Giúp mình với!

Câu 15: a) Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$ là: \[ \overrightarrow{AB} = (2 - 4, -3 - 1) = (-2, -4) \] Tọa độ của vectơ $\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$ là: \[ \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} = \left(\frac{1}{2} \times -2, \frac{1}{2} \times -4\right) = (-1, -2) \] Đáp án: Tọa độ của vectơ $\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$ là $(-1, -2)$. b) Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{BA}$ là: \[ \overrightarrow{BA} = (4 - 2, 1 + 3) = (2, 4) \] Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{BC}$ là: \[ \overrightarrow{BC} = (8 - 2, 9 + 3) = (6, 12) \] Ta thấy rằng $\overrightarrow{BC} = 3 \cdot \overrightarrow{BA}$, do đó vectơ $\overrightarrow{BA}$ cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{BC}$. c) Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AC}$ là: \[ \overrightarrow{AC} = (8 - 4, 9 - 1) = (4, 8) \] Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{CB}$ là: \[ \overrightarrow{CB} = (2 - 8, -3 - 9) = (-6, -12) \] Tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{CB}$ là: \[ \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{CB} = 4 \cdot (-6) + 8 \cdot (-12) = -24 - 96 = -120 \] d) Ta có: \[ 30\overrightarrow{OD} + 19\overrightarrow{DB} - 3\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{0} \] Đặt $\overrightarrow{OD} = \overrightarrow{d}$, $\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{c}$, ta có: \[ 30\overrightarrow{d} + 19(\overrightarrow{b} - \overrightarrow{d}) - 3(\overrightarrow{c} - \overrightarrow{d}) = \overrightarrow{0} \] \[ 30\overrightarrow{d} + 19\overrightarrow{b} - 19\overrightarrow{d} - 3\overrightarrow{c} + 3\overrightarrow{d} = \overrightarrow{0} \] \[ 14\overrightarrow{d} + 19\overrightarrow{b} - 3\overrightarrow{c} = \overrightarrow{0} \] \[ 14\overrightarrow{d} = 3\overrightarrow{c} - 19\overrightarrow{b} \] \[ \overrightarrow{d} = \frac{3}{14}\overrightarrow{c} - \frac{19}{14}\overrightarrow{b} \] Tọa độ của $\overrightarrow{d}$ là: \[ \overrightarrow{d} = \left(\frac{3}{14} \cdot 8 - \frac{19}{14} \cdot 2, \frac{3}{14} \cdot 9 - \frac{19}{14} \cdot (-3)\right) = \left(\frac{24 - 38}{14}, \frac{27 + 57}{14}\right) = \left(-\frac{14}{14}, \frac{84}{14}\right) = (-1, 6) \] Tọa độ của $\overrightarrow{BD}$ là: \[ \overrightarrow{BD} = (-1 - 2, 6 + 3) = (-3, 9) \] Tọa độ của $\overrightarrow{AB}$ là: \[ \overrightarrow{AB} = (-2, -4) \] Tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BD}$ là: \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BD} = -2 \cdot (-3) + (-4) \cdot 9 = 6 - 36 = -30 \] Tích có hướng của hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BD}$ là: \[ |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(-2)^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \] \[ |\overrightarrow{BD}| = \sqrt{(-3)^2 + 9^2} = \sqrt{9 + 81} = \sqrt{90} = 3\sqrt{10} \] \[ \cos(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BD}) = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BD}}{|\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{BD}|} = \frac{-30}{2\sqrt{5} \cdot 3\sqrt{10}} = \frac{-30}{6\sqrt{50}} = \frac{-30}{6 \cdot 5\sqrt{2}} = \frac{-30}{30\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \] Do đó góc $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BD})$ là $135^\circ$. Câu 16: Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước theo yêu cầu của đề bài. a) Tìm mốt của mẫu số liệu: Mốt là giá trị xuất hiện nhiều nhất trong mẫu số liệu. - Thời gian 4 phút: 3 vận động viên - Thời gian 5 phút: 4 vận động viên - Thời gian 6 phút: 3 vận động viên - Thời gian 7 phút: 5 vận động viên - Thời gian 8 phút: 1 vận động viên Giá trị xuất hiện nhiều nhất là 7 phút (5 vận động viên). Vậy mốt của mẫu số liệu là 7. b) Tìm tứ phân vị thứ nhất (Q1) và tứ phân vị thứ ba (Q3): Tứ phân vị thứ nhất (Q1) là giá trị nằm ở vị trí $\frac{n+1}{4}$ trong dãy số đã sắp xếp theo thứ tự tăng dần. Tứ phân vị thứ ba (Q3) là giá trị nằm ở vị trí $\frac{3(n+1)}{4}$ trong dãy số đã sắp xếp theo thứ tự tăng dần. Dãy số đã sắp xếp theo thứ tự tăng dần: 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 8 Số lượng vận động viên là 16. - Tứ phân vị thứ nhất (Q1) nằm ở vị trí $\frac{16+1}{4} = 4,25$. Do đó, Q1 là giá trị giữa 4 và 5, tức