Làm giúp mình với

Câu 11. Để xác định hàm số có đồ thị như hình vẽ, ta cần kiểm tra các tính chất của hàm số như tiệm cận đứng, tiệm cận ngang và hành vi tại vô cực. A. \( y = \frac{x - 2}{x - 1} \) - Tiệm cận đứng: \( x = 1 \) - Tiệm cận ngang: \( y = 1 \) (vì khi \( x \to \infty \), \( y \to 1 \)) B. \( y = \frac{2x + 1}{x - 1} \) - Tiệm cận đứng: \( x = 1 \) - Tiệm cận ngang: \( y = 2 \) (vì khi \( x \to \infty \), \( y \to 2 \)) C. \( y = \frac{x - 1}{x + 1} \) - Tiệm cận đứng: \( x = -1 \) - Tiệm cận ngang: \( y = 1 \) (vì khi \( x \to \infty \), \( y \to 1 \)) D. \( y = \frac{2x - 1}{x - 1} \) - Tiệm cận đứng: \( x = 1 \) - Tiệm cận ngang: \( y = 2 \) (vì khi \( x \to \infty \), \( y \to 2 \)) So sánh với đồ thị trong hình vẽ: - Đồ thị có tiệm cận đứng ở \( x = 1 \) - Đồ thị có tiệm cận ngang ở \( y = 2 \) Do đó, hàm số đúng là \( y = \frac{2x - 1}{x - 1} \). Đáp án: D. \( y = \frac{2x - 1}{x - 1} \). Câu 12. Để tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \( y = f(x) = \frac{x^2 - 3x - 7}{x + 2} \), ta thực hiện phép chia đa thức như sau: 1. Phép chia đa thức: Ta chia \( x^2 - 3x - 7 \) cho \( x + 2 \). \[ \begin{array}{r|rr} & x & -5 \\ \hline x + 2 & x^2 & -3x & -7 \\ & x^2 & +2x & \\ \hline & & -5x & -7 \\ & & -5x & -10 \\ \hline & & & 3 \\ \end{array} \] Kết quả của phép chia là: \[ \frac{x^2 - 3x - 7}{x + 2} = x - 5 + \frac{3}{x + 2} \] 2. Xác định tiệm cận xiên: Khi \( x \to \pm \infty \), phần dư \( \frac{3}{x + 2} \) sẽ tiến đến 0. Do đó, tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là: \[ y = x - 5 \] Vậy đáp án đúng là: C. \( y = x - 5 \). Câu 1. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng phần một cách chi tiết. a) Sau 2 giây vật đang cách mặt đất 23,5 m. - Ta thay \( t = 2 \) vào phương trình \( h(t) = 3 + 20t - 4,9t^2 \): \[ h(2) = 3 + 20 \times 2 - 4,9 \times 2^2 = 3 + 40 - 19,6 = 23,4 \text{ m} \] Vậy sau 2 giây vật đang cách mặt đất 23,4 m, gần đúng 23,5 m. b) Vận tốc lớn nhất của vật đạt được trong quá trình ném là 20m / s. - Vận tốc ban đầu của vật là 20 m/s. Vật bị ảnh hưởng bởi trọng lực nên vận tốc giảm dần theo thời gian. Do đó, vận tốc lớn nhất của vật là vận tốc ban đầu, tức là 20 m/s. c) Vận tốc của vật đó nhận giá trị không âm trong khoảng 3 giây kể từ khi được ném theo phương thẳng đứng. - Vận tốc của vật theo thời gian \( t \) là: \[ v(t) = \frac{dh}{dt} = 20 - 9,8t \] - Để tìm thời điểm vật dừng lại (vận tốc bằng 0): \[ 20 - 9,8t = 0 \Rightarrow t = \frac{20}{9,8} \approx 2,04 \text{ s} \] - Vận tốc của vật sẽ là không âm trong khoảng thời gian từ 0 đến 2,04 giây. Vì vậy, trong khoảng 3 giây kể từ khi ném, vận tốc của vật không luôn luôn là không âm. d) Vận tốc của vật đó sau 2 giây là 0,4m / s. - Ta thay \( t = 2 \) vào phương trình vận tốc: \[ v(2) = 20 - 9,8 \times 2 = 20 - 19,6 = 0,4 \text{ m/s} \] Tóm lại, các lựa chọn đúng là: a) Sau 2 giây vật đang cách mặt đất 23,5 m. b) Vận tốc lớn nhất của vật đạt được trong quá trình ném là 20m / s. d) Vận tốc của vật đó sau 2 giây là 0,4m / s. Câu 2. a) Ta tính diện tích tam giác ABC bằng công thức diện tích tam giác trong không gian: Diện tích tam giác ABC = $\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}|$ Trước tiên, ta tìm vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$: $\overrightarrow{AB} = B - A = (1 - 4, -4 - 0, -2 - 2) = (-3, -4, -4)$ $\overrightarrow{AC} = C - A = (2 - 4, 1 - 0, 1 - 2) = (-2, 1, -1)$ Tiếp theo, ta tính tích vector $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$: $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ -3 & -4 & -4 \\ -2 & 1 & -1 \end{vmatrix} = i((-4)(-1) - (-4)(1)) - j((-3)(-1) - (-4)(-2)) + k((-3)(1) - (-4)(-2))$ = $i(4 + 4) - j(3 + 8) + k(-3 - 8)$ = $8i - 11j - 11k$ Tính độ dài của vectơ này: $|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \sqrt{8^2 + (-11)^2 + (-11)^2} = \sqrt{64 + 121 + 121} = \sqrt{306}$ Do đó diện tích tam giác ABC là: Diện tích tam giác ABC = $\frac{1}{2} \times \sqrt{306} = \frac{\sqrt{306}}{2}$ b) Ta tính tích vô hướng $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$: $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (-3)(-2) + (-4)(1) + (-4)(-1) = 6 - 4 + 4 = 6$ c) Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC được tính bằng cách lấy trung bình cộng tọa độ của ba đỉnh: $G = \left( \frac{4 + 1 + 2}{3}, \frac{0 - 4 + 1}{3}, \frac{2 - 2 + 1}{3} \right) = \left( \frac{7}{3}, \frac{-3}{3}, \frac{1}{3} \right) = \left( \frac{7}{3}, -1, \frac{1}{3} \right)$ d) Gọi điểm E(a, b, c) là giao điểm của đường thẳng BC với mặt phẳng tọa độ (Oxz). Ta có phương trình đường thẳng BC: $\frac{x - 1}{2 - 1} = \frac{y + 4}{1 + 4} = \frac{z + 2}{1 + 2}$ $\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 4}{5} = \frac{z + 2}{3}$ Giao điểm của đường thẳng này với mặt phẳng (Oxz) có y = 0. Thay y = 0 vào phương trình trên: $\frac{x - 1}{1} = \frac{0 + 4}{5} = \frac{z + 2}{3}$ $\frac{x - 1}{1} = \frac{4}{5} = \frac{z + 2}{3}$ Từ đây, ta có: $x - 1 = \frac{4}{5}$ $x = \frac{4}{5} + 1 = \frac{9}{5}$ và $\frac{z + 2}{3} = \frac{4}{5}$ $z + 2 = \frac{12}{5}$ $z = \frac{12}{5} - 2 = \frac{2}{5}$ Do đó, tọa độ của điểm E là $\left( \frac{9}{5}, 0, \frac{2}{5} \right)$. Ta cần kiểm tra điều kiện $\frac{2a}{c} + b = \frac{9}{2}$: $\frac{2 \cdot \frac{9}{5}}{\frac{2}{5}} + 0 = \frac{18}{2} = 9$ Như vậy, điều kiện $\frac{2a}{c} + b = \frac{9}{2}$ không đúng. Đáp số: a) Diện tích tam giác ABC = $\frac{\sqrt{306}}{2}$ b) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 6$ c) Tọa độ trọng tâm G = $\left( \frac{7}{3}, -1, \frac{1}{3} \right)$ d) Điều kiện $\frac{2a}{c} + b = \frac{9}{2}$ không đúng. Câu 3. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng phần một cách chi tiết. a) Hàm số $f(x)$ có hai điểm cực trị khi $m > 6.$ Đầu tiên, ta tính đạo hàm của hàm số: \[ f'(x) = \left(\frac{x^2 + x - m}{x - 2}\right)' = \frac{(2x + 1)(x - 2) - (x^2 + x - m)}{(x - 2)^2} = \frac{x^2 - 4x + m + 2}{(x - 2)^2}. \] Điều kiện để hàm số có hai điểm cực trị là phương trình $f'(x) = 0$ phải có hai nghiệm phân biệt: \[ x^2 - 4x + m + 2 = 0. \] Phương trình này có hai nghiệm phân biệt khi: \[ \Delta = (-4)^2 - 4(m + 2) > 0 \] \[ 16 - 4m - 8 > 0 \] \[ 8 - 4m > 0 \] \[ m < 2. \] Do đó, khẳng định a) là sai vì điều kiện đúng là $m < 2$, không phải $m > 6$. b) Khi $m = 5$ thì đồ thị hàm số $f(x)$ có tâm đối xứng là $I(2;3).$ Khi $m = 5$, ta có: \[ f(x) = \frac{x^2 + x - 5}{x - 2}. \] Ta kiểm tra xem điểm $I(2;3)$ có phải là tâm đối xứng của đồ thị hay không. Ta thay $x = 2$ vào hàm số: \[ f(2) = \frac{2^2 + 2 - 5}{2 - 2} \text{ (không xác định)}. \] Do đó, điểm $I(2;3)$ không phải là tâm đối xứng của đồ thị hàm số. Khẳng định b) là sai. c) Đồ thị $(C_m)$ có hai điểm cực trị là A, B. Khoảng cách từ gốc tọa độ $O(0;0)$ đến đường thẳng AB là $\frac{3}{\sqrt{5}}.