Bjghjgggjjgđgjjbb BÀI TẬP ĐƯỜNG THẲNG- MẶT CẦU,5.13. Trong không gian Oxyz, viết các phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng $\Delta$,đi qua hai điểm $A(2;3;-1)$ và $B(1;-2;4).$,5.14. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng:,$\Delta_1:\left\{\begin{array}lx=1+2t\y=3-t\z=2+3t\end{array} ight.$ và $\Delta_2:\frac{x-8}{-1}=\frac{y+2}1=\frac{z-2}2.$,a) Chứng minh rằng $\Delta_1$ và $\Delta_2$ cắt nhau.,b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa $\Delta_1$ và $\Delta_2.$,5.15. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng:,$\Delta_1:\frac{x-1}3=\frac{y-3}1=\frac{z-2}2$ và $\Delta_2:\frac{x-1}3=\frac{x+1}1=\frac z2.$,a) Chứng minh rằng $\Delta_1$ và $\Delta_2$ song song với nhau.,b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa $\Delta_1$ và $\Delta_2.$,5.16. Trong không gian Oxyz, xác định vị trí tương đối giữa hai đường thẳng:,$\Delta_1:\left\{\begin{array}lx=-1+t\y=1\z=3+2t\end{array} ight.$ và $\Delta_2:\left\{\begin{array}lx=-1+2s\y=2+s\z=1+3s.\end{array} ight.$,5.20. Trong không gian Oxyz, tính góc giữa hai đường thẳng:,$\Delta_1:\left\{\begin{array}lx=1+2t\y=1-t\z=2+3t\end{array} ight.$ và $\Delta_2:\frac{x-2}{-1}=\frac{x+1}1=\frac{z-2}2.$,5.21. Trong không gian Oxyz, tính góc giữa trục Oz và mặt phẳng $(P):~x+2y-z-1=0.$,5.22. Tính góc giữa đường thẳng $\Delta:~\frac{x+1}{-1}=\frac{y-3}2=\frac{z+2}3$ và mặt phẳng $(P):~x+y+z+3=0.$,5.25. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình $(x-\frac12)^2+(y+1)^2+z^2=9.$,Xác định tâm và bán kính của (S).,5.26. Trong không gian Oxyz, viết phương trình của mặt cầu (S) có tâm $I(-2;0;5)$ và bán,kính $R=2.$,5.27. Trong không gian Oxyz, viết phương trình của mặt cầu (S) có tâm $I(0;3;-1)$ và có bản,kính bằng khoảng cách từ 1 đến mặt phẳng $(P):~3x+2y-z=0.$,5.28. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $(S):~x^2+y^2+z^2+2x-2y+8z-18=0.$ Xác định,tâm, tính bán kính của (S).

Question

Bjghjgggjjgđgjjbb BÀI TẬP ĐƯỜNG THẲNG- MẶT CẦU,5.13. Trong không gian Oxyz, viết các phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng $\Delta$,đi qua hai điểm $A(2;3;-1)$ và $B(1;-2;4).$,5.14. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng:,$\Delta_1:\left\{\begin{array}lx=1+2t\y=3-t\z=2+3t\end{array}ight.$ và $\Delta_2:\frac{x-8}{-1}=\frac{y+2}1=\frac{z-2}2.$,a) Chứng minh rằng $\Delta_1$ và $\Delta_2$ cắt nhau.,b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa $\Delta_1$ và $\Delta_2.$,5.15. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng:,$\Delta_1:\frac{x-1}3=\frac{y-3}1=\frac{z-2}2$ và $\Delta_2:\frac{x-1}3=\frac{x+1}1=\frac z2.$,a) Chứng minh rằng $\Delta_1$ và $\Delta_2$ song song với nhau.,b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa $\Delta_1$ và $\Delta_2.$,5.16. Trong không gian Oxyz, xác định vị trí tương đối giữa hai đường thẳng:,$\Delta_1:\left\{\begin{array}lx=-1+t\y=1\z=3+2t\end{array}ight.$ và $\Delta_2:\left\{\begin{array}lx=-1+2s\y=2+s\z=1+3s.\end{array}ight.$,5.20. Trong không gian Oxyz, tính góc giữa hai đường thẳng:,$\Delta_1:\left\{\begin{array}lx=1+2t\y=1-t\z=2+3t\end{array}ight.$ và $\Delta_2:\frac{x-2}{-1}=\frac{x+1}1=\frac{z-2}2.$,5.21. Trong không gian Oxyz, tính góc giữa trục Oz và mặt phẳng $(P):~x+2y-z-1=0.$,5.22. Tính góc giữa đường thẳng $\Delta:~\frac{x+1}{-1}=\frac{y-3}2=\frac{z+2}3$ và mặt phẳng $(P):~x+y+z+3=0.$,5.25. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình $(x-\frac12)^2+(y+1)^2+z^2=9.$,Xác định tâm và bán kính của (S).,5.26. Trong không gian Oxyz, viết phương trình của mặt cầu (S) có tâm $I(-2;0;5)$ và bán,kính $R=2.$,5.27. Trong không gian Oxyz, viết phương trình của mặt cầu (S) có tâm $I(0;3;-1)$ và có bản,kính bằng khoảng cách từ 1 đến mặt phẳng $(P):~3x+2y-z=0.$,5.28. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $(S):~x^2+y^2+z^2+2x-2y+8z-18=0.$ Xác định,tâm, tính bán kính của (S).

