = 1\) hoặc \(x = \sqrt{2}\). e) \(\sqrt{3}x^2 - (1 - \sqrt{3})x - 1 = 0\) Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Ở đây, \(a = \sqrt{3}\), \(b = -(1 - \sqrt{3})\), \(c = -1\): \[ x = \frac{1 - \sqrt{3} \pm \sqrt{(1 - \sqrt{3})^2 - 4 \cdot \sqrt{3} \cdot (-1)}}{2 \cdot \sqrt{3}} \] \[ x = \frac{1 - \sqrt{3} \pm \sqrt{1 - 2\sqrt{3} + 3 + 4\sqrt{3}}}{2\sqrt{3}} \] \[ x = \frac{1 - \sqrt{3} \pm \sqrt{4 + 2\sqrt{3}}}{2\sqrt{3}} \] \[ x = \frac{1 - \sqrt{3} \pm (\sqrt{3} + 1)}{2\sqrt{3}} \] Ta có hai nghiệm: \[ x_1 = \frac{1 - \sqrt{3} + \sqrt{3} + 1}{2\sqrt{3}} = \frac{2}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \] \[ x_2 = \frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} - 1}{2\sqrt{3}} = \frac{-2\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = -1 \] Vậy nghiệm của phương trình là \(x = \frac{\sqrt{3}}{3}\) hoặc \(x = -1\). f) \(x^2 - 4x - 5 = 0\) Phương trình này có thể phân tích thành: \[ (x - 5)(x + 1) = 0 \] Vậy nghiệm của phương trình là \(x = 5\) hoặc \(x = -1\). g) \((2 + \sqrt{3})x^2 - 2\sqrt{3}x - 2 + \sqrt{3} = 0\) Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Ở đây, \(a = 2 + \sqrt{3}\), \(b = -2\sqrt{3}\), \(c = -2 + \sqrt{3}\): \[ x = \frac{2\sqrt{3} \pm \sqrt{(-2\sqrt{3})^2 - 4 \cdot (2 + \sqrt{3}) \cdot (-2 + \sqrt{3})}}{2 \cdot (2 + \sqrt{3})} \] \[ x = \frac{2\sqrt{3} \pm \sqrt{12 + 4(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})}}{2(2 + \sqrt{3})} \] \[ x = \frac{2\sqrt{3} \pm \sqrt{12 + 4(4 - 3)}}{2(2 + \sqrt{3})} \] \[ x = \frac{2\sqrt{3} \pm \sqrt{12 + 4}}{2(2 + \sqrt{3})} \] \[ x = \frac{2\sqrt{3} \pm \sqrt{16}}{2(2 + \sqrt{3})} \] \[ x = \frac{2\sqrt{3} \pm 4}{2(2 + \sqrt{3})} \] Ta có hai nghiệm: \[ x_1 = \frac{2\sqrt{3} + 4}{2(2 + \sqrt{3})} = \frac{2(\sqrt{3} + 2)}{2(2 + \sqrt{3})} = 1 \] \[ x_2 = \frac{2\sqrt{3} - 4}{2(2 + \sqrt{3})} = \frac{2(\sqrt{3} - 2)}{2(2 + \sqrt{3})} = \frac{\sqrt{3} - 2}{2 + \sqrt{3}} \] Vậy nghiệm của phương trình là \(x = 1\) hoặc \(x = \frac{\sqrt{3} - 2}{2 + \sqrt{3}}\). h) \(x^2 - |x| - 6 = 0\) Xét hai trường hợp: 1. \(x \geq 0\): Phương trình trở thành \(x^2 - x - 6 = 0\) \[ (x - 3)(x + 2) = 0 \] Nghiệm: \(x = 3\) hoặc \(x = -2\) (loại vì \(x \geq 0\)) 2. \(x < 0\): Phương trình trở thành \(x^2 + x - 6 = 0\) \[ (x + 3)(x - 2) = 0 \] Nghiệm: \(x = -3\) hoặc \(x = 2\) (loại vì \(x < 0\)) Vậy nghiệm của phương trình là \(x = 3\) hoặc \(x = -3\). DẠNG 2: TÌM HAI SỐ KHI BIẾT TỔNG VÀ TÍCH: - Để tìm hai số khi biết tổng và tích, ta sử dụng phương pháp lập phương trình bậc hai dựa trên tổng và tích đã cho. Bài 1: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định phương trình bậc hai: Ta có hai số \( u \) và \( v \) thỏa mãn: \[ u + v = 42 \quad \text{và} \quad u \cdot v = 441 \] Do đó, \( u \) và \( v \) có thể là nghiệm của phương trình bậc hai: \[ x^2 - (u + v)x + uv = 0 \] Thay \( u + v = 42 \) và \( uv = 441 \) vào phương trình trên, ta được: \[ x^2 - 42x + 441 = 0 \] 2. Giải phương trình bậc hai: Ta xét phương trình: \[ x^2 - 42x + 441 = 0 \] Để giải phương trình này, ta tính delta (\( \Delta' \)): \[ \Delta' = \left( \frac{-42}{2} \right)^2 - 441 = (-21)^2 - 441 = 441 - 441 = 0 \] Vì \( \Delta' = 0 \), phương trình có nghiệm kép: \[ x = \frac{42}{2} = 21 \] 3. Kết luận: Vậy \( u = v = 21 \). Đáp số: \( u = 21 \) và \( v = 21 \). Bài 2: a) Ta có: $u + v = -42$ và $u.v = -400$. Ta nhận thấy rằng $-42 = -40 + (-2)$ và $-400 = (-40) \times (-2)$. Do đó, ta có thể suy ra $u = -40$ và $v = -2$ hoặc ngược lại $u = -2$ và $v = -40$. b) Ta có: $u - v = 5$ và $u.v = 24$. Ta nhận thấy rằng $5 = 8 - 3$ và $24 = 8 \times 3$. Do đó, ta có thể suy ra $u = 8$ và $v = 3$ hoặc ngược lại $u = 3$ và $v = 8$. c) Ta có: $u + v = 3$ và $u.v = -8$. Ta nhận thấy rằng $3 = 4 + (-1)$ và $-8 = 4 \times (-1)$. Do đó, ta có thể suy ra $u = 4$ và $v = -1$ hoặc ngược lại $u = -1$ và $v = 4$. d) Ta có: $u - v = -5$ và $u.v = -10$. Ta nhận thấy rằng $-5 = -2 - 3$ và $-10 = (-2) \times 5$. Do đó, ta có thể suy ra $u = -2$ và $v = 5$ hoặc ngược lại $u = 5$ và $v = -2$. Đáp số: a) $u = -40$, $v = -2$ hoặc $u = -2$, $v = -40$ b) $u = 8$, $v = 3$ hoặc $u = 3$, $v = 8$ c) $u = 4$, $v = -1$ hoặc $u = -1$, $v = 4$ d) $u = -2$, $v = 5$ hoặc $u = 5$, $v = -2$ Bài 3: Để tìm kích thước của mảnh vườn hình chữ nhật, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định các đại lượng: - Gọi chiều dài của mảnh vườn là \( l \) (m) - Gọi chiều rộng của mảnh vườn là \( w \) (m) 2. Áp dụng công thức chu vi và diện tích: - Chu vi của hình chữ nhật: \( P = 2(l + w) \) - Diện tích của hình chữ nhật: \( S = l \times w \) 3. Thay các giá trị đã biết vào các công thức: - Chu vi: \( 2(l + w) = 22 \) - Diện tích: \( l \times w = 30 \) 4. Giải phương trình để tìm \( l \) và \( w \): - Từ phương trình chu vi: \( l + w = 11 \) - Từ phương trình diện tích: \( l \times w = 30 \) 5. Lập phương trình bậc hai: - Ta có \( l = 11 - w \) - Thay vào phương trình diện tích: \( (11 - w) \times w = 30 \) - Điều này dẫn đến phương trình bậc hai: \( w^2 - 11w + 30 = 0 \) 6. Giải phương trình bậc hai: - Phương trình \( w^2 - 11w + 30 = 0 \) có thể được giải bằng cách phân tích thành nhân tử: \[ w^2 - 11w + 30 = (w - 5)(w - 6) = 0 \] - Vậy \( w = 5 \) hoặc \( w = 6 \) 7. Tìm giá trị của \( l \): - Nếu \( w = 5 \), thì \( l = 11 - 5 = 6 \) - Nếu \( w = 6 \), thì \( l = 11 - 6 = 5 \) Như vậy, kích thước của mảnh vườn hình chữ nhật là 5m và 6m.