giúp mình vứiiii

Câu 4. a) Hàm số $f(x)=\frac{100(x+30)}{x+200}.$ Lý do: Số gam muối ban đầu trong dung dịch là $200 \times 15\% = 30$ gam. Sau khi thêm x gam muối tinh khiết, tổng số gam muối trong dung dịch là $30 + x$. Tổng khối lượng dung dịch mới là $200 + x$. Nồng độ phần trăm của dung dịch mới là $\frac{30 + x}{200 + x} \times 100\%$, do đó hàm số $f(x) = \frac{100(30 + x)}{200 + x}$. b) Đạo hàm của hàm số luôn nhận giá trị âm trên khoảng $(0;+\infty).$ Lý do: Ta tính đạo hàm của hàm số $f(x) = \frac{100(30 + x)}{200 + x}$: \[ f'(x) = \frac{100 \cdot (200 + x) - 100(30 + x) \cdot 1}{(200 + x)^2} = \frac{100 \cdot 200 - 100 \cdot 30}{(200 + x)^2} = \frac{100 \cdot 170}{(200 + x)^2} = \frac{17000}{(200 + x)^2}. \] Do $(200 + x)^2 > 0$ cho mọi $x > 0$, nên $f'(x) > 0$ trên khoảng $(0;+\infty)$. Vậy đạo hàm của hàm số luôn nhận giá trị dương trên khoảng $(0;+\infty)$, không phải âm. c) Thêm, càng nhiều gam muối tinh khiết thì nồng độ phần trăm càng tăng và không vượt quá 100%. Lý do: Vì đạo hàm $f'(x) > 0$ trên khoảng $(0;+\infty)$, hàm số $f(x)$ là hàm số đồng biến trên khoảng này. Do đó, khi thêm càng nhiều gam muối tinh khiết, nồng độ phần trăm của dung dịch sẽ càng tăng. Tuy nhiên, nồng độ phần trăm không thể vượt quá 100%. d) Giới hạn của $f(x)$ khi x dần đến dương vô cực bằng 100. Lý do: Ta tính giới hạn của hàm số $f(x)$ khi $x$ dần đến dương vô cực: \[ \lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{100(30 + x)}{200 + x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{100 \left(\frac{30}{x} + 1\right)}{\frac{200}{x} + 1} = \frac{100 \cdot 1}{1} = 100. \] Vậy đáp án đúng là: a) Hàm số $f(x)=\frac{100(x+30)}{x+200}.$ b) Đạo hàm của hàm số luôn nhận giá trị dương trên khoảng $(0;+\infty).$ c) Thêm, càng nhiều gam muối tinh khiết thì nồng độ phần trăm càng tăng và không vượt quá 100%. d) Giới hạn của $f(x)$ khi x dần đến dương vô cực bằng 100. Câu 1. Để tìm giá trị của biểu thức \( A = 2a + b \), ta cần xác định các điểm cực đại và cực tiểu của hàm số \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 1 \). Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số \( f(x) \): \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 6x^2 + 9x - 1) = 3x^2 - 12x + 9 \] Bước 2: Tìm các điểm cực trị bằng cách giải phương trình đạo hàm bằng 0: \[ f'(x) = 0 \] \[ 3x^2 - 12x + 9 = 0 \] Chia cả hai vế cho 3: \[ x^2 - 4x + 3 = 0 \] Phương trình này có dạng \( ax^2 + bx + c = 0 \). Ta sử dụng công thức nghiệm để giải: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] \[ x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} \] \[ x = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2} \] \[ x = \frac{4 \pm 2}{2} \] \[ x = 3 \quad \text{hoặc} \quad x = 1 \] Bước 3: Xác định tính chất của các điểm cực trị: - Để xác định tính chất của các điểm cực trị, ta tính đạo hàm bậc hai của hàm số: \[ f''(x) = \frac{d}{dx}(3x^2 - 12x + 9) = 6x - 12 \] - Kiểm tra dấu của đạo hàm bậc hai tại các điểm \( x = 1 \) và \( x = 3 \): \[ f''(1) = 6(1) - 12 = -6 < 0 \] Do đó, \( x = 1 \) là điểm cực đại. \[ f''(3) = 6(3) - 12 = 6 > 0 \] Do đó, \( x = 3 \) là điểm cực tiểu. Bước 4: Xác định giá trị của biểu thức \( A = 2a + b \): - Điểm cực đại \( x = a = 1 \) - Điểm cực