tự luậnnnnnn

Câu 2. a) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC và tính chu vi tam giác ABC. Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là: \[ G\left(\frac{1-3+5}{3};\frac{-2-1-3}{3};\frac{2+4+0}{3}\right)=G(1;-2;2) \] Tính khoảng cách giữa các đỉnh của tam giác ABC: \[ AB = \sqrt{(1 - (-3))^2 + (-2 - (-1))^2 + (2 - 4)^2} = \sqrt{16 + 1 + 4} = \sqrt{21} \] \[ AC = \sqrt{(1 - 5)^2 + (-2 - (-3))^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt{16 + 1 + 4} = \sqrt{21} \] \[ BC = \sqrt{(-3 - 5)^2 + (-1 - (-3))^2 + (4 - 0)^2} = \sqrt{64 + 4 + 16} = \sqrt{84} = 2\sqrt{21} \] Chu vi của tam giác ABC là: \[ P_{ABC} = AB + AC + BC = \sqrt{21} + \sqrt{21} + 2\sqrt{21} = 4\sqrt{21} \] b) Viết phương trình mặt cầu đường kính BC và tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành Trung điểm của đoạn thẳng BC (điểm tâm của mặt cầu): \[ I\left(\frac{-3+5}{2};\frac{-1-3}{2};\frac{4+0}{2}\right) = I(1;-2;2) \] Bán kính của mặt cầu: \[ R = \frac{BC}{2} = \frac{2\sqrt{21}}{2} = \sqrt{21} \] Phương trình mặt cầu: \[ (x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z - 2)^2 = 21 \] Để ABCD là hình bình hành, ta có: \[ \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} \] Tọa độ của điểm D: \[ D = A + \overrightarrow{BC} = (1, -2, 2) + (8, -2, -4) = (9, -4, -2) \] c) Tìm tọa độ điểm M sao cho \(\overrightarrow{MA} = -3\overrightarrow{MB}\) Gọi M có tọa độ (x, y, z). Ta có: \[ \overrightarrow{MA} = (1 - x, -2 - y, 2 - z) \] \[ \overrightarrow{MB} = (-3 - x, -1 - y, 4 - z) \] Theo đề bài: \[ (1 - x, -2 - y, 2 - z) = -3(-3 - x, -1 - y, 4 - z) \] Từ đó ta có hệ phương trình: \[ 1 - x = -3(-3 - x) \Rightarrow 1 - x = 9 + 3x \Rightarrow 4x = -8 \Rightarrow x = -2 \] \[ -2 - y = -3(-1 - y) \Rightarrow -2 - y = 3 + 3y \Rightarrow 4y = -5 \Rightarrow y = -\frac{5}{4} \] \[ 2 - z = -3(4 - z) \Rightarrow 2 - z = -12 + 3z \Rightarrow 4z = 14 \Rightarrow z = \frac{7}{2} \] Vậy tọa độ của điểm M là: \[ M\left(-2;-\frac{5}{4};\frac{7}{2}\right) \]