Giả sử một hạt chuyển động trên một trục thẳng đứng chiều dương hướng lên trên sao cho tọa độ của hạt (đơn vị: mét) tại thời điểm t (giây) là y = t 3 − 12 t + 3 , t ≥ 0 𝑦 = 𝑡 3 − 12 𝑡 + 3 , 𝑡 ≥ 0...

a) Tìm các hàm vận tốc và gia tốc. - Hàm vận tốc \( v(t) \) là đạo hàm của hàm tọa độ \( y(t) \): \[ v(t) = \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(t^3 - 12t + 3) = 3t^2 - 12 \] - Hàm gia tốc \( a(t) \) là đạo hàm của hàm vận tốc \( v(t) \): \[ a(t) = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(3t^2 - 12) = 6t \] b) Khi nào thì hạt chuyển động lên trên và khi nào thì hạt chuyển động xuống dưới? Hạt chuyển động lên trên khi vận tốc dương (\( v(t) > 0 \)): \[ 3t^2 - 12 > 0 \] \[ t^2 > 4 \] \[ t > 2 \quad \text{hoặc} \quad t < -2 \] Vì \( t \geq 0 \), ta chỉ xét \( t > 2 \). Hạt chuyển động xuống dưới khi vận tốc âm (\( v(t) < 0 \)): \[ 3t^2 - 12 < 0 \] \[ t^2 < 4 \] \[ -2 < t < 2 \] Vì \( t \geq 0 \), ta chỉ xét \( 0 \leq t < 2 \). c) Tìm quãng đường hạt đi được trong khoảng thời gian \( 0 \leq t \leq 3 \). Quãng đường \( D \) là tích phân của giá trị tuyệt đối của vận tốc: \[ D = \int_{0}^{3} |v(t)| \, dt \] Phân tích đoạn thời gian: - Từ \( t = 0 \) đến \( t = 2 \), \( v(t) < 0 \) - Từ \( t = 2 \) đến \( t = 3 \), \( v(t) > 0 \) Do đó: \[ D = \int_{0}^{2} -(3t^2 - 12) \, dt + \int_{2}^{3} (3t^2 - 12) \, dt \] Tính từng tích phân: \[ \int_{0}^{2} -(3t^2 - 12) \, dt = \int_{0}^{2} (-3t^2 + 12) \, dt = \left[ -t^3 + 12t \right]_{0}^{2} = (-8 + 24) - (0) = 16 \] \[ \int_{2}^{3} (3t^2 - 12) \, dt = \left[ t^3 - 12t \right]_{2}^{3} = (27 - 36) - (-8 + 24) = -9 + 16 = 7 \] Quãng đường tổng cộng: \[ D = 16 + 7 = 23 \, \text{mét} \] d) Khi nào hạt tăng tốc? Khi nào hạt giảm tốc? Hạt tăng tốc khi gia tốc dương (\( a(t) > 0 \)): \[ 6t > 0 \] \[ t > 0 \] Hạt giảm tốc khi gia tốc âm (\( a(t) < 0 \)): \[ 6t < 0 \] \[ t < 0 \] Vì \( t \geq 0 \), không có khoảng thời gian nào hạt giảm tốc. Kết luận: - Hạt tăng tốc khi \( t > 0 \). - Hạt không giảm tốc vì \( t \geq 0 \).