tiểu \( x = b = 3 \) \[ A = 2a + b = 2(1) + 3 = 2 + 3 = 5 \] Vậy giá trị của biểu thức \( A \) là: \[ \boxed{5} \] Câu 2. Để tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số \( f(x) = \frac{3x + 5}{-x + 7} \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số: - Tâm đối xứng của đồ thị hàm số \( f(x) = \frac{ax + b}{cx + d} \) là điểm \( I \left( -\frac{d}{c}; -\frac{a}{c} \right) \). Trong trường hợp này: - \( a = 3 \) - \( b = 5 \) - \( c = -1 \) - \( d = 7 \) Do đó, tâm đối xứng \( I \) sẽ là: \[ a = -\frac{d}{c} = -\frac{7}{-1} = 7 \] \[ b = -\frac{a}{c} = -\frac{3}{-1} = 3 \] Vậy tâm đối xứng \( I \) là \( (7; 3) \). 2. Tính giá trị của biểu thức \( B = -4a - b \): - Thay \( a = 7 \) và \( b = 3 \) vào biểu thức \( B \): \[ B = -4 \cdot 7 - 3 = -28 - 3 = -31 \] Vậy giá trị của biểu thức \( B \) là \(-31\). Đáp số: \( B = -31 \). Câu 3. Để tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số \( f(x) = 5x - 1 + \frac{8}{x-1} \), ta cần tìm điểm \( I(a; b) \) sao cho \( f(x) + f(2a - x) = 2b \). Bước 1: Tính \( f(2a - x) \) \[ f(2a - x) = 5(2a - x) - 1 + \frac{8}{(2a - x) - 1} \] \[ = 10a - 5x - 1 + \frac{8}{2a - x - 1} \] Bước 2: Tính \( f(x) + f(2a - x) \) \[ f(x) + f(2a - x) = \left( 5x - 1 + \frac{8}{x-1} \right) + \left( 10a - 5x - 1 + \frac{8}{2a - x - 1} \right) \] \[ = 10a - 2 + \frac{8}{x-1} + \frac{8}{2a - x - 1} \] Bước 3: Để \( f(x) + f(2a - x) = 2b \), ta cần: \[ 10a - 2 + \frac{8}{x-1} + \frac{8}{2a - x - 1} = 2b \] Bước 4: Xét giới hạn khi \( x \to 1 \): \[ \lim_{x \to 1} \left( \frac{8}{x-1} + \frac{8}{2a - x - 1} \right) = 0 \] Do đó: \[ 10a - 2 = 2b \] \[ 5a - 1 = b \] Bước 5: Tìm \( a \) và \( b \): Ta thấy rằng \( f(x) \) có dạng \( 5x - 1 + \frac{8}{x-1} \), và tâm đối xứng của nó sẽ nằm ở trung điểm của hai phần tử đối xứng. Do đó, ta có thể suy ra \( a = 1 \) và \( b = 4 \). Bước 6: Tính \( C = a + 3b \): \[ C = 1 + 3 \times 4 = 1 + 12 = 13 \] Vậy giá trị của biểu thức \( C = a + 3b \) là \( 13 \). Câu 4. Để xác định các tham số \(a\), \(b\), và \(c\) của hàm số \(y = ax + b + \frac{1}{x + c}\), chúng ta sẽ dựa vào các đặc điểm của đồ thị đã cho. 1. Xác định đường tiệm cận đứng: - Đường tiệm cận đứng của hàm số \(y = ax + b + \frac{1}{x + c}\) là \(x = -c\). - Từ đồ thị, ta thấy đường tiệm cận đứng là \(x = -1\). Do đó, ta có: \[ -c = -1 \implies c = 1 \] 2. Xác định đường tiệm cận ngang: - Đường tiệm cận ngang của hàm số \(y = ax + b + \frac{1}{x + c}\) là \(y = ax + b\). - Từ đồ thị, ta thấy đường tiệm cận ngang là \(y = x + 1\). Do đó, ta có: \[ a = 1 \quad \text{và} \quad b = 1 \] 3. Tổng \(a + b + c\): - Ta đã xác định được \(a = 1\), \(b = 1\), và \(c = 1\). - Vậy tổng \(a + b + c\) là: \[ a + b + c = 1 + 1 + 1 = 3 \] Đáp số: \(a + b + c = 3\). Câu 5. Để tìm vận tốc tức thời lớn nhất của chất điểm trong 18 giây đầu tiên, chúng ta cần thực hiện các bước sau: 1. Tìm công thức của vận tốc tức thời: Vận tốc tức thời \( v(t) \) của chất điểm là đạo hàm của hàm chuyển động \( s(t) \). Ta có: \[ s(t) = -t^3 + 18t^2 + t + 3 \] Tính đạo hàm của \( s(t) \): \[ v(t) = s'(t) = -3t^2 + 36t + 1 \] 2. Tìm giá trị cực đại của vận tốc tức thời: Để tìm giá trị cực đại của \( v(t) \), ta cần tìm đạo hàm của \( v(t) \) và đặt nó bằng 0: \[ v'(t) = (-3t^2 + 36t + 1)' = -6t + 36 \] Đặt \( v'(t) = 0 \): \[ -6t + 36 = 0 \] \[ t = 6 \] 3. Kiểm tra tính chất của điểm cực trị: Ta kiểm tra đạo hàm thứ hai của \( v(t) \): \[ v''(t) = (-6t + 36)' = -6 \] Vì \( v''(t) = -6 < 0 \), nên \( t = 6 \) là điểm cực đại của \( v(t) \). 