cho phương trình lượng giác cot 3x = -1/căn3(*). khi đó

Câu 1. Phương trình lượng giác \( \cot 3x = -\frac{1}{\sqrt{3}} \) có thể được viết lại dưới dạng: \[ \cot 3x = \cot \left( -\frac{\pi}{6} \right) \] Do đó, phương trình này tương đương với: \[ 3x = -\frac{\pi}{6} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \] \[ x = -\frac{\pi}{18} + k\frac{\pi}{3} \quad (k \in \mathbb{Z}) \] Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra từng lựa chọn: a) Phương trình () tương đương \( \cot 3x = \cot \left( -\frac{\pi}{6} \right) \): Đúng, vì \( \cot 3x = -\frac{1}{\sqrt{3}} \) và \( \cot \left( -\frac{\pi}{6} \right) = -\frac{1}{\sqrt{3}} \). b) Phương trình () có nghiệm \( x = \frac{\pi}{9} + k\frac{\pi}{3} \quad (k \in \mathbb{Z}) \): Sai, vì nghiệm đúng là \( x = -\frac{\pi}{18} + k\frac{\pi}{3} \quad (k \in \mathbb{Z}) \). c) Tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng \( \left( -\frac{\pi}{2}, 0 \right) \) bằng \( \frac{-5\pi}{9} \): Chúng ta cần tìm các giá trị của \( k \) sao cho \( x \) nằm trong khoảng \( \left( -\frac{\pi}{2}, 0 \right) \). - Khi \( k = 0 \): \[ x = -\frac{\pi}{18} \] \[ -\frac{\pi}{2} < -\frac{\pi}{18} < 0 \] Nghiệm này thỏa mãn. - Khi \( k = -1 \): \[ x = -\frac{\pi}{18} - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{18} - \frac{6\pi}{18} = -\frac{7\pi}{18} \] \[ -\frac{\pi}{2} < -\frac{7\pi}{18} < 0 \] Nghiệm này cũng thỏa mãn. - Khi \( k = -2 \): \[ x = -\frac{\pi}{18} - 2\frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{18} - \frac{12\pi}{18} = -\frac{13\pi}{18} \] \[ -\frac{\pi}{2} < -\frac{13\pi}{18} < 0 \] Nghiệm này cũng thỏa mãn. Tổng các nghiệm trong khoảng \( \left( -\frac{\pi}{2}, 0 \right) \) là: \[ -\frac{\pi}{18} + (-\frac{7\pi}{18}) + (-\frac{13\pi}{18}) = -\frac{21\pi}{18} = -\frac{7\pi}{6} \] Vậy tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng \( \left( -\frac{\pi}{2}, 0 \right) \) không bằng \( \frac{-5\pi}{9} \). d) Tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng \( \left( -\frac{\pi}{2}, 0 \right) \) bằng \( \frac{-5\pi}{9} \): Sai, vì tổng các nghiệm trong khoảng \( \left( -\frac{\pi}{2}, 0 \right) \) là \( -\frac{7\pi}{6} \). Kết luận: a) Đúng b) Sai c) Sai d) Sai Đáp án: a) Đúng Câu 2. Trước tiên, ta cần tìm số hạng đầu \( u_1 \) và công bội \( q \) của cấp số nhân. Biết rằng: \[ u_2 = 4 \] \[ u_4 = 9 \] Công thức tổng quát của số hạng thứ \( n \) trong cấp số nhân là: \[ u_n = u_1 \cdot q^{n-1} \] Áp dụng vào \( u_2 \): \[ u_2 = u_1 \cdot q^{2-1} = u_1 \cdot q = 4 \quad \text{(1)} \] Áp dụng vào \( u_4 \): \[ u_4 = u_1 \cdot q^{4-1} = u_1 \cdot q^3 = 9 \quad \text{(2)} \] Chia phương trình (2) cho phương trình (1): \[ \frac{u_1 \cdot q^3}{u_1 \cdot q} = \frac{9}{4} \] \[ q^2 = \frac{9}{4} \] \[ q = \pm \frac{3}{2} \] Vì \( q < 0 \), ta chọn: \[ q = -\frac{3}{2} \] Thay \( q = -\frac{3}{2} \) vào phương trình (1): \[ u_1 \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) = 4 \] \[ u_1 = 4 \div \left(-\frac{3}{2}\right) \] \[ u_1 = 4 \times \left(-\frac{2}{3}\right) \] \[ u_1 = -\frac{8}{3} \] Bây giờ, ta kiểm tra các đáp án: a) Số hạng đầu \( u_1 = -\frac{8}{3} \). Đúng. b) Số hạng \( u_5 \): \[ u_5 = u_1 \cdot q^{5-1} = -\frac{8}{3} \cdot \left(-\frac{3}{2}\right)^4 \] \[ u_5 = -\frac{8}{3} \cdot \frac{81}{16} \] \[ u_5 = -\frac{8}{3} \cdot \frac{81}{16} = -\frac{8 \cdot 81}{3 \cdot 16} = -\frac{648}{48} = -\frac{27}{2} \] c) Kiểm tra \( -\frac{2187}{32} \) là số hạng thứ 8: \[ u_8 = u_1 \cdot q^{8-1} = -\frac{8}{3} \cdot \left(-\frac{3}{2}\right)^7 \] \[ u_8 = -\frac{8}{3} \cdot \left(-\frac{2187}{128}\right) \] \[ u_8 = -\frac{8}{3} \cdot -\frac{2187}{128} = \frac{8 \cdot 2187}{3 \cdot 128} = \frac{17496}{384} = \frac{2187}{48} = -\frac{2187}{32} \] d) Công bội \( q = -\frac{3}{2} \). Đúng. Vậy các đáp án đúng là: a) Số hạng đầu \( u_1 = -\frac{8}{3} \) b) Số hạng \( u_5 = -\frac{27}{2} \) c) \( -\frac{2187}{32} \) là số hạng thứ 8 d) Cấp số nhân có công bội \( q = -\frac{3}{2} \) Đáp án: a, b, c, d