cuuuheppibaybi

1. Khảo sát hàm số \( y = x^3 - 6x^2 + 9x - 2 \) Bước 1: Tìm tập xác định Tập xác định: \( D = \mathbb{R} \) Bước 2: Tìm giới hạn \[ \lim_{x \to -\infty} y = -\infty, \quad \lim_{x \to +\infty} y = +\infty \] Bước 3: Tìm các điểm đặc biệt - Điểm cực đại, cực tiểu: \[ y' = 3x^2 - 12x + 9 \] Giải phương trình \( y' = 0 \): \[ 3x^2 - 12x + 9 = 0 \implies x^2 - 4x + 3 = 0 \implies (x-1)(x-3) = 0 \implies x = 1 \text{ hoặc } x = 3 \] Kiểm tra dấu của \( y' \): - \( y' > 0 \) khi \( x < 1 \) hoặc \( x > 3 \) - \( y' < 0 \) khi \( 1 < x < 3 \) Vậy \( y \) đạt cực đại tại \( x = 1 \) và cực tiểu tại \( x = 3 \). Bước 4: Xác định các giá trị cực đại và cực tiểu - \( y(1) = 1^3 - 6 \cdot 1^2 + 9 \cdot 1 - 2 = 2 \) - \( y(3) = 3^3 - 6 \cdot 3^2 + 9 \cdot 3 - 2 = -2 \) Bước 5: Xác định khoảng đồng biến và nghịch biến - Đồng biến trên \( (-\infty, 1) \cup (3, +\infty) \) - Nghịch biến trên \( (1, 3) \) Bước 6: Xác định đồ thị - Đồ thị cắt trục \( Oy \) tại điểm \( (0, -2) \) - Đồ thị cắt trục \( Ox \) tại các điểm \( x \) thỏa mãn \( x^3 - 6x^2 + 9x - 2 = 0 \) 2. Khảo sát hàm số \( y = -x^3 - x \) Bước 1: Tìm tập xác định Tập xác định: \( D = \mathbb{R} \) Bước 2: Tìm giới hạn \[ \lim_{x \to -\infty} y = +\infty, \quad \lim_{x \to +\infty} y = -\infty \] Bước 3: Tìm các điểm đặc biệt - Điểm cực đại, cực tiểu: \[ y' = -3x^2 - 1 \] Giải phương trình \( y' = 0 \): \[ -3x^2 - 1 = 0 \implies x^2 = -\frac{1}{3} \] Phương trình này vô nghiệm, vậy hàm số không có cực đại, cực tiểu. Bước 4: Xác định khoảng đồng biến và nghịch biến - \( y' < 0 \) trên \( \mathbb{R} \) - Nghịch biến trên \( \mathbb{R} \) Bước 5: Xác định đồ thị - Đồ thị cắt trục \( Oy \) tại điểm \( (0, 0) \) - Đồ thị cắt trục \( Ox \) tại điểm \( (0, 0) \) 3. Khảo sát hàm số \( y = \frac{2x-4}{x+1} \) Bước 1: Tìm tập xác định Tập xác định: \( D = \mathbb{R} \setminus \{-1\} \) Bước 2: Tìm giới hạn \[ \lim_{x \to -1^-} y = -\infty, \quad \lim_{x \to -1^+} y = +\infty \] \[ \lim_{x \to -\infty} y = 2, \quad \lim_{x \to +\infty} y = 2 \] Bước 3: Tìm các điểm đặc biệt - Điểm cực đại, cực tiểu: \[ y' = \frac{(2)(x+1) - (2x-4)(1)}{(x+1)^2} = \frac{2x + 2 - 2x + 4}{(x+1)^2} = \frac{6}{(x+1)^2} \] Giải phương trình \( y' = 0 \): \[ \frac{6}{(x+1)^2} = 0 \implies \text{vô nghiệm} \] Vậy hàm số không có cực đại, cực tiểu. Bước 4: Xác định khoảng đồng biến và nghịch biến - \( y' > 0 \) trên \( \mathbb{R} \setminus \{-1\} \) - Đồng biến trên \( \mathbb{R} \setminus \{-1\} \) Bước 5: Xác định đồ thị - Đồ thị cắt trục \( Oy \) tại điểm \( (0, -4) \) - Đồ thị cắt trục \( Ox \) tại điểm \( (2, 0) \) 4. Khảo sát hàm số \( y = \frac{-x+3}{x-2} \) Bước 1: Tìm tập xác định Tập xác định: \( D = \mathbb{R} \setminus \{2\} \) Bước 2: Tìm giới hạn \[ \lim_{x \to 2^-} y = -\infty, \quad \lim_{x \to 2^+} y = +\infty \] \[ \lim_{x \to -\infty} y = -1, \quad \lim_{x \to +\infty} y = -1 \] Bước 3: Tìm các điểm đặc biệt - Điểm cực đại, cực tiểu: \[ y' = \frac{(-1)(x-2) - (-x+3)(1)}{(x-2)^2} = \frac{-x + 2 + x - 3}{(x-2)^2} = \frac{-1}{(x-2)^2} \] Giải phương trình \( y' = 0 \): \[ \frac{-1}{(x-2)^2} = 0 \implies \text{vô nghiệm} \] Vậy hàm số không có cực đại, cực tiểu. Bước 4: Xác định khoảng đồng biến và nghịch biến - \( y' < 0 \) trên \( \mathbb{R} \setminus \{2\} \) - Nghịch biến trên \( \mathbb{R} \setminus \{2\} \) Bước 5: Xác định đồ thị - Đồ thị cắt trục \( Oy \) tại điểm \( (0, -\frac{3}{2}) \) - Đồ thị cắt trục \( Ox \) tại điểm \( (3, 0) \) 5. Khảo sát hàm số \( y = \frac{x^2 - x + 2}{x + 1} \) Bước 1: Tìm tập xác định Tập xác định: \( D = \mathbb{R} \setminus \{-1\} \) Bước 2: Tìm giới hạn \[ \lim_{x \to -1^-} y = -\infty, \quad \lim_{x \to -1^+} y = +\infty \] \[ \lim_{x \to -\infty} y = x - 2, \quad \lim_{x \to +\infty} y = x - 2 \] Bước 3: Tìm các điểm đặc biệt - Điểm cực đại, cực tiểu: \[ y' = \frac{(2x - 1)(x + 1) - (x^2 - x + 2)(1)}{(x + 1)^2} = \frac{2x^2 + 2x - x - 1 - x^2 + x - 2}{(x + 1)^2} = \frac{x^2 + 2x - 3}{(x + 1)^2} \] Giải phương trình \( y' = 0 \): \[ x^2 + 2x - 3 = 0 \implies (x + 3)(x - 1) = 0 \implies x = -3 \text{ hoặc } x = 1 \] Kiểm tra dấu của \( y' \): - \( y' > 0 \) khi \( x < -3 \) hoặc \( x > 1 \) - \( y' < 0 \) khi \( -3 < x < 1 \) Vậy \( y \) đạt cực đại tại \( x = -3 \) và cực tiểu tại \( x = 1 \). Bước 4: Xác định các giá trị cực đại và cực tiểu - \( y(-3) = \frac{(-3)^2 - (-3) + 2}{-3 + 1} = \frac{9 + 3 + 2}{-2} = -7 \) - \( y(1) = \frac{1^2 - 1 + 2}{1 + 1} = \frac{2}{2} = 1 \) Bước 5: Xác định khoảng đồng biến và nghịch biến - Đồng biến trên \( (-\infty, -3) \cup (1, +\infty) \) - Nghịch biến trên \( (-3, 1) \) Bước 6: Xác định đồ thị - Đồ thị cắt trục \( Oy \) tại điểm \( (0, 2) \) - Đồ thị cắt trục \( Ox \) tại các điểm \( x \) thỏa mãn \( x^2 - x + 2 = 0 \) 6. Khảo sát hàm số \( y = \frac{-x^2 + 4x - 1}{2x - 1} \) Bước 1: Tìm tập xác định Tập xác định: \( D = \mathbb{R} \setminus \{\frac{1}{2}\} \) Bước 2: Tìm giới hạn \[ \lim_{x \to \frac{1}{2}^-} y = -\infty, \quad \lim_{x \to \frac{1}{2}^+} y = +\infty \] \[ \lim_{x \to -\infty} y = -\frac{x}{2}, \quad \lim_{x \to +\infty} y = -\frac{x}{2} \] Bước 3: Tìm các điểm đặc biệt - Điểm cực đại, cực tiểu: \[ y' = \frac{(-2x + 4)(2x - 1) - (-x^2 + 4x - 1)(2)}{(2x - 1)^2} = \frac{-4x^2 + 2x + 8x - 4 + 2x^2 - 8x + 2}{(2x - 1)^2} = \frac{-2x^2 + 2x - 2}{(2x - 1)^2} \] Giải phương trình \( y' = 0 \): \[ -2x^2 + 2x - 2 = 0 \implies x^2 - x + 1 = 0 \] Phương trình này vô nghiệm, vậy hàm số không có cực đại, cực tiểu. Bước 4: Xác định khoảng đồng biến và nghịch biến - \( y' < 0 \) trên \( \mathbb{R} \setminus \{\frac{1}{2}\} \) - Nghịch biến trên \( \mathbb{R} \setminus \{\frac{1}{2}\} \) Bước 5: Xác định đồ thị - Đồ thị cắt trục \( Oy \) tại điểm \( (0, 1) \) - Đồ thị cắt trục \( Ox \) tại các điểm \( x \) thỏa mãn \( -x^2 + 4x - 1 = 0 \) Đáp số: 1. \( y = x^3 - 6x^2 + 9x - 2 \) 2. \( y = -x^3 - x \) 3. \( y = \frac{2x-4}{x+1} \) 4. \( y = \frac{-x+3}{x-2} \) 5. \( y = \frac{x^2 - x + 2}{x + 1} \) 6. \( y = \frac{-x^2 + 4x - 1}{2x - 1} \)