Giúp mình vs ạ

Câu 20. Để tìm điểm đối xứng của điểm \( A(1;2;-3) \) qua mặt phẳng \( (Oxy) \), ta thực hiện các bước sau: 1. Hiểu về tính chất đối xứng qua mặt phẳng \( (Oxy) \): - Mặt phẳng \( (Oxy) \) là mặt phẳng nằm trong không gian Oxyz, bao gồm các điểm có tọa độ \( (x,y,0) \). - Điểm đối xứng của một điểm \( (x,y,z) \) qua mặt phẳng \( (Oxy) \) sẽ có tọa độ \( (x,y,-z) \). 2. Áp dụng vào điểm \( A(1;2;-3) \): - Tọa độ của điểm \( A \) là \( (1, 2, -3) \). - Điểm đối xứng của \( A \) qua mặt phẳng \( (Oxy) \) sẽ có tọa độ \( (1, 2, -(-3)) \). 3. Tính toán: - \( -(-3) = 3 \). 4. Kết luận: - Tọa độ của điểm đối xứng của \( A \) qua mặt phẳng \( (Oxy) \) là \( (1, 2, 3) \). Do đó, đáp án đúng là: C. \( (1;2;3) \). Câu 21. Để tìm các điểm cực trị của hàm số \( y = x^3 - 5x^2 + 3x + 1 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 5x^2 + 3x + 1) = 3x^2 - 10x + 3 \] 2. Xác định các điểm cực trị bằng cách giải phương trình đạo hàm bằng 0: \[ y' = 0 \] \[ 3x^2 - 10x + 3 = 0 \] 3. Giải phương trình bậc hai: \[ 3x^2 - 10x + 3 = 0 \] Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Trong đó, \( a = 3 \), \( b = -10 \), \( c = 3 \). \[ x = \frac{10 \pm \sqrt{(-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3}}{2 \cdot 3} \] \[ x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 36}}{6} \] \[ x = \frac{10 \pm \sqrt{64}}{6} \] \[ x = \frac{10 \pm 8}{6} \] Ta có hai nghiệm: \[ x_1 = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3 \] \[ x_2 = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \] 4. Tính tổng các điểm cực trị: \[ x_1 + x_2 = 3 + \frac{1}{3} = \frac{9}{3} + \frac{1}{3} = \frac{10}{3} \] Vậy tổng \( x_1 + x_2 \) có giá trị bằng \(\frac{10}{3}\). Đáp án đúng là: D. $\frac{10}{3}$. Câu 22. Để tìm độ dài cạnh của hình vuông ABCD, ta cần tính khoảng cách giữa hai đỉnh B và D. Bước 1: Tính khoảng cách giữa hai điểm B và D. - Tọa độ của B là (3, 0, 8) - Tọa độ của D là (-5, -4, 0) Khoảng cách giữa hai điểm B và D được tính bằng công thức: \[ BD = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \] Thay tọa độ của B và D vào công thức: \[ BD = \sqrt{((-5) - 3)^2 + ((-4) - 0)^2 + (0 - 8)^2} \] \[ BD = \sqrt{(-8)^2 + (-4)^2 + (-8)^2} \] \[ BD = \sqrt{64 + 16 + 64} \] \[ BD = \sqrt{144} \] \[ BD = 12 \] Vậy độ dài cạnh của hình vuông ABCD là 12. Đáp án đúng là: D. 12 Câu 23. Để tìm hàm số \( f(x) \) mà \( F(x) = 5x^3 + 4x^2 - 7x + 120 + C \) là họ nguyên hàm, ta cần tính đạo hàm của \( F(x) \). Bước 1: Tính đạo hàm của \( F(x) \): \[ F'(x) = \frac{d}{dx}(5x^3 + 4x^2 - 7x + 120 + C) \] Áp dụng công thức đạo hàm: \[ \frac{d}{dx}(5x^3) = 15x^2 \] \[ \frac{d}{dx}(4x^2) = 8x \] \[ \frac{d}{dx}(-7x) = -7 \] \[ \frac{d}{dx}(120) = 0 \] \[ \frac{d}{dx}(C) = 