Với a,b,c là các số nguyên, chứng minh rằng: (a − b)3 + (b − c)3 + (c − a)3 chia hết cho 6

Để chứng minh rằng \((a - b)^3 + (b - c)^3 + (c - a)^3\) chia hết cho 6, ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Ta xét tổng của ba bình phương: \[ (a - b)^3 + (b - c)^3 + (c - a)^3 \] Bước 2: Ta sử dụng tính chất của tổng ba bình phương: \[ x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx) \] Trong đó, \( x = a - b \), \( y = b - c \), \( z = c - a \). Bước 3: Ta thấy rằng: \[ (a - b) + (b - c) + (c - a) = 0 \] Do đó: \[ (a - b)^3 + (b - c)^3 + (c - a)^3 = 3(a - b)(b - c)(c - a) \] Bước 4: Ta cần chứng minh rằng \( 3(a - b)(b - c)(c - a) \) chia hết cho 6. - Ta biết rằng \( 3(a - b)(b - c)(c - a) \) luôn chia hết cho 3 vì có nhân tử 3. - Để chứng minh \( 3(a - b)(b - c)(c - a) \) chia hết cho 6, ta cần chứng minh rằng \( (a - b)(b - c)(c - a) \) chia hết cho 2. Bước 5: Ta xét các trường hợp: - Nếu trong ba số \( a - b \), \( b - c \), \( c - a \) có ít nhất một số chẵn, thì tích của chúng sẽ chia hết cho 2. - Nếu cả ba số đều lẻ, ta xét tổng của chúng: \[ (a - b) + (b - c) + (c - a) = 0 \] Tổng của ba số lẻ là một số chẵn, do đó ít nhất một trong ba số phải là số chẵn để tổng của chúng là số chẵn. Vậy, trong mọi trường hợp, tích \( (a - b)(b - c)(c - a) \) luôn chia hết cho 2. Bước 6: Kết luận: \[ 3(a - b)(b - c)(c - a) \] chia hết cho cả 3 và 2, do đó chia hết cho 6. Vậy ta đã chứng minh được rằng \((a - b)^3 + (b - c)^3 + (c - a)^3\) chia hết cho 6.