................

Câu 5: Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \( P = x + y \) trong vùng xác định bởi các bất đẳng thức: \[ \left\{ \begin{array}{l} x - y + 2 \geq 0 \\ 2x - y - 1 \leq 0 \\ 3x - y - 2 \geq 0 \end{array} \right. \] Chúng ta sẽ vẽ các đường thẳng tương ứng với các bất đẳng thức này và xác định vùng giải. 1. Vẽ các đường thẳng: - Đường thẳng \( x - y + 2 = 0 \) đi qua điểm \( (-2, 0) \) và \( (0, 2) \). - Đường thẳng \( 2x - y - 1 = 0 \) đi qua điểm \( (0, -1) \) và \( (1, 1) \). - Đường thẳng \( 3x - y - 2 = 0 \) đi qua điểm \( (0, -2) \) và \( (1, 1) \). 2. Xác định vùng giải: - Vùng giải nằm phía trên đường thẳng \( x - y + 2 = 0 \). - Vùng giải nằm phía dưới đường thẳng \( 2x - y - 1 = 0 \). - Vùng giải nằm phía trên đường thẳng \( 3x - y - 2 = 0 \). 3. Tìm giao điểm của các đường thẳng: - Giao điểm của \( x - y + 2 = 0 \) và \( 2x - y - 1 = 0 \): \[ \left\{ \begin{array}{l} x - y + 2 = 0 \\ 2x - y - 1 = 0 \end{array} \right. \] Từ \( x - y + 2 = 0 \Rightarrow y = x + 2 \). Thay vào \( 2x - y - 1 = 0 \): \[ 2x - (x + 2) - 1 = 0 \Rightarrow x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3 \Rightarrow y = 5 \] Vậy giao điểm là \( (3, 5) \). - Giao điểm của \( x - y + 2 = 0 \) và \( 3x - y - 2 = 0 \): \[ \left\{ \begin{array}{l} x - y + 2 = 0 \\ 3x - y - 2 = 0 \end{array} \right. \] Từ \( x - y + 2 = 0 \Rightarrow y = x + 2 \). Thay vào \( 3x - y - 2 = 0 \): \[ 3x - (x + 2) - 2 = 0 \Rightarrow 2x - 4 = 0 \Rightarrow x = 2 \Rightarrow y = 4 \] Vậy giao điểm là \( (2, 4) \). - Giao điểm của \( 2x - y - 1 = 0 \) và \( 3x - y - 2 = 0 \): \[ \left\{ \begin{array}{l} 2x - y - 1 = 0 \\ 3x - y - 2 = 0 \end{array} \right. \] Từ \( 2x - y - 1 = 0 \Rightarrow y = 2x - 1 \). Thay vào \( 3x - y - 2 = 0 \): \[ 3x - (2x - 1) - 2 = 0 \Rightarrow x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1 \Rightarrow y = 1 \] Vậy giao điểm là \( (1, 1) \). 4. Kiểm tra giá trị của biểu thức \( P = x + y \) tại các đỉnh của vùng giải: - Tại \( (3, 5) \): \( P = 3 + 5 = 8 \) - Tại \( (2, 4) \): \( P = 2 + 4 = 6 \) - Tại \( (1, 1) \): \( P = 1 + 1 = 2 \) Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức \( P = x + y \) là 8, đạt được khi \( x = 3 \) và \( y = 5 \). Đáp số: \( P_{max} = 8 \) khi \( x = 3 \) và \( y = 5 \).