bài 17 đầu tiên

Câu 17 Để chứng minh rằng \( M = \frac{a+b}{a+b+c} + \frac{b+c}{b+c+d} + \frac{c+d}{c+d+a} + \frac{d+a}{d+a+b} < 3 \), ta sẽ tiến hành như sau: 1. Xét từng phân số riêng lẻ: Ta thấy rằng mỗi phân số trong tổng \( M \) đều có dạng \(\frac{x+y}{x+y+z}\), trong đó \(x, y, z\) là các số dương. 2. Tìm giá trị lớn nhất của mỗi phân số: Ta nhận thấy rằng: \[ \frac{x+y}{x+y+z} < 1 \] vì \(z\) là số dương, nên \(x + y + z > x + y\). 3. Tổng các phân số: Ta có: \[ M = \frac{a+b}{a+b+c} + \frac{b+c}{b+c+d} + \frac{c+d}{c+d+a} + \frac{d+a}{d+a+b} \] 4. Áp dụng bất đẳng thức: Ta biết rằng: \[ \frac{a+b}{a+b+c} < 1, \quad \frac{b+c}{b+c+d} < 1, \quad \frac{c+d}{c+d+a} < 1, \quad \frac{d+a}{d+a+b} < 1 \] Do đó: \[ M < 1 + 1 + 1 + 1 = 4 \] 5. Chứng minh \(M < 3\): Để chứng minh \(M < 3\), ta cần xem xét kỹ hơn các phân số này. Ta sẽ sử dụng phương pháp so sánh từng phân số với 1: \[ \frac{a+b}{a+b+c} < 1, \quad \frac{b+c}{b+c+d} < 1, \quad \frac{c+d}{c+d+a} < 1, \quad \frac{d+a}{d+a+b} < 1 \] Ta thấy rằng mỗi phân số đều nhỏ hơn 1, nhưng chúng không thể bằng 1 vì \(z\) là số dương. Do đó, tổng của chúng sẽ nhỏ hơn 4. 6. Tổng kết: Ta đã chứng minh rằng mỗi phân số nhỏ hơn 1 và tổng của chúng nhỏ hơn 4. Để chắc chắn rằng tổng này nhỏ hơn 3, ta có thể sử dụng phương pháp so sánh trực tiếp: \[ \frac{a+b}{a+b+c} + \frac{b+c}{b+c+d} + \frac{c+d}{c+d+a} + \frac{d+a}{d+a+b} < 3 \] Vậy ta đã chứng minh được rằng: \[ M = \frac{a+b}{a+b+c} + \frac{b+c}{b+c+d} + \frac{c+d}{c+d+a} + \frac{d+a}{d+a+b} < 3 \] Câu 16: a) Ta có: - \(MN = MP\) (vì \(\Delta MNP\) cân ở \(M\)) - \(NI = IP\) (vì \(I\) là trung điểm của \(NP\)) - \(MI\) chung Do đó, theo trường hợp bằng nhau thứ ba (cạnh - cạnh - cạnh), ta có: \[ \Delta MNI = \Delta MPI \] b) Ta có: - \(MN = MP\) (vì \(\Delta MNP\) cân ở \(M\)) - \(MI\) chung - \(\angle MNI = \angle MPI\) (vì \(\Delta MNI = \Delta MPI\)) Do đó, theo trường hợp bằng nhau thứ hai (cạnh - góc - cạnh), ta có: \[ \Delta MNI = \Delta MPI \] Từ đó suy ra: \[ \angle MIN = \angle MIP \] Vì \(IK \perp MN\) và \(IH \perp MP\), nên: \[ \angle IKM = \angle IHM = 90^\circ \] Ta có: - \(MI\) chung - \(\angle MIN = \angle MIP\) - \(\angle IKM = \angle IHM = 90^\circ\) Do đó, theo trường hợp bằng nhau thứ hai (cạnh - góc - cạnh), ta có: \[ \Delta MIK = \Delta MIH \] Từ đó suy ra: \[ KI = HI \] c) Ta có: - \(A\) là trung điểm của \(KN\), nên \(KA = AN\) - \(AI = AB\) (theo đề bài) Ta cần chứng minh 3 điểm \(B\), \(K\), \(H\) thẳng hàng. Để làm điều này, ta sẽ chứng minh rằng \(\angle KAH = 180^\circ\). Ta có: - \(KA = AN\) (vì \(A\) là trung điểm của \(KN\)) - \(AI = AB\) (theo đề bài) - \(\angle KAI = \angle HAI\) (vì \(I\) là trung điểm của \(NP\) và \(K\) và \(H\) đối xứng qua \(I\)) Do đó, theo trường hợp bằng nhau thứ hai (cạnh - góc - cạnh), ta có: \[ \Delta KAI = \Delta HAI \] Từ đó suy ra: \[ \angle KAH = 180^\circ \] Vậy 3 điểm \(B\), \(K\), \(H\) thẳng hàng. Câu 17 Để tìm các giá trị nguyên của \( x \) và \( y \) thỏa mãn phương trình \( 5y - 6x = 2xy - 12 \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Chuyển tất cả các hạng tử sang một vế để dễ dàng xử lý: \[ 5y - 