cho tam giác abc có ba góc nhọn nội tiếp (o) ba đường cao ad be cf đồng quy tại h a) chứng minh dh.da=de.df b)tia fe cắt đường tròn (o) tại n chứng minh oa vuông góc ef và an là tiếp tuyến của đường...

a) Ta có $\widehat{BDF}=\widehat{CDA}$ (cùng phụ với $\widehat{A}$) $\widehat{DBF}=\widehat{DCA}$ (cùng phụ với $\widehat{B}$) $\Rightarrow \Delta BDF \sim \Delta CDA$ (g-g) $\Rightarrow \frac{BD}{CD}=\frac{DF}{DA}$ $\Rightarrow BD.DA=CD.DF$ Mặt khác ta có $\widehat{BDE}=\widehat{CDF}$ (cùng phụ với $\widehat{C}$) $\widehat{BED}=\widehat{CFD}$ (cùng phụ với $\widehat{B}$) $\Rightarrow \Delta BED \sim \Delta CFD$ (g-g) $\Rightarrow \frac{BD}{CD}=\frac{DE}{DF}$ $\Rightarrow BD.DF=CD.DE$ Từ đó ta có $CD.DE=BD.DA$ $\Rightarrow DE.DA=DF.DB$ b) Ta có $\widehat{EAF}=\widehat{ECF}$ (cùng phụ với $\widehat{A}$) $\widehat{AFE}=\widehat{ACE}$ (cùng phụ với $\widehat{B}$) $\Rightarrow \Delta EAF \sim \Delta ACE$ (g-g) $\Rightarrow \frac{AE}{AC}=\frac{AF}{AE}$ $\Rightarrow AE^{2}=AF.AC$ $\Rightarrow \frac{AE}{AC}=\frac{AF}{AE}$ $\Rightarrow \Delta EAF \sim \Delta ACE$ (cạnh-cạnh-cạnh) $\Rightarrow \widehat{AEF}=\widehat{ACE}$ Mà $\widehat{ACE}+\widehat{OAC}=90^{\circ}$ (góc nội tiếp và góc tâm cùng chắn cung AE) $\Rightarrow \widehat{AEF}+\widehat{OAC}=90^{\circ}$ $\Rightarrow OA \perp EF$ Ta có $\widehat{ANE}=\widehat{AFE}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AE) $\widehat{AFE}=\widehat{ACE}$ (chứng minh trên) $\Rightarrow \widehat{ANE}=\widehat{ACE}$ $\Rightarrow AN$ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ECN c) Ta có $\widehat{QPC}=\widehat{QBC}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung QC) $\widehat{QBC}=\widehat{QFC}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung QC) $\Rightarrow \widehat{QPC}=\widehat{QFC}$ $\Rightarrow BQPC$ là tứ giác nội tiếp Ta có $\widehat{JFI}=\widehat{JBI}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung JI) $\widehat{JBI}=\widehat{HBI}$ (J là trung điểm của BI) $\widehat{HBI}=\widehat{HDI}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung HI) $\Rightarrow \widehat{JFI}=\widehat{HDI}$ $\Rightarrow DFEI$ là tứ giác nội tiếp