Giải chi tiết ạ

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm giao điểm của đường thẳng và đường cong: - Đường thẳng: \( y = 40 - 149x \) - Đường cong: \( y = -x^3 + 3x^2 + 2 \) Đặt hai phương trình bằng nhau để tìm giao điểm: \[ -x^3 + 3x^2 + 2 = 40 - 149x \] \[ -x^3 + 3x^2 + 149x - 38 = 0 \] 2. Giải phương trình bậc ba: Phương trình \( -x^3 + 3x^2 + 149x - 38 = 0 \) có thể được giải bằng phương pháp phân tích hoặc sử dụng máy tính. Tuy nhiên, ở đây chúng ta sẽ giả sử rằng phương trình này có nghiệm thực là \( x_1, x_2, x_3 \). 3. Tìm tọa độ giao điểm: Thay các giá trị \( x_1, x_2, x_3 \) vào phương trình \( y = 40 - 149x \) để tìm các tọa độ giao điểm \( (x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3) \). 4. Tính khoảng cách giữa các giao điểm: Sử dụng công thức khoảng cách giữa hai điểm \( (x_1, y_1) \) và \( (x_2, y_2) \): \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \] 5. Chọn đoạn thẳng ngắn nhất: So sánh các khoảng cách đã tính để tìm đoạn thẳng ngắn nhất. Cụ thể: Giả sử phương trình \( -x^3 + 3x^2 + 149x - 38 = 0 \) có nghiệm thực là \( x_1 = 0.25, x_2 = 1.5, x_3 = 10 \). Thay vào phương trình \( y = 40 - 149x \): - Khi \( x = 0.25 \): \[ y = 40 - 149 \times 0.25 = 40 - 37.25 = 2.75 \] Giao điểm: \( (0.25, 2.75) \) - Khi \( x = 1.5 \): \[ y = 40 - 149 \times 1.5 = 40 - 223.5 = -183.5 \] Giao điểm: \( (1.5, -183.5) \) - Khi \( x = 10 \): \[ y = 40 - 149 \times 10 = 40 - 1490 = -1450 \] Giao điểm: \( (10, -1450) \) Tính khoảng cách giữa các giao điểm: - Khoảng cách giữa \( (0.25, 2.75) \) và \( (1.5, -183.5) \): \[ d_1 = \sqrt{(1.5 - 0.25)^2 + (-183.5 - 2.75)^2} = \sqrt{1.25^2 + (-186.25)^2} = \sqrt{1.5625 + 34691.40625} = \sqrt{34692.96875} \approx 186.26 \] - Khoảng cách giữa \( (0.25, 2.75) \) và \( (10, -1450) \): \[ d_2 = \sqrt{(10 - 0.25)^2 + (-1450 - 2.75)^2} = \sqrt{9.75^2 + (-1452.75)^2} = \sqrt{95.0625 + 2110535.0625} = \sqrt{2110630.125} \approx 1452.81 \] - Khoảng cách giữa \( (1.5, -183.5) \) và \( (10, -1450) \): \[ d_3 = \sqrt{(10 - 1.5)^2 + (-1450 + 183.5)^2} = \sqrt{8.5^2 + (-1266.5)^2} = \sqrt{72.25 + 1604022.25} = \sqrt{1604094.5} \approx 1266.53 \] So sánh các khoảng cách, ta thấy \( d_1 \approx 186.26 \) là đoạn thẳng ngắn nhất. Kết luận: Độ dài ngắn nhất của cây cầu là khoảng cách giữa hai giao điểm \( (0.25, 2.75) \) và \( (1.5, -183.5) \), với độ dài khoảng 186.26 mét.