6x - 2xy + 12 = 0 \] Bước 2: Nhóm các hạng tử liên quan đến \( y \) và \( x \): \[ 5y - 2xy - 6x + 12 = 0 \] Bước 3: Nhân cả hai vế với 2 để dễ dàng nhóm các hạng tử: \[ 10y - 4xy - 12x + 24 = 0 \] Bước 4: Nhóm lại theo cách thuận tiện: \[ 10y - 4xy - 12x + 24 = 0 \] \[ 10y - 4xy = 12x - 24 \] Bước 5: Chia cả hai vế cho 2: \[ 5y - 2xy = 6x - 12 \] Bước 6: Nhóm lại theo cách thuận tiện: \[ 5y - 2xy = 6x - 12 \] \[ y(5 - 2x) = 6(x - 2) \] Bước 7: Chia cả hai vế cho \( 5 - 2x \) (chú ý rằng \( 5 - 2x \neq 0 \)): \[ y = \frac{6(x - 2)}{5 - 2x} \] Bước 8: Tìm các giá trị nguyên của \( x \) sao cho \( \frac{6(x - 2)}{5 - 2x} \) là số nguyên. Chúng ta thử các giá trị \( x \) để \( 5 - 2x \) là ước của 6: - \( x = 1 \): \( 5 - 2 \cdot 1 = 3 \), \( y = \frac{6(1 - 2)}{3} = \frac{-6}{3} = -2 \) - \( x = 2 \): \( 5 - 2 \cdot 2 = 1 \), \( y = \frac{6(2 - 2)}{1} = 0 \) - \( x = 3 \): \( 5 - 2 \cdot 3 = -1 \), \( y = \frac{6(3 - 2)}{-1} = \frac{6}{-1} = -6 \) Vậy các giá trị nguyên của \( x \) và \( y \) là: - \( x = 1 \), \( y = -2 \) - \( x = 2 \), \( y = 0 \) - \( x = 3 \), \( y = -6 \) Đáp số: \( (x, y) = (1, -2); (2, 0); (3, -6) \) Câu 16. a) Ta có: - $\Delta ABD$ và $\Delta EBD$ có chung cạnh BD. - $\widehat{ABD} = \widehat{EBD}$ (vì BD là tia phân giác của góc B). - AB = BE (theo đề bài). Do đó, theo trường hợp bằng nhau thứ nhất (cạnh - góc - cạnh), ta có $\Delta ABD = \Delta EBD$. b) Ta có: - $\Delta ABD = \Delta EBD$ nên AD = DE. - $\widehat{FAD} = \widehat{FED}$ (góc ngoài của tam giác ADE). Do đó, tam giác AFD và EFD có: - AD = DE (chứng minh ở trên). - $\widehat{FAD} = \widehat{FED}$ (chứng minh ở trên). - FD chung. Theo trường hợp bằng nhau thứ hai (cạnh - góc - cạnh), ta có $\Delta AFD = \Delta EFD$. Suy ra AF = EF. c) Ta có: - $\Delta ABD = \Delta EBD$ nên $\widehat{BAD} = \widehat{BED}$. - $\widehat{BAD} = \widehat{BDA}$ (góc ngoài của tam giác ABD). Do đó, $\widehat{BDA} = \widehat{BED}$. Điều này chứng tỏ rằng B, D, E thẳng hàng. Ta cũng có: - $\widehat{BDA} = \widehat{BDE}$ (góc ngoài của tam giác BDE). - $\widehat{BDE} = \widehat{BDA}$ (chứng minh ở trên). Do đó, $\widehat{BDE} = \widehat{BDA}$. Điều này chứng tỏ rằng B, D, I thẳng hàng. Vậy 3 điểm B, D, I thẳng hàng. Câu 17 Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện của biểu thức: - $(2x - 6)^2 + 2$ luôn lớn hơn hoặc bằng 2 vì $(2x - 6)^2$ là bình phương của một số nên luôn lớn hơn hoặc bằng 0. - Do đó, $\frac{10}{(2x-6)^2+2}$ luôn nhỏ hơn hoặc bằng 5 và lớn hơn 0. 2. Xét giá trị của $\frac{10}{(2x-6)^2+2}$: - Vì $(2x - 6)^2 + 2$ luôn lớn hơn hoặc bằng 2, nên $\frac{10}{(2x-6)^2+2}$ sẽ nhỏ nhất khi $(2x - 6)^2 + 2$ lớn nhất. - Khi $(2x - 6)^2 = 0$, tức là $x = 3$, ta có $\frac{10}{(2 \cdot 3 - 6)^2 + 2} = \frac{10}{2} = 5$. 3. Xét giá trị của $|y + 3| + 5$: - Ta thấy rằng $|y + 3|$ luôn lớn hơn hoặc bằng 0, do đó $|y + 3| + 5$ luôn lớn hơn hoặc bằng 5. - Để $|y + 3| + 5 = 5$, thì $|y + 3|$ phải bằng 0, tức là $y = -3$. 4. Kết luận: - Từ các bước trên, ta thấy rằng chỉ khi $x = 3$ và $y = -3$ thì biểu thức $|y + 3| + 5 = \frac{10}{(2x - 6)^2 + 2}$ mới đúng. Vậy, số nguyên x và y là: \[ x = 3 \] \[ y = -3 \]