3,0 điểm). Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AP, BQ, CK cắt nhạu ở I.

a) Chứng minh các điểm A, K, I, Q cùng nằm trên một đường tròn.

b) Chứng minh: BI.BQ= BP.BC và BI.BQ+CI.CK = BC2 .

c) Chứng minh PA là phân giác của KPQ và đường thẳng qua A song song với BC cắt tia PK tại E. Gọi N là giao điểm của CE và AP. Chứng minh rằng NQ // BC.

Question

3,0 điểm). Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AP, BQ, CK cắt nhạu ở I.

a) Chứng minh các điểm A, K, I, Q cùng nằm trên một đường tròn.

b) Chứng minh: BI.BQ= BP.BC và BI.BQ+CI.CK = BC2 .

c) Chứng minh PA là phân giác của KPQ và đường thẳng qua A song song với BC cắt tia PK tại E. Gọi N là giao điểm của CE và AP. Chứng minh rằng NQ // BC.

Accepted Answer

a, Vì BQ và CK là các đường cao của $\displaystyle \vartriangle ABC$
Nên $\displaystyle \widehat{AKI} =\widehat{AQI} =90^{0}$
$\displaystyle \Longrightarrow K,Q$ thuộc đường tròn đường kính AI
$\displaystyle \Longrightarrow A,K,I,Q$ cùng nằm trên 1 đường tròn
b, Xét $\displaystyle \vartriangle BPI$ vuông tại P và $\displaystyle \vartriangle BQC$ vuông tại Q có:
$\displaystyle \widehat{QBC} :$góc chung
Do đó $\displaystyle \vartriangle BPI\backsim \vartriangle BQC$ (g.g)
$\displaystyle \Longrightarrow \frac{BI}{BC} =\frac{BP}{BQ} \Longrightarrow BI.BQ=BP.BC$
Xét $\displaystyle \vartriangle CPI$ vuông tại P và $\displaystyle \vartriangle CKB$ vuông tại K có:
$\displaystyle \widehat{BCK} :$góc chung
Do đó $\displaystyle \vartriangle CPI\backsim \vartriangle CKB$ (g.g)
$\displaystyle \Longrightarrow \frac{CI}{BC} =\frac{CP}{CK} \Longrightarrow CI.CK=CB.CP$
Ta có:
$\displaystyle BI.BQ+CI.CK=BP.BC+CB.CP=BC.( BP+CP) =BC^{2}$

3,0 điểm). Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AP, BQ, CK cắt nhạu ở I. a) Chứng minh các điểm A, K, I, Q cùng nằm trên một đường tròn. b) Chứng minh: BI.BQ= BP.BC và BI.BQ+CI.CK = BC2 . c) Chứng m...