là 4,5. - Tứ phân vị thứ ba (Q3) nằm ở vị trí $\frac{3(16+1)}{4} = 12,75$. Do đó, Q3 là giá trị giữa 7 và 7, tức là 7. c) Tìm độ lệch chuẩn: Độ lệch chuẩn là căn bậc hai của phương sai. Phương sai được tính bằng cách lấy tổng bình phương các giá trị trừ đi giá trị trung bình, chia cho số lượng giá trị. Trước tiên, tính giá trị trung bình (trung vị): \[ \text{Trung bình} = \frac{(4 \times 3) + (5 \times 4) + (6 \times 3) + (7 \times 5) + (8 \times 1)}{16} = \frac{12 + 20 + 18 + 35 + 8}{16} = \frac{93}{16} = 5,8125 \] Tiếp theo, tính phương sai: \[ \text{Phương sai} = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n} \] \[ = \frac{(4 - 5,8125)^2 \times 3 + (5 - 5,8125)^2 \times 4 + (6 - 5,8125)^2 \times 3 + (7 - 5,8125)^2 \times 5 + (8 - 5,8125)^2 \times 1}{16} \] \[ = \frac{(1,8125)^2 \times 3 + (0,8125)^2 \times 4 + (0,1875)^2 \times 3 + (1,1875)^2 \times 5 + (2,1875)^2 \times 1}{16} \] \[ = \frac{9,9921875 + 2,640625 + 0,10546875 + 7,0703125 + 4,78515625}{16} \] \[ = \frac{24,69375}{16} = 1,543359375 \] Độ lệch chuẩn: \[ \sigma = \sqrt{1,543359375} \approx 1,24 \] d) Tìm khoảng tứ phân vị: Khoảng tứ phân vị là Q3 - Q1. \[ \text{Khoảng tứ phân vị} = 7 - 4,5 = 2,5 \] Kết luận: a) Mốt của mẫu số liệu trên là 7. b) Tứ phân vị thứ nhất và thứ ba của mẫu số liệu trên lần lượt là 4,5 và 7. c) Độ lệch chuẩn là 1,24. d) Khoảng tứ phân vị là 2,5. Câu 17: Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng phương pháp sơ đồ Venn để xác định số học sinh đăng ký thi các môn Toán, Vật lí, và Hóa học. 1. Xác định các nhóm học sinh: - Số học sinh đăng ký thi Toán: 15 học sinh. - Số học sinh đăng ký thi Vật lí: 10 học sinh. - Số học sinh đăng ký thi Hóa học: 12 học sinh. - Số học sinh đăng ký thi cả Toán và Vật lí: 6 học sinh. - Số học sinh đăng ký thi cả Toán và Hóa học: 8 học sinh. - Số học sinh đăng ký thi cả Vật lí và Hóa học: 4 học sinh. - Số học sinh đăng ký thi cả ba môn: 2 học sinh. 2. Tính số học sinh đăng ký thi từng cặp môn: - Số học sinh đăng ký thi Toán và Vật lí nhưng không đăng ký Hóa học: \[ 6 - 2 = 4 \text{ học sinh} \] - Số học sinh đăng ký thi Toán và Hóa học nhưng không đăng ký Vật lí: \[ 8 - 2 = 6 \text{ học sinh} \] - Số học sinh đăng ký thi Vật lí và Hóa học nhưng không đăng ký Toán: \[ 4 - 2 = 2 \text{ học sinh} \] 3. Tính số học sinh đăng ký thi mỗi môn riêng lẻ: - Số học sinh đăng ký thi Toán nhưng không đăng ký Vật lí và Hóa học: \[ 15 - (4 + 6 + 2) = 3 \text{ học sinh} \] - Số học sinh đăng ký thi Vật lí nhưng không đăng ký Toán và Hóa học: \[ 10 - (4 + 2 + 2) = 2 \text{ học sinh} \] - Số học sinh đăng ký thi Hóa học nhưng không đăng ký Toán và Vật lí: \[ 12 - (6 + 2 + 2) = 2 \text{ học sinh} \] 4. Tổng số học sinh đăng ký thi các môn: - Tổng số học sinh đăng ký thi Toán, Vật lí, và Hóa học: \[ 3 + 2 + 2 + 4 + 6 + 2 + 2 = 21 \text{ học sinh} \] Vậy, lớp 10A có tất cả 21 học sinh đăng ký thi học sinh giỏi các môn Toán, Vật lí, và Hóa học. Câu 18: Để lập hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn \(x\) và \(y\) dựa trên các điều kiện ràng buộc đã cho, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các điều kiện ràng buộc: - Gia đình cần ít nhất 1200 đơn vị protein. - Gia đình cần ít nhất 800 đơn vị lipit. - Gia đình chỉ mua nhiều nhất 2,0 kg thịt bò. - Gia đình chỉ mua nhiều nhất 1,5 kg thịt lợn. 2. Biểu diễn các điều kiện ràng buộc thành bất phương trình: - Mỗi kilogram thịt bò chứa 800 đơn vị protein và 200 đơn vị lipit. - Mỗi kilogram thịt lợn chứa 600 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit. Do đó, tổng số đơn vị protein từ thịt bò và thịt lợn phải lớn hơn hoặc bằng 1200: \[ 800x + 600y \geq 1200 \] Tổng số đơn vị lipit từ thịt bò và thịt lợn phải lớn hơn hoặc bằng 800: \[ 200x + 400y \geq 800 \] Số kilogram thịt bò mua không vượt quá 2,0 kg: \[ x \leq 2 \] Số kilogram thịt lợn mua không vượt quá 1,5 kg: \[ y \leq 1,5 \] Các biến \(x\) và \(y\) phải là số không âm: \[ x \geq 0 \] \[ y \geq 0 \] 3. Tổng hợp các bất phương trình: Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn \(x\) và \(y\) là: \[ \begin{cases} 800x + 600y \geq 1200 \\ 200x + 400y \geq 800 \\ x \leq 2 \\ y \leq 1,5 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases} \] Vậy, có 6 bất phương trình trong hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn \(x\) và \(y\) thỏa mãn các điều kiện ràng buộc nêu trên.