0 \] Vậy: \[ F'(x) = 15x^2 + 8x - 7 \] Bước 2: So sánh kết quả với các đáp án đã cho: A. \( f(x) = 5x^2 + 4x - 7 \) B. \( f(x) = 5x^2 + 4x + 7 \) C. \( f(x) = \frac{5x^2}{4} + \frac{4x^2}{3} - \frac{7x^2}{2} \) D. \( f(x) = 15x^2 + 8x - 7 \) Ta thấy rằng \( F'(x) = 15x^2 + 8x - 7 \) khớp với đáp án D. Vậy đáp án đúng là: D. \( f(x) = 15x^2 + 8x - 7 \). Câu 24. Để tìm nguyên hàm của hàm số \( y = x^2 - 3x + \frac{1}{x} \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm nguyên hàm từng phần của mỗi thành phần trong hàm số. - Nguyên hàm của \( x^2 \): \[ \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} + C_1 \] - Nguyên hàm của \( -3x \): \[ \int -3x \, dx = -\frac{3x^2}{2} + C_2 \] - Nguyên hàm của \( \frac{1}{x} \): \[ \int \frac{1}{x} \, dx = \ln |x| + C_3 \] Bước 2: Kết hợp các nguyên hàm lại với nhau: \[ F(x) = \frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + \ln |x| + C \] Trong đó, \( C \) là hằng số tích phân tổng quát, bao gồm cả \( C_1, C_2, \) và \( C_3 \). Do đó, đáp án đúng là: B. \( F(x) = \frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + \ln |x| + C \) Đáp án: B. \( F(x) = \frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + \ln |x| + C \) Câu 25. Để tìm $F(x)$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm nguyên hàm của $f(x)$: Ta biết rằng: - Nguyên hàm của $e^x$ là $e^x + C_1$. - Nguyên hàm của $2x$ là $x^2 + C_2$. Do đó, nguyên hàm của $f(x) = e^x + 2x$ là: \[ F(x) = e^x + x^2 + C \] trong đó $C$ là hằng số. 2. Áp dụng điều kiện $F(0) = 2$: Thay $x = 0$ vào $F(x)$: \[ F(0) = e^0 + 0^2 + C = 1 + C \] Theo đề bài, $F(0) = 2$, vậy: \[ 1 + C = 2 \implies C = 1 \] 3. Viết lại $F(x)$ với giá trị của $C$: Thay $C = 1$ vào $F(x)$: \[ F(x) = e^x + x^2 + 1 \] Vậy đáp án đúng là: D. $F(x) = e^x + x^2 + 1$. Câu 26. Để tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 3\sqrt{x} + x^{2008} \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định từng thành phần của hàm số: - \( 3\sqrt{x} \) có thể viết lại dưới dạng \( 3x^{\frac{1}{2}} \) - \( x^{2008} \) Bước 2: Tìm nguyên hàm của mỗi thành phần riêng lẻ: - Nguyên hàm của \( 3x^{\frac{1}{2}} \): \[ \int 3x^{\frac{1}{2}} \, dx = 3 \int x^{\frac{1}{2}} \, dx = 3 \cdot \frac{x^{\frac{1}{2} + 1}}{\frac{1}{2} + 1} + C = 3 \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C = 3 \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C = 2x^{\frac{3}{2}} + C = 2\sqrt{x^3} + C \] - Nguyên hàm của \( x^{2008} \): \[ \int x^{2008} \, dx = \frac{x^{2008 + 1}}{2008 + 1} + C = \frac{x^{2009}}{2009} + C \] Bước 3: Kết hợp các nguyên hàm đã tìm được: \[ \int (3\sqrt{x} + x^{2008}) \, dx = 2\sqrt{x^3} + \frac{x^{2009}}{2009} + C \] Do đó, đáp án đúng là: B. \( 2\sqrt{x^3} + \frac{x^{2009}}{2009} + C \) Câu 27. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết. a) Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là \( x = 1 \). Điều kiện xác định của hàm số \( y = \frac{x^2 + x + 2}{x - 1} \) là \( x \neq 1 \). Do đó, đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là \( x = 1 \). b) Đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là \( y = x + 2 \). Để tìm đường tiệm cận xiên, ta chia tử số cho mẫu số: \[ y = \frac{x^2 + x + 2}{x - 1} = x + 2 + \frac{4}{x - 1}. \] Khi \( x \to \pm \infty \), \(\frac{4}{x - 1} \to 0\), vậy đường tiệm cận xiên là \( y = x + 2 \). c) Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là \( A(-1; -1) \). Để tìm điểm cực trị, ta tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = \left( \frac{x^2 + x + 2}{x - 1} \right)' = \frac{(2x + 1)(x - 1) - (x^2 + x + 2)}{(x - 1)^2} = \frac{x^2 - 2x - 3}{(x - 1)^2}. \] Tìm các điểm mà đạo hàm bằng 0: \[ x^2 - 2x - 3 = 0 \Rightarrow (x - 3)(x + 1) = 0 \Rightarrow x = 3 \text{ hoặc } x = -1. \] Kiểm tra dấu của đạo hàm ở các khoảng: - Khi \( x < -1 \), \( y' > 0 \). - Khi \( -1 < x < 1 \), \( y' < 0 \). - Khi \( 1 < x < 3 \), \( y' < 0 \). - Khi \( x > 3 \), \( y' > 0 \). Do đó, hàm số đạt cực tiểu tại \( x = -1 \): \[ y(-1) = \frac{(-1)^2 + (-1) + 2}{-1 - 1} = \frac{1 - 1 + 2}{-2} = \frac{2}{-2} = -1. \] Vậy điểm cực tiểu là \( A(-1; -1) \). d) Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số giao với hai trục tọa độ tạo thành một tam giác có diện tích bằng \(\frac{1}{4}\). Hàm số đạt cực đại tại \( x = 3 \): \[ y(3) = \frac{3^2 + 3 + 2}{3 - 1} = \frac{9 + 3 + 2}{2} = \frac{14}{2} = 7. \] Vậy điểm cực đại là \( B(3; 7) \). Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị \( A(-1; -1) \) và \( B(3; 7) \): \[ y + 1 = \frac{7 + 1}{3 + 1}(x + 1) \Rightarrow y + 1 = 2(x + 1) \Rightarrow y = 2x + 1. \] Đường thẳng này cắt trục \( Oy \) tại điểm \( (0; 1) \) và cắt trục \( Ox \) tại điểm \( \left( -\frac{1}{2}; 0 \right) \). Diện tích tam giác tạo bởi đường thẳng này và hai trục tọa độ: \[ S = \frac{1}{2} \times \left| -\frac{1}{2} \right| \times 1 = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}. \] Vậy đáp án đúng là: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng. Câu 28. Hàm số đã cho là \( y = x^3 - 3x^2 + 2 \). Để tìm đạo hàm của hàm số này, chúng ta áp dụng quy tắc đạo hàm từng phần cho mỗi hạng tử trong biểu thức. 1. Đạo hàm của \( x^3 \): \[ \left( x^3 \right)' = 3x^2 \] 2. Đạo hàm của \( -3x^2 \): \[ \left( -3x^2 \right)' = -3 \cdot 2x = -6x \] 3. Đạo hàm của hằng số 2: \[ (2)' = 0 \] Gộp lại, đạo hàm của hàm số \( y = x^3 - 3x^2 + 2 \) là: \[ y' = 3x^2 - 6x + 0 = 3x^2 - 6x \] Vậy đạo hàm của hàm số đã cho là: \[ y' = 3x^2 - 6x \]