3,0 điểm). Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AP, BQ, CK cắt nhạu ở I. a) Chứng minh các điểm A, K, I, Q cùng nằm trên một đường tròn. b) Chứng minh: BI.BQ= BP.BC và BI.BQ+CI.CK = BC2 . c) Chứng m...

a) Ta có: $\widehat{AKQ}=\widehat{AQP}=90^\circ$ nên các điểm A, K, I, Q cùng nằm trên đường tròn đường kính AQ. b) Ta có: $\widehat{BIP}=\widehat{BQC}=90^\circ$ nên các điểm P, I, C, Q cùng nằm trên đường tròn đường kính BQ. Suy ra: $\widehat{IBP}=\widehat{ICQ}$ (cung BC) Ta lại có: $\widehat{CBQ}=\widehat{BCP}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung BQ) Suy ra: $\triangle IBP \sim \triangle ICQ$ (g.g) Suy ra: $\frac{BI}{CI}=\frac{BP}{CQ}$ Suy ra: $BI.CQ=CI.BP$ Mặt khác ta có: $\widehat{BIP}=\widehat{BKC}=90^\circ$ nên các điểm P, I, K, C cùng nằm trên đường tròn đường kính BK. Suy ra: $\widehat{IPC}=\widehat{IKB}$ (cung IB) Ta lại có: $\widehat{CBP}=\widehat{KBC}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung BK) Suy ra: $\triangle IPC \sim \triangle KBC$ (g.g) Suy ra: $\frac{CI}{BK}=\frac{CP}{BC}$ Suy ra: $CI.BC=BK.CP$ Từ đó ta có: $BI.CQ+CI.BC=BK.CP+CI.BP$ Hay $BI.BQ+CI.CK=BC(BK+CP)=BC^2$ c) Ta có: $\widehat{APK}=\widehat{ACB}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung AK) $\widehat{APQ}=\widehat{ABC}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung AQ) Mà $\widehat{ACB}+\widehat{ABC}=90^\circ$ nên $\widehat{APK}+\widehat{APQ}=90^\circ$ Suy ra: $\widehat{KPQ}=90^\circ$ Do đó: $\widehat{APK}=\widehat{APQ}$ nên PA là phân giác của $\widehat{KPQ}$ Ta có: AE // BC nên $\widehat{EAK}=\widehat{AKC}=90^\circ$ Suy ra: $\widehat{EAN}+\widehat{NAK}=90^\circ$ Mà $\widehat{NAK}+\widehat{NKA}=90^\circ$ nên $\widehat{EAN}=\widehat{NKA}$ Suy ra: EN // AK hay NQ // BC.