cho tam giác ABC nhọn có trung tuyến BM. Tia phân giác của góc C cắt AB tại D, BM cắt CD tại P. Qua A kẻ đường thẳng song song với CD, cắt PM tại K. a, Chứng minh APCK là hình bình hành. b, Gọi E là tr...

a) Ta có \(AK \parallel CD\) (theo đề bài) và \(P\) là giao điểm của \(BM\) và \(CD\). Do đó, ta có: - \(AP \parallel CK\) (vì \(AK \parallel CD\) và \(P\) nằm trên \(CD\)). - \(PK \parallel AC\) (vì \(AK \parallel CD\) và \(P\) nằm trên \(CD\)). Do đó, tứ giác \(APCK\) có hai cặp cạnh đối song song, nên \(APCK\) là hình bình hành. b) Ta có \(E\) là trung điểm của \(AP\), do đó \(AE = EP\). Vì \(APCK\) là hình bình hành, nên \(AC \parallel PK\) và \(AC = PK\). Xét tam giác \(APM\): - \(E\) là trung điểm của \(AP\). - \(F\) là giao điểm của \(EM\) và \(KC\). Ta cần chứng minh \(MF = \frac{1}{2} PC\). Xét tam giác \(APC\): - \(E\) là trung điểm của \(AP\). - \(F\) là giao điểm của \(EM\) và \(KC\). Vì \(APCK\) là hình bình hành, nên \(KC \parallel AM\) và \(KC = AM\). Do đó, \(F\) là trung điểm của \(KC\). Xét tam giác \(PMC\): - \(F\) là trung điểm của \(KC\). - \(M\) là trung điểm của \(BC\). Theo định lý đường trung bình trong tam giác, đường thẳng nối trung điểm của hai cạnh của tam giác sẽ song song với cạnh còn lại và bằng nửa cạnh đó. Do đó, \(MF = \frac{1}{2} PC\). Vậy, ta đã chứng minh được \(MF = \frac{1}{2} PC\). Đáp số: \(MF = \frac{1}{2} PC\).