cuuuheppibaybi Bài tập : Khảo sát các hàm số sau :,$1,~y=x^3-6x^2+9x-2.$,$2,~y=-x^3-x.$,$3,~y=\frac{2x-4}{x+1}.$,$4,~y=\frac{-x+3}{x-2}.$,$5,~y=\frac{x^2-x+2}{x+1}$,$6,~y=\frac{-x^2+4x-1}{2x-1}$

Question

Accepted Answer

1. Khảo sát hàm số $ y = x^3 - 6x^2 + 9x - 2 $ Bước 1: Tìm tập xác định Tập xác định: $ D = \mathbb{R} $ Bước 2: Tìm giới hạn $$ \lim_{x \to -\infty} y = -\infty, \quad \lim_{x \to +\infty} y = +\infty $$ Bước 3: Tìm các điểm đặc biệt - Điểm cực đại, cực tiểu: $$ y' = 3x^2 - 12x + 9 $$ Giải phương trình $ y' = 0 $: $$ 3x^2 - 12x + 9 = 0 \implies x^2 - 4x + 3 = 0 \implies (x-1)(x-3) = 0 \implies x = 1 \text{ hoặc } x = 3 $$ Kiểm tra dấu của $ y' $: - $ y' > 0 $ khi $ x < 1 $ hoặc $ x > 3 $ - $ y' < 0 $ khi $ 1 < x < 3 $ Vậy $ y $ đạt cực đại tại $ x = 1 $ và cực tiểu tại $ x = 3 $. Bước 4: Xác định các giá trị cực đại và cực tiểu - $ y(1) = 1^3 - 6 \cdot 1^2 + 9 \cdot 1 - 2 = 2 $ - $ y(3) = 3^3 - 6 \cdot 3^2 + 9 \cdot 3 - 2 = -2 $ Bước 5: Xác định khoảng đồng biến và nghịch biến - Đồng biến trên $ (-\infty, 1) \cup (3, +\infty) $ - Nghịch biến trên $ (1, 3) $ Bước 6: Xác định đồ thị - Đồ thị cắt trục $ Oy $ tại điểm $ (0, -2) $ - Đồ thị cắt trục $ Ox $ tại các điểm $ x $ thỏa mãn $ x^3 - 6x^2 + 9x - 2 = 0 $ 2. Khảo sát hàm số $ y = -x^3 - x $ Bước 1: Tìm tập xác định Tập xác định: $ D = \mathbb{R} $ Bước 2: Tìm giới hạn $$ \lim_{x \to -\infty} y = +\infty, \quad \lim_{x \to +\infty} y = -\infty $$ Bước 3: Tìm các điểm đặc biệt - Điểm cực đại, cực tiểu: $$ y' = -3x^2 - 1 $$ Giải phương trình $ y' = 0 $: $$ -3x^2 - 1 = 0 \implies x^2 = -\frac{1}{3} $$ Phương trình này vô nghiệm, vậy hàm số không có cực đại, cực tiểu. Bước 4: Xác định khoảng đồng biến và nghịch biến - $ y' < 0 $ trên $ \mathbb{R} $ - Nghịch biến trên $ \mathbb{R} $ Bước 5: Xác định đồ thị - Đồ thị cắt trục $ Oy $ tại điểm $ (0, 0) $ - Đồ thị cắt trục $ Ox $ tại điểm $ (0, 0) $ 3. Khảo sát hàm số $ y = \frac{2x-4}{x+1} $ Bước 1: Tìm tập xác định Tập xác định: $ D = \mathbb{R} \setminus \{-1\} $ Bước 2: Tìm giới hạn $$ \lim_{x \to -1^-} y = -\infty, \quad \lim_{x \to -1^+} y = +\infty $$ $$ \lim_{x \to -\infty} y = 2, \quad \lim_{x \to +\infty} y = 2 $$ Bước 3: Tìm các điểm đặc biệt - Điểm cực đại, cực tiểu: $$ y' = \frac{(2)(x+1) - (2x-4)(1)}{(x+1)^2} = \frac{2x + 2 - 2x + 4}{(x+1)^2} = \frac{6}{(x+1)^2} $$ Giải phương trình $ y' = 0 $: $$ \frac{6}{(x+1)^2} = 0 \implies \text{vô nghiệm} $$ Vậy hàm số không có cực đại, cực tiểu. Bước 4: Xác định khoảng đồng biến và nghịch biến - $ y' > 0 $ trên $ \mathbb{R} \setminus \{-1\} $ - Đồng biến trên $ \mathbb{R} \setminus \{-1\} $ Bước 5: Xác định đồ thị - Đồ thị cắt trục $ Oy $ tại điểm $ (0, -4) $ - Đồ thị cắt trục $ Ox $ tại điểm $ (2, 0) $ 4. Khảo sát hàm số $ y = \frac{-x+3}{x-2} $ Bước 1: Tìm tập xác định Tập xác định: $ D = \mathbb{R} \setminus \{2\} $ Bước 2: Tìm giới hạn $$ \lim_{x \to 2^-} y = -\infty, \quad \lim_{x \to 2^+} y = +\infty $$ $$ \lim_{x \to -\infty} y = -1, \quad \lim_{x \to +\infty} y = -1 $$ Bước 