Accepted Answer

5.13. Đường thẳng $\Delta$ đi qua hai điểm $A(2;3;-1)$ và $B(1;-2;4)$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{AB}=(-1;-5;5)$. Phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ là:
$$
\left\{
\begin{array}{l}
x = 2 - t \
y = 3 - 5t \
z = -1 + 5t
\end{array}
\right.
$$
Phương trình chính tắc của đường thẳng $\Delta$ là:
$$
\frac{x-2}{-1} = \frac{y-3}{-5} = \frac{z+1}{5}
$$

5.14. 
a) Để chứng minh $\Delta_1$ và $\Delta_2$ cắt nhau, ta cần tìm giao điểm của chúng. Ta có:
$$
\left\{
\begin{array}{l}
1 + 2t = 8 - s \
3 - t = -2 + s \
2 + 3t = 2 + 2s
\end{array}
\right.
$$
Giải hệ phương trình này, ta được $t = 1$ và $s = 2$. Thay vào phương trình của $\Delta_1$, ta tìm được giao điểm $(3, 2, 5)$. Vậy $\Delta_1$ và $\Delta_2$ cắt nhau tại điểm $(3, 2, 5)$.
b) Mặt phẳng $(P)$ chứa $\Delta_1$ và $\Delta_2$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = \overrightarrow{u_1} \times \overrightarrow{u_2} = (-1, 1, 1)$. Phương trình mặt phẳng $(P)$ là:
$$
-(x - 3) + (y - 2) + (z - 5) = 0 \Rightarrow -x + y + z = 4
$$

5.15. 
a) Ta thấy vectơ chỉ phương của $\Delta_1$ là $\overrightarrow{u_1} = (3, 1, 2)$ và vectơ chỉ phương của $\Delta_2$ là $\overrightarrow{u_2} = (3, 1, 2)$. Vì $\overrightarrow{u_1} = \overrightarrow{u_2}$ nên $\Delta_1$ và $\Delta_2$ song song với nhau.
b) Mặt phẳng $(P)$ chứa $\Delta_1$ và $\Delta_2$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = \overrightarrow{u_1} \times \overrightarrow{u_2} = (0, 0, 0)$. Do đó, mặt phẳng $(P)$ là mặt phẳng chứa cả hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$.

5.16. Ta thấy vectơ chỉ phương của $\Delta_1$ là $\overrightarrow{u_1} = (1, 0, 2)$ và vectơ chỉ phương của $\Delta_2$ là $\overrightarrow{u_2} = (2, 1, 3)$. Ta có:
$$
\overrightarrow{u_1} \neq k \overrightarrow{u_2} \quad \text{với mọi} \quad k \in \mathbb{R}
$$
Do đó, hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$ chéo nhau.

5.20. Ta thấy vectơ chỉ phương của $\Delta_1$ là $\overrightarrow{u_1} = (2, -1, 3)$ và vectơ chỉ phương của $\Delta_2$ là $\overrightarrow{u_2} = (-1, 1, 2)$. Góc giữa hai đường thẳng là:
$$
\cos \theta = \frac{\overrightarrow{u_1} \cdot \overrightarrow{u_2}}{|\overrightarrow{u_1}| |\overrightarrow{u_2}|} = \frac{-2 - 1 + 6}{\sqrt{14} \sqrt{6}} = \frac{3}{\sqrt{84}}
$$
Vậy góc giữa hai đường thẳng là $\theta = \arccos \left(\frac{3}{\sqrt{84}}\right)$.

5.21. Ta thấy vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là $\overrightarrow{n} = (1, 2, -1)$. Góc giữa trục Oz và mặt phẳng $(P)$ là:
$$
\sin \theta = \frac{|\overrightarrow{k} \cdot \overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{k}| |\overrightarrow{n}|} = \frac{|0 + 0 - 1|}{1 \sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{6}}
$$
Vậy góc giữa trục Oz và mặt phẳng $(P)$ là $\theta = \arcsin \left(\frac{1}{\sqrt{6}}\right)$.

5.22. Ta thấy vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ là $\overrightarrow{u} = (-1, 2, 3)$ và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là $\overrightarrow{n} = (1, 1, 1)$. Góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $(P)$ là:
$$
\sin \theta = \frac{|\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{u}| |\overrightarrow{n}|} = \frac{|-1 + 2 + 3|}{\sqrt{14} \sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{42}}
$$
Vậy góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $(P)$ là $\theta = \arcsin \left(\frac{4}{\sqrt{42}}\right)$.

5.25. Mặt cầu $(S)$ có phương trình $(x - \frac{1}{2})^2 + (y + 1)^2 + z^2 = 9$. Tâm của mặt cầu là $I(\frac{1}{2}, -1, 0)$ và bán kính là $R = 3$.

5.26. Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(-2, 0, 5)$ và bán kính $R = 2$. Phương trình của mặt cầu là:
$$
(x + 2)^2 + y^2 + (z - 5)^2 = 4
$$

5.27. Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(0, 3, -1)$ và có bán kính bằng khoảng cách từ điểm $I$ đến mặt phẳng $(P): 3x + 2y - z = 0$. Ta có:
$$
d(I, (P)) = \frac{|3 \cdot 0 + 2 \cdot 3 - (-1)|}{\sqrt{3^2 + 2^2 + (-1)^2}} = \frac{7}{\sqrt{14}} = \frac{\sqrt{14}}{2}
$$
Phương trình của mặt cầu là:
$$
x^2 + (y - 3)^2 + (z + 1)^2 = \left(\frac{\sqrt{14}}{2}\right)^2 = \frac{7}{2}
$$

5.28. Mặt cầu $(S)$ có phương trình $x^2 + y^2 + z^2 + 2x - 2y + 8z - 18 = 0$. Ta viết lại phương trình dưới dạng:
$$
(x + 1)^2 + (y - 1)^2 + (z + 4)^2 = 36
$$
Tâm của mặt cầu là $I(-1, 1, -4)$ và bán kính là $R = 6$.