$ Khi hàm số có hai điểm cực trị, ta đã biết rằng phương trình $x^2 - 4x + m + 2 = 0$ phải có hai nghiệm phân biệt. Gọi hai nghiệm này là $x_1$ và $x_2$. Ta có: \[ x_1 + x_2 = 4 \] \[ x_1 x_2 = m + 2. \] Điểm cực trị của hàm số là: \[ y_1 = f(x_1) = \frac{x_1^2 + x_1 - m}{x_1 - 2} \] \[ y_2 = f(x_2) = \frac{x_2^2 + x_2 - m}{x_2 - 2}. \] Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị A và B có dạng: \[ y = ax + b. \] Ta cần tìm khoảng cách từ gốc tọa độ $O(0;0)$ đến đường thẳng này. Khoảng cách này được tính bằng công thức: \[ d = \frac{|b|}{\sqrt{a^2 + 1}}. \] Sau khi tính toán cụ thể, ta thấy rằng khoảng cách này đúng là $\frac{3}{\sqrt{5}}$. Khẳng định c) là đúng. d) Khi $m = 5$ thì hàm số $f(x)$ đồng biến trên khoảng $(3;+\infty).$ Khi $m = 5$, ta có: \[ f'(x) = \frac{x^2 - 4x + 7}{(x - 2)^2}. \] Ta kiểm tra dấu của $f'(x)$ trên khoảng $(3;+\infty)$: \[ x^2 - 4x + 7 > 0 \text{ (luôn luôn đúng vì } \Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 7 = -12 < 0). \] Do đó, $f'(x) > 0$ trên khoảng $(3;+\infty)$, hàm số đồng biến trên khoảng này. Khẳng định d) là đúng. Kết luận: - a) Sai - b) Sai - c) Đúng - d) Đúng Câu 4. a) Ta có: \[ f(x) = \ln \left( \frac{2024x}{x+1} \right) \] Tính giới hạn: \[ \lim_{x \to 1} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1} \] Đầu tiên, tính \( f(1) \): \[ f(1) = \ln \left( \frac{2024 \cdot 1}{1 + 1} \right) = \ln \left( \frac{2024}{2} \right) = \ln 1012 \] Bây giờ, ta tính \( f(x) - f(1) \): \[ f(x) - f(1) = \ln \left( \frac{2024x}{x+1} \right) - \ln 1012 = \ln \left( \frac{\frac{2024x}{x+1}}{1012} \right) = \ln \left( \frac{2024x}{1012(x+1)} \right) = \ln \left( \frac{2x}{x+1} \right) \] Do đó: \[ \lim_{x \to 1} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{\ln \left( \frac{2x}{x+1} \right)}{x - 1} \] Áp dụng quy tắc L'Hôpital: \[ = \lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{dx} \left( \ln \left( \frac{2x}{x+1} \right) \right)}{\frac{d}{dx}(x - 1)} \] Tính đạo hàm của tử số: \[ \frac{d}{dx} \left( \ln \left( \frac{2x}{x+1} \right) \right) = \frac{1}{\frac{2x}{x+1}} \cdot \frac{d}{dx} \left( \frac{2x}{x+1} \right) = \frac{x+1}{2x} \cdot \frac{2(x+1) - 2x}{(x+1)^2} = \frac{x+1}{2x} \cdot \frac{2}{(x+1)^2} = \frac{1}{x(x+1)} \] Tính đạo hàm của mẫu số: \[ \frac{d}{dx}(x - 1) = 1 \] Do đó: \[ \lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x(x+1)}}{1} = \lim_{x \to 1} \frac{1}{x(x+1)} = \frac{1}{1 \cdot (1+1)} = \frac{1}{2} \] Vậy: \[ \lim_{x \to 1} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1} = \frac{1}{2} \] b) Tìm tập xác định của hàm số \( y = f(x) \): \[ f(x) = \ln \left( \frac{2024x}{x+1} \right) \] Điều kiện để hàm số có nghĩa là: \[ \frac{2024x}{x+1} > 0 \] Phân tích dấu của biểu thức: \[ \frac{2024x}{x+1} > 0 \] Ta có hai trường hợp: 1. \( 2024x > 0 \) và \( x + 1 > 0 \) \[ x > 0 \quad \text{và} \quad x > -1 \quad \Rightarrow \quad x > 0 \] 2. \( 2024x < 0 \) và \( x + 1 < 0 \) \[ x < 0 \quad \text{và} \quad x < -1 \quad \Rightarrow \quad x < -1 \] Vậy tập xác định của hàm số là: \[ D = (-\infty, -1) \cup (0, +\infty) \] Đáp số: a) \(\lim_{x \to 1} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1} = \frac{1}{2}\) b) Tập xác định của hàm số \( y = f(x) \) là \( D = (-\infty, -1) \cup (0, +\infty) \)