4. Tính giá trị của vận tốc tức thời tại điểm cực đại: Thay \( t = 6 \) vào \( v(t) \): \[ v(6) = -3(6)^2 + 36(6) + 1 \] \[ v(6) = -3(36) + 216 + 1 \] \[ v(6) = -108 + 216 + 1 \] \[ v(6) = 109 \] Vậy vận tốc tức thời lớn nhất của chất điểm trong 18 giây đầu tiên là 109 mét/giây. Đáp số: 109 m/s. Câu 1: Trước tiên, ta cần hiểu rằng trong hình hộp, các cạnh song song và bằng nhau. Do đó, vectơ $\overrightarrow{AB}$ sẽ bằng vectơ của bất kỳ cạnh nào song song và bằng cạnh AB. Ta kiểm tra từng đáp án: - A. $\overrightarrow{AC}$: Đây là vectơ từ A đến C, không phải là cạnh song song và bằng AB. - B. $\overrightarrow{AD}$: Đây là vectơ từ A đến D, không phải là cạnh song song và bằng AB. - C. $\overrightarrow{DC}$: Đây là vectơ từ D đến C, không phải là cạnh song song và bằng AB. - D. $\overrightarrow{D'C}$: Đây là vectơ từ D' đến C', và cạnh D'C' song song và bằng cạnh AB. Do đó, vectơ $\overrightarrow{AB}$ bằng vectơ $\overrightarrow{D'C}$. Đáp án đúng là: D. $\overrightarrow{D'C}$. Câu 2: Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta cần hiểu về tính chất của tích vô hướng của hai vectơ ngược hướng. Tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) được định nghĩa là: \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}| \cdot \cos(\theta) \] trong đó \(\theta\) là góc giữa hai vectơ. Nếu hai vectơ ngược hướng, thì góc giữa chúng là 180°. Ta biết rằng: \[ \cos(180^\circ) = -1 \] Do đó, tích vô hướng của hai vectơ ngược hướng sẽ là: \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}| \cdot (-1) = -|\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}| \] Vậy mệnh đề đúng trong các lựa chọn đã cho là: D. \(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = -|\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}|\) Đáp án: D. Câu 3: Để xác định góc $\alpha$ giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ khi $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = -\frac{1}{2} |\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}|$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tính tích vô hướng: Ta đã biết rằng $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = -\frac{1}{2} |\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}|$. 2. Áp dụng công thức tính góc giữa hai vectơ: Công thức tính góc $\alpha$ giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là: \[ \cos \alpha = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}|} \] 3. Thay giá trị vào công thức: Thay $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = -\frac{1}{2} |\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}|$ vào công thức trên, ta có: \[ \cos \alpha = \frac{-\frac{1}{2} |\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}|} = -\frac{1}{2} \] 4. Xác định góc $\alpha$: Biết rằng $\cos \alpha = -\frac{1}{2}$, ta suy ra góc $\alpha$ là: \[ \alpha = 120^\circ \] Vậy góc $\alpha$ giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là $120^\circ$.