3: Tìm các điểm đặc biệt - Điểm cực đại, cực tiểu: $$ y' = \frac{(-1)(x-2) - (-x+3)(1)}{(x-2)^2} = \frac{-x + 2 + x - 3}{(x-2)^2} = \frac{-1}{(x-2)^2} $$ Giải phương trình $ y' = 0 $: $$ \frac{-1}{(x-2)^2} = 0 \implies \text{vô nghiệm} $$ Vậy hàm số không có cực đại, cực tiểu. Bước 4: Xác định khoảng đồng biến và nghịch biến - $ y' < 0 $ trên $ \mathbb{R} \setminus \{2\} $ - Nghịch biến trên $ \mathbb{R} \setminus \{2\} $ Bước 5: Xác định đồ thị - Đồ thị cắt trục $ Oy $ tại điểm $ (0, -\frac{3}{2}) $ - Đồ thị cắt trục $ Ox $ tại điểm $ (3, 0) $ 5. Khảo sát hàm số $ y = \frac{x^2 - x + 2}{x + 1} $ Bước 1: Tìm tập xác định Tập xác định: $ D = \mathbb{R} \setminus \{-1\} $ Bước 2: Tìm giới hạn $$ \lim_{x \to -1^-} y = -\infty, \quad \lim_{x \to -1^+} y = +\infty $$ $$ \lim_{x \to -\infty} y = x - 2, \quad \lim_{x \to +\infty} y = x - 2 $$ Bước 3: Tìm các điểm đặc biệt - Điểm cực đại, cực tiểu: $$ y' = \frac{(2x - 1)(x + 1) - (x^2 - x + 2)(1)}{(x + 1)^2} = \frac{2x^2 + 2x - x - 1 - x^2 + x - 2}{(x + 1)^2} = \frac{x^2 + 2x - 3}{(x + 1)^2} $$ Giải phương trình $ y' = 0 $: $$ x^2 + 2x - 3 = 0 \implies (x + 3)(x - 1) = 0 \implies x = -3 \text{ hoặc } x = 1 $$ Kiểm tra dấu của $ y' $: - $ y' > 0 $ khi $ x < -3 $ hoặc $ x > 1 $ - $ y' < 0 $ khi $ -3 < x < 1 $ Vậy $ y $ đạt cực đại tại $ x = -3 $ và cực tiểu tại $ x = 1 $. Bước 4: Xác định các giá trị cực đại và cực tiểu - $ y(-3) = \frac{(-3)^2 - (-3) + 2}{-3 + 1} = \frac{9 + 3 + 2}{-2} = -7 $ - $ y(1) = \frac{1^2 - 1 + 2}{1 + 1} = \frac{2}{2} = 1 $ Bước 5: Xác định khoảng đồng biến và nghịch biến - Đồng biến trên $ (-\infty, -3) \cup (1, +\infty) $ - Nghịch biến trên $ (-3, 1) $ Bước 6: Xác định đồ thị - Đồ thị cắt trục $ Oy $ tại điểm $ (0, 2) $ - Đồ thị cắt trục $ Ox $ tại các điểm $ x $ thỏa mãn $ x^2 - x + 2 = 0 $ 6. Khảo sát hàm số $ y = \frac{-x^2 + 4x - 1}{2x - 1} $ Bước 1: Tìm tập xác định Tập xác định: $ D = \mathbb{R} \setminus \{\frac{1}{2}\} $ Bước 2: Tìm giới hạn $$ \lim_{x \to \frac{1}{2}^-} y = -\infty, \quad \lim_{x \to \frac{1}{2}^+} y = +\infty $$ $$ \lim_{x \to -\infty} y = -\frac{x}{2}, \quad \lim_{x \to +\infty} y = -\frac{x}{2} $$ Bước 3: Tìm các điểm đặc biệt - Điểm cực đại, cực tiểu: $$ y' = \frac{(-2x + 4)(2x - 1) - (-x^2 + 4x - 1)(2)}{(2x - 1)^2} = \frac{-4x^2 + 2x + 8x - 4 + 2x^2 - 8x + 2}{(2x - 1)^2} = \frac{-2x^2 + 2x - 2}{(2x - 1)^2} $$ Giải phương trình $ y' = 0 $: $$ -2x^2 + 2x - 2 = 0 \implies x^2 - x + 1 = 0 $$ Phương trình này vô nghiệm, vậy hàm số không có cực đại, cực tiểu. Bước 4: Xác định khoảng đồng biến và nghịch biến - $ y' < 0 $ trên $ \mathbb{R} \setminus \{\frac{1}{2}\} $ - Nghịch biến trên $ \mathbb{R} \setminus \{\frac{1}{2}\} $ Bước 5: Xác định đồ thị - Đồ thị cắt trục $ Oy $ tại điểm $ (0, 1) $ - Đồ thị cắt trục $ Ox $ tại các điểm $ x $ thỏa mãn $ -x^2 + 4x - 1 = 0 $ Đáp số: 1. $ y = x^3 - 6x^2 + 9x - 2 $ 2. $ y = -x^3 - x $ 3. $ y = \frac{2x-4}{x+1} $ 4. $ y = \frac{-x+3}{x-2} $ 5. $ y = \frac{x^2 - x + 2}{x + 1} $ 6. $ y = \frac{-x^2 + 4x - 1}{2x - 1} $