Cho tam giác ABC cân tại A. 2 đường cao AH và BK cắt nhau tại M. Nối MC. a) CMR: Tam giác MBC cân. b) Vẽ tia Bx song song với tia MC và cắt AH kéo dài tại N. CMR: HM = HN. c) CMR: Tam giác BAN là tam g...

a. Do $\displaystyle \vartriangle ABC$ cân tại A có AH là đường cao ứng với cạnh BC nên AH đồng thời là đường trung trực của BC
$\displaystyle \Rightarrow AH\perp BC,\ BH=CH$
Xét $\displaystyle \vartriangle MHB$ và $\displaystyle \vartriangle MHC$ có
$\displaystyle BH=CH,\ \widehat{MHB} =\widehat{MHC} =90^{0} ,$chung cạnh MH
Suy ra $\displaystyle \vartriangle MHB\ =\vartriangle MHC$ (cạnh - góc - cạnh)
$\displaystyle \Rightarrow MB=MC$
$\displaystyle \Rightarrow \vartriangle MBC$ cân tại M
b. Do $\displaystyle AH\perp BC$ nên $\displaystyle AN\perp BC$
$\displaystyle \Rightarrow \widehat{BHN} =90^{0}$
Do $\displaystyle BN\parallel MC\Rightarrow \widehat{NBH} =\widehat{MCH}$
Xét $\displaystyle \vartriangle NHB$ và $\displaystyle \vartriangle MHC$ có
$\displaystyle \widehat{NHB} =\widehat{MHC} =90^{0} ,\widehat{NBH} =\widehat{MCH} ,HB=HC$
Suy ra $\displaystyle \vartriangle NHB\ =\ \vartriangle MHC$ (góc - cạnh - góc)
$\displaystyle \Rightarrow NH=MH$
c. Xét $\displaystyle \vartriangle ABC$ có $\displaystyle AH\perp BC,\ BK\perp AC$ 
Mà AH và BK cắt nhau tại M
$\displaystyle \Rightarrow $M là trực tâm của $\displaystyle \vartriangle ABC$
$\displaystyle \Rightarrow CM\perp AB$
Mà $\displaystyle CM\parallel BN$
$\displaystyle \Rightarrow AB\perp BN$ 
Do AB và BN cắt nhau tại B nên $\displaystyle AB\perp BN$ tại B
$\displaystyle \Rightarrow \widehat{ABN} =90^{0}$
Do đó $\displaystyle \vartriangle ABN$ là tam giác vuông