giúp mình với ạ $(3)~y=x^2+\frac2x$,tìm GTNN $[\frac12,2]$

Question

Accepted Answer

Để tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số $ y = x^2 + \frac{2}{x} $ trên đoạn $\left[\frac{1}{2}, 2\right]$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tìm đạo hàm của hàm số:
$$ y&#x27; = \frac{d}{dx}\left(x^2 + \frac{2}{x}\right) = 2x - \frac{2}{x^2} $$

2. Tìm các điểm cực trị trong khoảng $\left(\frac{1}{2}, 2\right)$:
   Giải phương trình đạo hàm bằng 0:
$$ 2x - \frac{2}{x^2} = 0 $$
$$ 2x = \frac{2}{x^2} $$
$$ x^3 = 1 $$
$$ x = 1 $$

3. Kiểm tra các giá trị tại các điểm biên và điểm cực trị:
   - Tại $ x = \frac{1}{2} $:
$$ y\left(\frac{1}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \frac{2}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{4} + 4 = 4.25 $$

- Tại $ x = 1 $:
$$ y(1) = 1^2 + \frac{2}{1} = 1 + 2 = 3 $$

- Tại $ x = 2 $:
$$ y(2) = 2^2 + \frac{2}{2} = 4 + 1 = 5 $$

4. So sánh các giá trị để tìm GTNN:
   Các giá trị của hàm số tại các điểm kiểm tra là:
   - $ y\left(\frac{1}{2}\right) = 4.25 $
   - $ y(1) = 3 $
   - $ y(2) = 5 $

Trong các giá trị này, giá trị nhỏ nhất là 3, đạt được khi $ x = 1 $.

Kết luận:
Giá trị nhỏ nhất của hàm số $ y = x^2 + \frac{2}{x} $ trên đoạn $\left[\frac{1}{2}, 2\right]$ là 3, đạt được khi $ x = 1 $.